S'il n'y avait pas de frottement de l'air, l'accélération causée par le champ gravitationnel de la terre augmenterait continuellement la vitesse des objets qui tombent. Cependant, lorsqu'une force résistant au mouvement des objets apparaît, il existe une vitesse maximale que les objets peuvent atteindre compte tenu de leurs conditions initiales : la vitesse terminale ou vitesse d'arrivée.
Quelle est la définition de la vitesse terminale ?
Lavitesse terminale est la vitesse maximale que peut atteindre un objet qui se déplace dans un milieu dissipatif, c'est-à-dire un milieu qui disperse l'énergie.
Dans de nombreux contextes, nous constatons que la vitesse terminale peut être remplacée par le terme "vitesse terminale" parce que la direction du mouvement est fixe ou connue, et que nous ne nous intéressons qu'à l'ampleur de la vitesse. Par exemple, lorsque nous considérons la vitesse terminale d'un objet tombant vers la terre et affecté par le frottement de l'air, nous savons que la direction du mouvement est radiale vers la terre et nous n'avons donc pas besoin de la spécifier.
L'adjectif "terminale" signale que la vitesse est la vitesse maximale que les objets peuvent atteindre, mais cela ne signifie pas que les objets atteindront toujours cette valeur. Le fait qu'ils l'atteignent dépend des propriétés du système et des conditions initiales de l'objet. En outre, bien que nous puissions penser que les objets d'un système dissipatif augmenteront leur vitesse et se rapprocheront lentement de la valeur terminale, ils peuvent également commencer avec une vitesse supérieure à la valeur terminale, auquel cas ils l'atteindront par le haut plutôt que par le bas.
Quelle est l'équation de la vitesse terminale ?
La vitesse terminale est une quantité asymptotique qui ne peut pas être calculée de manière simple car les détails dépendent de manière cruciale des détails de la dynamique de chaque cas. Nous pouvons essayer de donner des approximations cinématiques et énergétiques, qui peuvent s'appliquer à certaines situations, mais nous avons généralement besoin de l'apport de la dynamique (l'évolution du système à chaque instant).
Dérivation cinématique
Tout d'abord, considérons une certaine force qui fait bouger un système. Nous pourrions envisager des combinaisons complexes de forces, mais nous nous limiterons ici au cas où nous avons une force résultante totale :
\[\vec{F}_T = \sum_i{\vec{F}_i}\]
Ici, FT est la force totale, tandis que Fi sont toutes les forces qui agissent et qui sont additionnées sous forme de vecteurs.
La force résultante dans le cas d'objets tombant vers la terre est la force gravitationnelle. Nous considérons maintenant ce que l'on appelle habituellement la force de traînée, qui n'est rien d'autre que la force résultante qui rend compte des propriétés dissipatives du milieu. Puisque cette force dissipe de l'énergie, elle se "nourrit" de l'énergie cinétique des corps et s'oppose donc à leur mouvement, en essayant de diminuer leur vitesse.
La clé pour comprendre comment calculer la vitesse terminale réside dans la première loi du mouvement de Newton. Cette loi, qui est valable pour tous les systèmes physiques, stipule que le mouvement d'un objet n'est pas affecté s'il n'y a pas une force totale qui agit sur lui. Si l'objet ne bougeait pas, il resterait immobile, tandis que si l'objet se déplaçait, il continuerait à le faire à vitesse constante.
Mathématiquement, cela revient à mettre en équation la force totale agissant sur le corps et la force de traînée, ce qui nous permet de résoudre une certaine valeur de la vitesse. C'est-à-dire :
\[\vec{F}_T = \vec{F}_D\]
Pour résoudre cette équation, nous avons besoin des données dynamiques de la forme exacte de la force totale et de la force de traînée. Nous étudierons quelques exemples de calculs explicites dans la dernière section.
Considérations énergétiques
Si l'on considère la première loi de Newton, il est clair par définition que lorsque la force totale est égale à zéro, une vitesse finale sera atteinte. C'est une situation possible lorsque nous avons des forces qui génèrent un mouvement et des forces qui s'y opposent (force de traînée). Bien que l'idée derrière la première loi de Newton soit intuitive et logique (un système non affecté ne change pas), nous allons essayer de dériver le concept de vitesse terminale à partir de considérations purement énergétiques.
Un milieu dissipatif, comme nous l'avons déjà dit, est un milieu qui disperse l'énergie du corps en réduisant sa vitesse, donc en diminuant son énergie cinétique. Si une force génère un mouvement, un objet sous son influence accélérera continuellement et atteindra, théoriquement, une vitesse infinie en un temps infini. Cependant, dans un milieu dissipatif, cela ne peut pas se produire car il y a une perte d'énergie vers le milieu qui empêche l'énergie cinétique de dépasser une certaine valeur.
Si l'on peut modéliser la perte d'énergie à partir de l'expression de la force de traînée, il suffit de l'assimiler au gain de l'énergie cinétique du corps dû au mouvement générateur de la force. Il s'avère que certaines de ces relations peuvent également être trouvées en utilisant la deuxième loi du mouvement de Newton, qui relie les forces à la variation de la quantité de mouvement, une quantité fortement liée à l'énergie cinétique.
Force de traînée et exemples
La situation la plus courante où l'on étudie la vitesse terminale est celle d'un fluide qui ralentit le mouvement des corps qui s'y trouvent. Pour étudier correctement les exemples ci-dessous, nous fournissons la formule expérimentale de la force de traînée d'un fluide et expliquons brièvement sa dépendance. La formule est la suivante :
\[F_D = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 \cdot C_D \cdot A\].
Ici, ρ est la densité du fluide, v la vitesse de l'objet en mouvement, CD un nombre appelé coefficient de traînée, et A la surface du corps qui est perpendiculaire à la direction du mouvement. La direction de cette force est toujours opposée au mouvement du corps.
Comme on peut le voir dans la formule mathématique, plus le fluide est dense, plus son opposition au mouvement est importante. La dépendance de la formule aux caractéristiques de l'objet est quantifiée par trois variables. Deux d'entre elles correspondent à leur taille (surface) et à leur forme (coefficient de traînée). La troisième correspond à son état de mouvement et explique pourquoi il existe une vitesse terminale. La dépendance à la vitesse indique que plus un objet se déplace rapidement, plus la force de traînée est importante, ce qui conduira à l'état stationnaire susmentionné de vitesse maximale constante finie.
Exemple de vitesse terminale : un objet tombant vers la terre
Pour la force gravitationnelle, nous utilisons la loi de Newton. Nous ne considérons que la valeur scalaire et non la direction de la force pour simplifier nos calculs. Nous considérons la chute d'un corps sphérique, comme une balle.
Pour les sphères, le coefficient de traînée CD est de 0,47. La densité de l'air n'est pas constante, mais nous prendrons une situation proche de la mer, où nous avons une valeur de ρ = 1,225 kg/m3. L'aire d'une sphère perpendiculaire au mouvement est celle d'un cercle, soit \ (A = \pi \cdot r^2\), et la masse et le rayon de la sphère sont m = 1 kg et r = 1 mètre.
La force gravitationnelle peut être approximée par la formule :
\[F_g = m\cdot g \cdot h = 9,81 \cdot h \space N\].
Ici, g est l'accélération du champ gravitationnel près de la surface de la terre (9,81 m/s2), tandis que h est la hauteur au-dessus de la surface de la terre. La force de traînée, avec nos données, a une valeur de :
\[F_D = \frac {1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 \cdot C_D \cdot A = 0.90 \cdot v^2 \space N\]
Pour calculer la vitesse à tout moment, nous devrions résoudre le système d'équations en utilisant la deuxième loi de Newton, ce qui implique la résolution d'équations différentielles. Après avoir calculé la solution générale, nous constatons que la valeur de la vitesse terminale dans ce cas est :
\[v_T = \sqrt {\frac{2 m \cdot g}{\rho \cdot A \cdot C_D}} = \sqrt {\frac{19,62}{1,81}} = 3,30 (m/s)\].
Exemple de vitesse terminale : loi modifiée de la gravitation
Nous considérons la chute d'un corps sphérique ou d'une boule. Pour les sphères, le coefficient de traînéeCD est de 0,47. La densité de l'air n'est pas constante, mais nous prendrons une situation proche de la mer, où nous avons une valeur de ρ = 1,225 kg/m3. L'aire d'une sphère perpendiculaire au mouvement est celle d'un cercle, soit \(A = \pi \cdot r^2\), et la masse et le rayon de la sphère sont m = 1 kg et r = 1 mètre.
Imagine que la loi de la gravitation dans notre nature soit différente de celle que nous connaissons sous le nom de loi de Newton. La loi que nous proposons dépend également de g et de la masse de l'objet qui tombe, mais au lieu de dépendre linéairement de la hauteur, elle dépend linéairement de la vitesse radiale v:
\[\tilde{F}_g = m \cdot g \cdot v\].
Au lieu d'avoir à résoudre la dynamique (qui est un chemin valable pour déterminer la vitesse, la position et l'accélération à tout moment), nous pourrions considérer la première loi de Newton plutôt que la seconde. La première loi stipule que la vitesse d'un objet est constante lorsqu'aucune force n'agit sur lui. Comme nous savons que la vitesse terminale est constante, nous savons que l'objet l'atteindra lorsque les forces auront la même valeur.Si nous mettons les deux forces en équation, nous obtenons :
\[\N-tilde{F}_g = F_D \NFlèche droite 9,81 \Nv = 0,90 \Nv^2 \NFlèche droite v = 0 \Ntext{ou } v = \Nfrac{9,81}{0,9} = 10,9 \Nspace m/s\N].
Ces deux solutions correspondent :
- au début de notre expérience où il n'y a pas de vitesse car nous faisons tomber la balle.
- et à la situation où une vitesse terminale a été atteinte.
En fonction de l'espace disponible pour la chute de la balle, la vitesse atteinte sera la vitesse terminale ou une valeur inférieure (parce qu'elle n'a peut-être pas eu assez d'espace pour accélérer).
Comme nous l'avons dit précédemment, si nous avions lâché la balle avec une vitesse initiale supérieure à la valeur terminale, elle aurait évolué vers la valeur terminale, en décélérantlentement jusqu'à l'atteindre par le haut.
Vitesse terminale - Points clés
- La vitesse terminale ou vitesse terminale est la valeur maximale de la vitesse qu'un objet peut atteindre en se déplaçant dans un milieu qui dissipe de l'énergie (généralement un fluide ou un gaz).
- Habituellement, il faut résoudre la dynamique pour étudier l'évolution de la position, de la vitesse et de l'accélération à tout moment afin d'étudier la limite sur de longues durées. Cependant, dans certaines situations, on peut utiliser la première loi de Newton pour calculer la valeur de la vitesse terminale.
- Le mécanisme à l'origine de l'apparition d'une vitesse terminale peut être ramené à l'équilibre entre l'énergie gagnée par le corps dans son mouvement et l'énergie dissipée par le milieu.
- La force qui dissipe l'énergie et qui agit toujours contre le mouvement est appelée force de traînée. Elle a une expression mathématique largement connue pour les fluides.
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