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Calcul de la valeur actuelle : Formule
La formule de calcul de la valeur actuelle est la suivante :
\(\hbox{Equation 2:}\)
\(C_0= \frac {C_t} {(1+i)^t}\)
Mais d'où vient-elle ? Pour le comprendre, nous devons d'abord introduire deux concepts : la valeur temporelle de l'argent et les intérêts composés.
La valeur temporelle de l'argent est le coût d'opportunité de recevoir de l'argent dans le futur plutôt qu'aujourd'hui. L'argent a d'autant plus de valeur qu'il est reçu rapidement, car il peut alors être investi et rapporter des intérêts composés.
La valeur temporelle de l'argent est le coût d'opportunité de recevoir de l'argent plus tard que plus tôt.
Maintenant que nous comprenons le concept de la valeur temporelle de l'argent, nous introduisons le concept des intérêts composés. L'intérêt composé est l'intérêt gagné sur l'investissement initial et l'intérêt déjà reçu. C'est pourquoi on parle d'intérêts composés, car l'investissement rapporte des intérêts sur les intérêts... il est composé au fil du temps. Le taux d'intérêt et la fréquence à laquelle il est composé (quotidiennement, mensuellement, trimestriellement, annuellement) déterminent la vitesse et l'importance de l'augmentation de la valeur d'un investissement au fil du temps.
L'intérêtcomposé est l'intérêt gagné sur le montant initial investi et l'intérêt déjà reçu.
La formule suivante illustre le concept des intérêts composés :
\(\hbox{Equation 1:}\)
\(\hbox{Valeur finale} = \hbox{Valeur initiale}) \contre (1 + \hbox{taux d'intérêt})^t \c)
\(\hbox{If}) \ C_0=\hbox{Valeur initiale},\ C_1=\hbox{Valeur finale, et} \ i=\hbox{taux d'intérêt, alors:} \)
\(C_1=C_0\times(1+i)^t\)
\(\hbox{pour 1 an}\ t=1\hbox{, mais t peut être n'importe quel nombre d'années ou de périodes}\)
Ainsi, si nous connaissons la valeur initiale de l'investissement, le taux d'intérêt obtenu et le nombre de périodes de composition, nous pouvons utiliser l'équation 1 pour calculer la valeur finale de l'investissement.
Pour mieux comprendre le fonctionnement des intérêts composés, prenons un exemple.
\(\hbox{If}) \ C_0=\hbox{Valeur initiale,} \ C_t=\hbox{Valeur finale, et} \ i=\hbox{taux d'intérêt, alors:} \)
\N(C_t=C_0 \Nfois (1 + i)^t \N)\N(C_t=C_0 \Nfois (1 + i)^t \N)
\(\hbox{If}) \NC0=1.000$, \N i=8\%, \Nhbox{et} \ t=20 \hbox{ ans, quelle est la valeur de l'investissement} \)\(\hbox{après 20 ans si les intérêts sont composés annuellement?} \hbox{)
\(C_{20}=1 000 $ fois (1 + 0,08)^{20}=4 660,96 $)
Maintenant que nous comprenons les concepts de la valeur temporelle de l'argent et des intérêts composés, nous pouvons enfin introduire la formule de calcul de la valeur actuelle.
En réarrangeant l'équation 1, nous pouvons calculer \(C_0\) si nous connaissons \(C_1\) :
\(C_0= \frac {C_1} {(1+i)^t}\)
Plus généralement, pour un nombre donné de périodes t, l'équation est :
\(\hbox{Equation 2:}\)
\(C_0= \frac {C_t} {(1+i)^t}\)
Il s'agit de la formule de calcul de la valeur actuelle.
Lavaleur actuelle est la valeur au jour le jour des flux de trésorerie futurs d'un investissement.
En appliquant cette formule à tous les flux de trésorerie futurs attendus d'un investissement et en les additionnant, les investisseurs peuvent fixer avec précision le prix des actifs sur le marché.
Calcul de la valeur actuelle : Exemple
Voyons un exemple de calcul de la valeur actuelle.
Supposons que tu viennes de recevoir une prime de 1 000 dollars au travail et que tu prévoies de la placer à la banque où elle pourra rapporter des intérêts. Soudain, ton ami t'appelle et te dit qu'il place un peu d'argent dans un investissement qui rapporte 1 000 dollars au bout de 8 ans. Si tu places l'argent à la banque aujourd'hui, tu obtiendras 6 % d'intérêts par an. Si tu mets l'argent dans cet investissement, tu devras renoncer aux intérêts de la banque pendant les 8 prochaines années. Afin de réaliser une bonne affaire, combien d'argent devrais-tu placer dans cet investissement aujourd'hui ? En d'autres termes, quelle est la valeur actuelle de cet investissement ?
\(\hbox{La formule de calcul de la valeur actuelle est:} \N-)
\(C_0=\frac{C_t} {(1 + i)^t} \)
\(\hbox{If} \C_t=1.000$, i=6\%, \hbox{et} \ t=8 \hbox{ ans, quelle est la valeur actuelle de cet investissement?} \)
\(C_0=\frac{1,000$} {(1 + 0.06)^8}=627.41$ \)
La logique qui sous-tend ce calcul est double. Premièrement, tu veux t'assurer que cet investissement te rapportera au moins autant que si tu le plaçais à la banque. Cela suppose toutefois que cet investissement comporte à peu près le même risque que le placement de l'argent à la banque.
Ensuite, en gardant cela à l'esprit, tu dois déterminer quelle est la valeur juste à investir pour obtenir ce rendement. Si tu investis plus de 627,41 $, tu obtiendras un rendement inférieur à 6 %. Par contre, si tu investis moins de 627,41 $, tu pourrais obtenir un rendement plus élevé, mais cela ne se produirait probablement que si l'investissement est plus risqué que de placer ton argent à la banque. Si, par exemple, tu investis 200 $ aujourd'hui et que tu reçois 1 000 $ dans huit ans, tu obtiendras un rendement beaucoup plus élevé, mais le risque sera aussi beaucoup plus grand.
Ainsi, le montant de 627,41 $ met les deux options sur un pied d'égalité, de sorte que les rendements d'investissements présentant un risque similaire sont égaux.
Voyons maintenant un exemple plus compliqué de calcul de la valeur actuelle.
Supposons que tu cherches à acheter une obligation de société qui rapporte actuellement 8 % par an et qui arrive à échéance dans 3 ans. Les paiements de coupon sont de 40 $ par an et l'obligation paie le principe de 1 000 $ à l'échéance. Combien devrais-tu payer pour cette obligation ?
\(\hbox{La formule de calcul de la valeur actuelle peut également être utilisée pour déterminer le prix d'un actif} \) \(\hbox{avec des flux de trésorerie multiples.} \hbox{avec des flux de trésorerie multiples.} \hbox{avec des flux de trésorerie multiples.})
\(\hbox{Si} \NC_1 = 40 $, C_2 = 40 $, C_3 = 1 040 $, \Nhbox{et} \ i = 8\%, \hbox{then:} \)
\(C_0=\frac{C_1} {(1 + i)^1} + \frac{C_2} {(1 + i)^2} + \frac{C_3} {(1 + i)^3} \)
\(C_0= \frac{$40} {(1,08)} + \frac{$40} {(1,08)^2} + \frac{$1,040} {(1.08)^3} = $896.92 \)
En payant 896,92 $ pour cette obligation, tu t'assures que ton rendement au cours des trois prochaines années sera de 8 %.
Dans le premier exemple, nous devions seulement calculer la valeur actuelle d'un flux financier. Le deuxième exemple, par contre, nous a demandé de calculer la valeur actuelle de plusieurs flux financiers, puis d'additionner ces valeurs actuelles pour obtenir la valeur actuelle globale. Quelques périodes ne sont pas si mal, mais lorsqu'il s'agit de 20 ou 30 périodes ou plus, cela peut devenir très fastidieux et prendre beaucoup de temps. C'est pourquoi les professionnels de la finance utilisent des ordinateurs, des programmes informatiques ou des calculatrices financières pour effectuer ces calculs plus complexes.
Calcul de la valeur actuelle nette
Le calcul de la valeur actuelle nette sert à déterminer si un investissement est une décision judicieuse ou non. L'idée est que la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs doit être supérieure à l'investissement réalisé. Elle correspond à la somme de l'investissement initial (qui est un flux de trésorerie négatif) et de la valeur actuelle de tous les flux de trésorerie futurs. Si la valeur actuelle nette (VAN) est positive, l'investissement est généralement considéré comme une décision judicieuse.
Lavaleur actuelle nette est la somme de l'investissement initial et de la valeur actuelle de tous les flux de trésorerie futurs.
Pour mieux comprendre la valeur actuelle nette, prenons un exemple.
Supposons que la société XYZ veuille acheter une nouvelle machine qui augmentera la productivité et, par conséquent, le chiffre d'affaires. Le coût de la machine est de 1 000 $. Les recettes devraient augmenter de 200 $ la première année, de 500 $ la deuxième année et de 800 $ la troisième année. Après la troisième année, l'entreprise prévoit de remplacer la machine par une autre encore plus performante. Suppose également que, si l'entreprise n'achète pas la machine, les 1 000 $ seront investis dans des obligations de sociétés risquées qui rapportent actuellement 10 % par an. L'achat de cette machine est-il un investissement judicieux ? Nous pouvons utiliser la formule de la VAN pour le savoir.
\(\hbox{Si l'investissement initial} \C_0 = - 1 000 $ \)
\(\hbox{et } C_1 = 200 $, C_2 = 500 $, C_3 = 800 $, \hbox{et} \ i = 10\%, \hbox{then:} \)
\N(VAN = C_0 + \frac{C_1} {(1 + i)^1} + \frac{C_2} {(1 + i)^2} + \frac{C_3} {(1 + i)^3} \)
\(VAN = - 1 000 $ + \frac{$200} {(1.1)} + \frac{$500} {(1.1)^2} + \frac{$800} {(1.1)^3} = 196.09 $ \)
\(\hbox{Le rendement attendu de cet investissement est : } \frac{$196} {$1,000} = 19.6\% \)
Puisque la VAN est positive, cet investissement est généralement considéré comme un investissement judicieux. Cependant, nous disons généralement parce qu'il existe d'autres paramètres utilisés pour déterminer s'il faut ou non faire un investissement, qui dépassent le cadre de cet article.
De plus, le rendement attendu de 19,6 % sur l'achat de la machine est bien plus élevé que le rendement de 10 % des obligations d'entreprise risquées. Étant donné que des investissements à risque similaire doivent avoir des rendements similaires, avec une telle différence, l'une des deux choses suivantes doit être vraie. Soit les prévisions de croissance du chiffre d'affaires de l'entreprise dues à l'achat de la machine sont très optimistes, soit l'achat de la machine est beaucoup plus risqué que l'achat d'obligations d'entreprise à risque. Si l'entreprise réduit ses prévisions de croissance des revenus ou actualise les flux de trésorerie avec un taux d'intérêt plus élevé, le rendement de l'achat de la machine serait plus proche de celui des obligations d'entreprise à risque.
Si l'entreprise se sent à l'aise avec ses prévisions de croissance des revenus et le taux d'intérêt utilisé pour actualiser les flux de trésorerie, elle devrait acheter la machine, mais elle ne devrait pas être surprise si les revenus n'augmentent pas aussi fortement que prévu, ou si quelque chose ne va pas avec la machine au cours des trois prochaines années.
Fig. 2 - L'achat d'un nouveau tracteur est-il un investissement judicieux ?
Taux d'intérêt pour le calcul de la valeur actuelle
Le taux d'intérêt pour le calcul de la valeur actuelle est le taux d'intérêt que l'on s'attend à obtenir pour une utilisation alternative donnée de l'argent. En général, il s'agit du taux d'intérêt des dépôts bancaires, du rendement attendu d'un projet d'investissement, du taux d'intérêt d'un prêt, du rendement requis d'une action ou du rendement d'une obligation. Dans chaque cas, on peut considérer qu'il s'agit du coût d'opportunité d'un investissement qui se traduit par un rendement futur.
Par exemple, si nous voulons déterminer la valeur actuelle de 1 000 $ que nous recevrions dans un an, nous la diviserons par 1 plus le taux d'intérêt. Quel taux d'intérêt devons-nous choisir ?
Si l'alternative à la réception de 1 000 $ dans un an est de placer l'argent dans une banque, nous utiliserons le taux d'intérêt généré par les dépôts bancaires.
Si, par contre, l'alternative à l'obtention de 1 000 $ dans un an est d'investir l'argent dans un projet qui devrait rapporter 1 000 $ dans un an, nous utiliserons le rendement attendu de ce projet comme taux d'intérêt.
Si l'alternative à la réception de 1 000 $ dans un an est de prêter l'argent, nous utiliserons le taux d'intérêt sur le prêt comme taux d'intérêt.
Si l'alternative à l'obtention de 1 000 $ dans un an est de l'investir dans l'achat d'actions d'une société, nous utiliserons le rendement requis des actions comme taux d'intérêt.
Enfin, si l'alternative à l'obtention de 1 000 $ dans un an est l'achat d'une obligation, nous utiliserons le rendement de l'obligation comme taux d'intérêt.
En fin de compte, le taux d'intérêt utilisé pour le calcul de la valeur actuelle est le rendement d'une utilisation alternative de l'argent. C'est le rendement auquel tu renonces aujourd'hui dans l'espoir de recevoir ce rendement dans le futur.
Fig. 3 - Banque
Vois les choses de la façon suivante. Si la personne A possède un morceau de papier indiquant que la personne B doit 1 000 $ à la personne A dans un an, combien vaut ce morceau de papier aujourd'hui ? Cela dépend de la façon dont la personne B va réunir l'argent nécessaire pour payer les 1 000 $ dans un an.
Si la personne B est une banque, le taux d'intérêt est le taux d'intérêt sur les dépôts bancaires. La personne A placera la valeur actuelle de 1 000 $ dans un an à la banque aujourd'hui et recevra 1 000 $ dans un an.
Si la personne B est une entreprise qui entreprend un projet, le taux d'intérêt est le rendement du projet. La personne A donnera à la personne B la valeur actuelle de 1 000 dollars dans un an et s'attend à être remboursée de 1 000 dollars dans un an grâce au rendement du projet.
Des analyses similaires peuvent être effectuées pour les prêts, les actions et les obligations.
Si tu veux en savoir plus, lis nos explications sur les banques et les types d'actifs financiers !
Il est important de noter que plus la façon dont l'argent doit être collecté pour rembourser l'investissement est risquée, plus le taux d'intérêt est élevé et plus la valeur actuelle est faible. Comme placer de l'argent à la banque est très peu risqué, le taux d'intérêt est faible, de sorte que la valeur actuelle de 1 000 $ reçus dans un an n'est pas très inférieure à 1 000 $. En revanche, placer de l'argent en bourse est très risqué, le taux d'intérêt est donc beaucoup plus élevé, et la valeur actuelle de 1 000 $ reçus dans un an est beaucoup plus faible que 1 000 $.
Si tu veux en savoir plus sur le risque, lis notre explication sur le risque !
En général, lorsqu'on te pose des problèmes de valeur actuelle en économie, on te donne un taux d'intérêt, mais on te dit rarement quel taux d'intérêt est utilisé. Tu obtiens simplement le taux d'intérêt et tu poursuis tes calculs.
Calcul de la valeur actuelle : Actions
Le calcul du prix des actions est essentiellement un calcul de la valeur actuelle. Le prix est simplement la somme de la valeur actuelle de tous les flux financiers futurs. Pour une action, les flux financiers futurs sont, dans la plupart des cas, les dividendes par action versés au fil du temps et le prix de vente de l'action à une date ultérieure.
Voyons un exemple d'utilisation du calcul de la valeur actuelle pour fixer le prix des actions.
\(\hbox{The present value calculation formula can be used to price a stock} \) \(\hbox{with dividends per share and the sale price as cash flows.} \)
\(\hbox{Considérons une action dont les dividendes sont versés sur 3 ans.} \hbox{)
\(\hbox{Supposons} \N- D_1 = 2 $, D_2 = 3 $, D_3 = 4 $, P_3 = 100 $, \N- et} \ i = 10\% \)
\(\hbox{où:}\)
\(D_t = \hbox{Le dividende par action de l'année t}\)
\(P_t = \hbox{Le prix de vente prévu de l'action dans l'année t}\)
\(\hbox{Alors : } P_0, \hbox{le prix actuel de l'action, est:})
\(P_0=\frac{D_1} {(1 + i)^1} + \frac{D_2} {(1 + i)^2} + \frac{D_3} {(1 + i)^3} + \frac{P_3} {(1 + i)^3}\)
\(P_0=\frac{$2} {(1 + 0.1)^1} + \frac{$3} {(1 + 0.1)^2} + \frac{$4} {(1 + 0.1)^3} + \frac{$100} {(1 + 0,1)^3} = $82.43\)
Comme tu peux le voir, en utilisant cette méthode, connue sous le nom de modèle d'actualisation des dividendes, un investisseur peut déterminer le prix d'une action aujourd'hui en se basant sur les dividendes attendus par action et le prix de vente attendu à une date future.
Fig. 4 - Actions
Une question demeure. Comment le prix de vente futur est-il déterminé ? À l'année 3, nous refaisons simplement ce même calcul, l'année 3 étant l'année en cours et les dividendes prévus pour les années suivantes ainsi que le prix de vente prévu de l'action pour une année future étant les flux de trésorerie. Une fois que nous avons fait cela, nous posons à nouveau la même question et nous refaisons le même calcul. Comme le nombre d'années peut, en théorie, être infini, le calcul du prix de vente final nécessite une autre méthode qui dépasse le cadre de cet article.
Si tu souhaites en savoir plus sur les rendements attendus des actifs, lis notre explication sur la ligne de marché de la sécurité !
Calcul de la valeur actuelle - Principaux points à retenir
- La valeur temporelle de l'argent est le coût d'opportunité de recevoir de l'argent plus tard que plus tôt.
- L'intérêt composé est l'intérêt gagné sur le montant initial investi et l'intérêt déjà reçu.
- La valeur actuelle est la valeur au jour le jour des flux financiers futurs.
- La valeur actuelle nette est la somme de l'investissement initial et de la valeur actuelle de tous les flux de trésorerie futurs.
- Le taux d'intérêt utilisé pour le calcul de la valeur actuelle est le rendement d'une utilisation alternative de l'argent.
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