Vitesse de libération

Considérations énergétiques et formule de la vitesse d'évasion

Pour dériver la formule de la vitesse d'évasion, nous commençons par écrire la formule de l'énergie totale d'un corps en présence d'un champ gravitationnel décrit par la loi de la gravitation de Newton:

\[E = U + E_k = -G \frac{M\cdot m}{r} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\].

U est l'énergie potentielle gravitationnelle due au champ gravitationnel, et K est l'énergie cinétique due à l'état de mouvement du corps, mesurée en joules. G est la constante gravitationnelle (avec une valeur approximative de 6,67 - ^{10-11m3/kg-s2}), M est la masse de la Terre (environ 5,97 - ^1024kg), m est la masse du corps étudié mesurée en kg, r est la distance radiale qui les sépare mesurée en m (dont la présence indique une symétrie sphérique), et v est la vitesse du corps mesurée en m/s.

Trajectoires possibles sous l'effet de l'attraction gravitationnelle

Considère un objet à la surface de la Terre, comme une balle ou une fusée spatiale. Si l'objet est statique (avec une vitesse nulle), son énergie est simplement donnée par l'énergie potentielle. Cependant, si nous déplaçons l'objet, sa vitesse déterminera la croissance de l'énergie cinétique (et de l'énergie totale).

Considérons maintenant un point situé à une distance radiale infinie de la Terre. Comme la distance radiale figure au dénominateur de la formule de l'énergie potentielle, l'énergie potentielle gravitationnelle tend vers zéro si la distance radiale devient infinie. Cela signifie qu'un corps statique situé à une distance radiale infinie a une énergie nulle. Cependant, si l'objet a une certaine vitesse, il aura de l'énergie cinétique et, par conséquent, de l'énergie totale.

La conservation de l'énergie

Rappelle le principe de conservation de l'énergie: l'énergie se conserve pour les systèmes isolés. L'énergie est conservée puisque nous ne considérons pas d'autres éléments que la Terre et un certain corps. Cela implique que l'énergie d'un corps à la surface de la Terre doit être la même que l'énergie du corps à une distance infinie.

En gardant cela à l'esprit, nous pouvons classer les trajectoires possibles d'un corps :

• Si l'énergie totale du corps est positive à la surface de la Terre, elle sera positive à une distance radiale infinie, ce qui signifie qu'elle atteindra l'infini avec une vitesse non nulle.
• Si l'énergie totale du corps est nulle à la surface de la Terre, elle sera nulle à une distance radiale infinie, ce qui signifie qu'elle atteindra l'infini avec une vitesse nulle.
• Si l'énergie totale du corps est négative à la surface de la Terre, elle devrait être négative à une distance radiale infinie. Cependant, comme il ne peut pas avoir d'énergie négative à une distance radi ale infinie parce que l'énergie cinétique est toujours positive ou nulle, nous constatons que les corps ayant une énergie totale négative n'atteignent jamais des distances radiales infinies. Ils retombent à la surface de la Terre ou se mettent en orbite.

Vitesse de fuite à la surface de la Terre

Grâce à cette classification, nous pouvons voir que pour qu'un corps s'échappe à une distance radiale infinie, il faut que son énergie soit nulle. Si nous nous trouvons à la surface de la Terre, nous pouvons trouver la vitesse de fuite_ve en assimilant l'énergie à zéro :

\[E = -G \cdot \frac{M \cdot m}{r_E} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2_e\]

\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_e^2 = G \cdot \frac{M \cdot}{r_E}\]

\N- [v^2_e = G \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- m}{r_E}] \cdot \frac{2}{m} = \frac{2 \cdot G \cdot M}{r_E}\]

\[v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r_E}}\]

Ici, _rE est le rayon de la Terre (environ 6371 km). En utilisant les valeurs réelles, nous constatons que la vitesse de fuite d'un corps à la surface de la Terre est indépendante de sa masse et a une valeur approximative de 11,2 km/s.

Exemple de vitesse de fuite

Calculons la vitesse de fuite d'une autre planète.

Comment les satellites peuvent-ils orbiter autour de la Terre ?

Que se passe-t-il si un objet est assez rapide pour entrer dans l'atmosphère mais pas assez pour s'en échapper ? Dans ce cas, le corps est piégé sous l'influence du champ gravitationnel terrestre et suivra des orbites (fermées) autour de la Terre.

Pour les orbites circulaires, il existe une relation entre la vitesse orbitale _v0 de l'objet et la distance radiale r du centre de la Terre. Nous pouvons déduire cela en utilisant l'équation de la force centripète, car celle-ci est fournie par l'attraction gravitationnelle exercée sur l'objet en orbite :

\[\frac{mv_0^2}{r} = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2}\].

\N- [v_0^2 \N- r = G \N- M\N]

\[v_0 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}\]

Cela implique qu'en fonction de l'altitude de l'orbite, les corps orbiteront à une certaine vitesse. La vitesse orbitale ne doit pas être confondue avec la vitesse d'évasion, car elles diffèrent d'un facteur √2.

\[v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}} = \sqrt{2} \cdot v_0 \approx 1.4142 \cdot v_0\]

Cela signifie que tout satellite en orbite stable autour de la Terre devrait augmenter sa vitesse de 41,42 % pour échapper à la gravité terrestre.

Si tu regardes l'image ci-dessous, tu peux voir les différentes trajectoires d'un objet en fonction de sa vitesse initiale.

• En A, l'objet retombe vers la Terre.
• En B, l'objet entre sur une orbite stationnaire avec une vitesse orbitale.
• En C, la vitesse de l'objet est trop élevée pour une orbite stationnaire mais trop faible pour quitter le champ gravitationnel de la Terre. Par conséquent, il tombera sur une orbite à une altitude plus élevée.
• En D, l'objet quitte le champ gravitationnel de la Terre avec la vitesse d'évasion.