Définition du théorème de l'électeur médian
Quelle est la définition du théorème de l'électeur médian ?
Le théorème de l'électeur médian suggère que l'électeur médian décide de la politique à sélectionner parmi un ensemble de préférences dans un système de vote majoritaire.
Selon Duncan Black, dans les systèmes de vote à la majorité, les résultats du vote dépendront des préférences de l'électeur médian.
Pour mieux comprendre cette suggestion, il faut d'abord définir ce qu'est l'électeur médian.
Traçons une ligne qui contient les préférences des gens sur un sujet hypothétique. Dans la figure 1 ci-dessous, l'axe des x représente une telle ligne. Elle contient les préférences politiques possibles sur un sujet hypothétique. Disons maintenant qu'il y a un agent - un électeur. Nous pouvons indiquer l'utilité qu'il retire d'une préférence à l'aide de l'axe des ordonnées.
Par exemple, s'il choisit la politique \(P_2\), son bénéfice sera égal à \(u_2\). Étant donné que l'utilité que l'agent retire de la première politique, \N(u_1\N), est inférieure à l'utilité que l'agent retire de la seconde politique, \N(u_2\N), l'agent préférera la seconde politique, \N(P_2\N), à la première politique, \N(P_1\N).
Fig. 1 - Niveaux d'utilité de X en fonction de différentes politiques.
Néanmoins, dans une société, il existe de nombreux agents ayant des préférences différentes. Disons qu'il y a maintenant cinq agents dans la société \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\). Nous pouvons représenter leurs courbes d'utilité par \(u_{x_1},u_{x_2},u_{x_3},u_{x_4},u_{x_5}\). La figure 2 ci-dessous illustre la combinaison des agents dans une société. Notre agent précédent x peut être désigné par \(x_1\) et sa courbe d'utilité sera \(u_{x_1}\). Comme pour la configuration précédente, nous pouvons représenter les utilités des agents par l'axe des ordonnées et les politiques par l'axe des abscisses.
Fig. 2 - Niveaux d'utilité de la société en fonction de différentes politiques.
Étant donné qu'ils recherchent l'utilité la plus élevée des différentes politiques, chaque agent veut maximiser son utilité. Par exemple, pour l'agent \(x_1\), l'utilité la plus élevée peut être obtenue à partir de la première politique, qui est désignée par \(P_1\). Tu peux voir qu'au point \(A_1\), la courbe d'utilité \(u_{x_1}\) atteint son maximum local. Nous pouvons aller plus loin et désigner l'utilité maximale de chaque agent par \(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\) respectivement.
Dans ce scénario, l'électeur médian est \N(x_3\N). Les électeurs \(x_1\) et \(x_2\) perdront de l'utilité au fur et à mesure qu'ils se rapprocheront de la troisième politique, \(P_3\). De même, les électeurs \(x_4\) et \(x_5\) souffriront du fait qu'ils se dirigent dans la direction opposée vers la troisième politique. Les décideurs politiques choisiront la troisième politique pour obtenir le plus grand nombre de votes car avec la troisième politique, l'utilité combinée de la société sera plus élevée qu'avec n'importe quelle autre politique.
Preuve du théorème de l'électeur médian
Nous pouvons prouver le théorème de l'électeur médian à l'aide de deux méthodes. L'une est logique, l'autre est mathématique. Le théorème de l'électeur médian peut être prouvé de deux points de vue. L'un est du point de vue des électeurs, et le second est du point de vue des décideurs politiques. Les deux preuves dépendent des informations sur l'autre groupe. Ici, nous nous concentrerons sur la preuve du point de vue des décideurs politiques. Les deux approches suivent les mêmes règles. Il est donc facile de comprendre l'autre si l'on connaît l'une d'entre elles. Examinons maintenant la preuve logique et la preuve mathématique.
Supposons qu'un parti puisse sélectionner cinq politiques. Ce parti contient un groupe d'analystes de données qui ont interrogé les cinq électeurs, et à partir de leurs réponses, les analystes de données ont appris les préférences des électeurs. Comme le parti veut obtenir le maximum de voix, il définit son programme en fonction des électeurs. Si le parti choisit la première politique, \N(P_1\N), les quatrième et cinquième agents, \N(x_4,x_5\N), ne voteront pas pour le parti puisque leur utilité pour \N(P_1\N) est nulle. De même, pour la politique \(P_2\), le quatrième agent obtiendra l'utilité \(u_1\), et le cinquième agent obtiendra toujours une utilité nulle. Dans le graphique ci-dessous, nous pouvons voir les utilités du quatrième et du cinquième agent.
Fig. 3 - Les courbes d'utilité du quatrième et du cinquième agent.
Nous pouvons imaginer un scénario similaire pour le premier et le deuxième agent. Comme le parti veut gagner le plus d'électeurs possible, il choisira la troisième politique dans l'intérêt de tous. Ainsi, la préférence de l'électeur médian fixe l'ordre du jour.
Bien qu'une preuve logique suffise, nous pouvons également prouver le théorème de l'électeur médian du point de vue du parti politique par une approche mathématique.
Nous pouvons définir une société avec l'ensemble \(S\) qui contient \(n\) éléments :
\(S = \{x_1,x_2...,x_{n-1},x_n\}\)
Nous pouvons désigner toutes les politiques possibles par l'ensemble \(P\) :
\N(P = \N{P_1,P_2...,P_{n-1},P_n\}\N)
Et il existe une fonction d'utilité \(u_\alpha\) avec la forme ci-dessus qui représente le niveau d'utilité d'un agent à partir d'une politique pour chaque élément de l'ensemble \(S\). Nous pouvons la dénoter par ce qui suit :
∃\(u_\alpha(P_i)\ | \alpha \in S\land P_i \in P\).
Enfin, nous pouvons représenter l'utilité combinée d'une politique pour la société par la fonction \(g(P_i)\).
\(g(P_i) = \sum_{\alpha = 1}^nu_\alpha(P_i)\)
Puisque le parti veut maximiser l'utilité de la société pour obtenir le plus grand nombre de votes possible, il doit maximiser la fonction \(g\N).
Désignons maintenant une politique, \N(P_\delta\N) :
\N(g(P_\delta) > g(P_i) | \Npour tous les P_i \Ndans P \N)
Puisque \N(g\N) est une fonction quadratique qui peut être généralisée comme :
\(g(x) = -ax^2 + bx + c | a dans R^+ \N- g(x) > 0)
\N(g^{''}(x) < 0\N), \N(b^2 - 4ac > 0\N)
Elle doit avoir une ligne de symétrie verticale qui croise le point où la fonction atteint sa valeur maximale :
\(g^{'}(P_\delta) = 0 \iff g(P_\delta) = g_{max}\)
Ainsi, \(P_\delta\) ne peut être que la politique du milieu qui maximise l'utilité totale de la société.
Exemples du théorème de l'électeur médian
Maintenant, pour l'application du théorème de l'électeur médian, regardons un exemple de la vie réelle pour appliquer le théorème de l'électeur médian. Disons que tu vas élire un gouverneur pour ton État. Néanmoins, il y a deux concurrents. Le premier candidat est M. Anderson, et la seconde candidate est Mme Williams.
Néanmoins, le seul débat qui peut départager les deux candidats porte sur le taux d'imposition pour la construction d'une piscine financée par l'État. Il y a 5 groupes dans la société en ce qui concerne les montants qu'ils sont prêts à payer. La piscine sera conçue et construite en fonction de la somme d'argent. Vérifions maintenant les taux d'imposition et ce que l'État peut construire avec ce taux d'imposition.
| Taux d'imposition | Spécifications de la construction |
| 2% | Piscine standard sans fonctions supplémentaires. |
| 4% | Piscine standard avec des fonctions supplémentaires comme une cafétéria et une salle de sport. |
| 6% | Piscine olympique sans fonctions supplémentaires. |
| 8% | Piscine olympique avec des fonctions supplémentaires comme une cafétéria et une salle de sport. |
| 10% | Piscine de taille olympique avec des fonctions supplémentaires telles qu'une cafétéria et une salle de sport, une salle de sauna et un service de massage. |
Tableau 1 - Taux d'imposition requis pour une piscine financée par l'État.
Plaçons nos coûts sur l'axe des abscisses et l'utilité qui en découle sur l'axe des ordonnées.
Fig. 4 - Axes des taux d'imposition et de l'utilité.
Mme Williams est consciente que cette piscine sera un facteur de rupture d'égalité. Ainsi, elle décide de travailler avec une entreprise de science des données. L'entreprise de science des données mène une enquête pour connaître les préférences du public. Ils partagent les résultats comme suit .
La société est divisée en cinq sections égales. Une section, \(\delta_1\), contient des citoyens qui ne veulent pas de piscine. Mais pour le bien de la société, ils sont prêts à payer 2 % car ils pensent que s'ils vivent dans une société heureuse, ils seront plus heureux. Une autre section, \(\delta_2\), contient des agents qui sont prêts à payer un peu plus d'impôts, 4 %, pour la piscine financée par l'État. Néanmoins, comme ils ne pensent pas y aller souvent, ils ne veulent pas y investir autant. En outre, ils pensent qu'il devrait y avoir une cafétéria et un gymnase. Ils ne se soucient pas de la taille de la piscine.
Une section, \(\delta_3\), contient des agents qui veulent une piscine de grande taille. Ils n'ont pas tellement besoin de fonctions supplémentaires. C'est donc eux qui profiteront le plus du taux d'imposition de 6 %. Une section distincte, \(\delta_4\), veut investir dans la natation plus que les groupes précédents. Ils veulent une piscine de grande taille avec une salle de sport et une cafétéria. Ils pensent que 8 % est le taux d'imposition optimal. Et la dernière section, \(\delta_5\), veut la meilleure piscine possible. Ils pensent qu'un sauna est nécessaire pour se détendre un peu et se relaxer. Ainsi, ils pensent qu'un taux d'imposition de 10 % est acceptable et bénéfique.
L'entreprise a partagé les courbes d'utilité suivantes appliquées à notre graphique précédent.
Fig. 5 - Fonctions d'utilité des sections de la société.
Maintenant, comme Mme Williams veut gagner les élections, elle analyse le taux d'imposition qui obtiendra le plus de votes. Si elle choisit le taux d'imposition de 2 %, deux sections, la quatrième et la cinquième, ne voteront pas pour elle car leur utilité est nulle. Si elle choisit le taux d'imposition de 4 %, alors une section ne votera pas pour elle. De même, si elle choisit le taux d'imposition de 10 %, alors le premier et le deuxième groupe ne voteront pas pour elle puisque leur utilité est nulle. Si elle choisit le taux d'imposition de 8 %, elle perdra les votes provenant du premier groupe. Sans hésiter, elle choisit le taux d'imposition médian pour la piscine.
Nous pouvons être sûrs que si le nombre de préférences est impair avant la sélection du taux d'imposition pour la piscine et si M. Anderson décide de sélectionner n'importe quel autre taux d'imposition plutôt que 6 %, Mme Williams gagnera cette élection !
Limites du théorème de l'électeur médian
Tu l'as peut-être deviné : le théorème de l'électeur médian a ses limites. S'il est si facile de gagner les élections, à quoi servent les campagnes électorales ? Pourquoi les partis ne se concentrent-ils pas simplement sur l'électeur médian ?
Ce sont de bonnes questions. Les conditions suivantes doivent être remplies pour que le théorème de l'électeur médian fonctionne.
Les préférences des électeurs doivent être à pente unique.
L'électeur médian doit exister, ce qui signifie que le nombre total de groupes doit être impair. (Cela peut être résolu avec des méthodes supplémentaires mais pas sans les outils nécessaires).
Il ne doit pas y avoir de gagnant Condorcet.
Les préférences à un seul sommet signifient que les courbes doivent avoir un seul point positif dont la dérivée est égale à zéro. La figure 6 ci-dessous illustre une courbe d'utilité à plusieurs pics.
Fig. 6 - Une fonction à plusieurs pics.
Comme tu peux le voir sur la figure 6, la dérivée à \(x_1\) et \(x_2\) sont toutes les deux nulles. Par conséquent, la première condition n'est pas respectée. En ce qui concerne les deux autres conditions, il est trivial qu'il existe un électeur médian. Enfin, il ne devrait pas y avoir de préférence pour le gagnant de Condorcet. Cela signifie que dans une comparaison par paire, une préférence ne doit pas gagner à chaque comparaison.
Tu n'es pas sûr de savoir ce qu'est un gagnant de Condorcet ? Nous en avons parlé en détail. N'hésite pas à consulter notre explication : Le paradoxe de Condorcet.
Critique du théorème de l'électeur médian
Dans la vie réelle, le comportement des électeurs est extrêmement complexe. La plupart du temps, les électeurs ont des préférences à plusieurs pics. De plus, au lieu d'un espace à deux dimensions, les préférences sont les résultats combinés de plusieurs politiques. De plus, le flux d'informations n'est pas aussi fluide que dans le théorème, et il peut y avoir un manque d'informations des deux côtés. Il peut donc être très difficile de savoir qui est l'électeur médian et quelle sera sa préférence.
Tu veux savoir comment appliquer les méthodes de l'économie à l'étude de la politique ? Jette un coup d'œil aux explications suivantes :
- Économie politique
- Paradoxe de Condorcet
- Théorème d'impossibilité d'Arrow
Théorème de l'électeur médian - Principaux enseignements
- Le théorème de l'électeur médian fait partie de la théorie du choix social proposée par Duncan Black.
- Le théorème de l'électeur médian suggère que la préférence de l'électeur médian déterminera l'ordre du jour.
- Un gagnant de Condorcet empêchera l'existence de l'électeur médian.
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