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Définition de la vitesse critique dans un mouvement circulaire
Un objet en mouvement circulaire a une vitesse linéaire dans une direction tangente à sa trajectoire circulaire. Pour un objet se déplaçant dans un mouvement circulaire non uniforme, la magnitude de sa vitesse, ou sa vitesse, change au fur et à mesure qu'il se déplace le long de la trajectoire. C'est ce qui se produit lorsqu'un objet, comme une balle ou un seau d'eau, est balancé sur une trajectoire circulaire verticale, car la force de gravité agit toujours vers le bas sur l'objet. La vitesse critique est la vitesse minimale que l'objet doit avoir à la position supérieure d'une trajectoire circulaire verticale pour pouvoir terminer la trajectoire circulaire.
Lavitesse critique est la vitesse minimale qu'un objet doit avoir au sommet d'une trajectoire circulaire verticale pour terminer la trajectoire circulaire lorsqu'il n'y a pas d'appui vers le haut.
Prenons l'exemple d'une balle suspendue à une ficelle qui se balance sur une trajectoire circulaire verticale. Dans l'article "Mouvement circulaire", nous avons identifié les deux forces agissant sur la balle comme étant la force de gravité et la force de tension de la ficelle. La force de gravité dépend de la masse de la balle, qui reste la même, et elle est donc constante pendant que tu balances la balle. La force de tension, en revanche, change en fonction de la vitesse à laquelle tu balances la balle. Plus tu la balances rapidement, plus la tension de la corde est élevée. C'est logique, car la deuxième loi de Newton nous apprend que la force centripète, c'est-à-dire la somme de la tension et de la composante radiale de la gravité dans ce cas, est proportionnelle au carré de la vitesse linéaire. Si tu ne balances pas la balle assez vite, la corde n'aura pas de tension et la balle sortira du mouvement circulaire et se déplacera plutôt dans un mouvement parabolique comme un projectile.
Au sommet d'un cercle vertical, une balle balancée sur une ficelle restera en mouvement circulaire si elle est balancée avec au moins la vitesse critique, StudySmarter Originals
Lorsque la balle se trouve à la position supérieure du cercle, comme indiqué ci-dessus, et si la vitesse de la balle est au moins égale à la vitesse critique, elle continuera à se déplacer sur une trajectoire circulaire. Si elle est inférieure à la vitesse critique, la ficelle ne sera pas tendue et la balle tombera. Un autre exemple de ce phénomène est celui d'un wagon de montagnes russes qui parcourt une boucle circulaire. Le wagon des montagnes russes accomplira une boucle circulaire s'il a au moins la vitesse critique au sommet de la boucle. Si sa vitesse est inférieure à la vitesse critique au sommet de la boucle, le wagon de montagnes russes tombera (s'il n'est pas attaché aux rails). Dans la prochaine section, nous verrons comment calculer la vitesse critique.
Calcul de la vitesse critique
Considérons à nouveau la balle qui se balance sur une corde à la position supérieure de la trajectoire circulaire. Nous avons déjà identifié les forces agissant sur la balle comme étant la tension et la gravité. À cet endroit, la force de gravité est dirigée vers le bas, ou radialement vers l'intérieur, et contribue donc à la force centripète au même titre que la tension :
\[\begin{align}F_\text{c}&=ma_\text{c},\\ F_T+F_g&=m\frac{v^2}{r}.\end{align}\]
Dans cette équation, \(m\) est la masse de la balle, \(v\) est la vitesse linéaire, et \(r\) est le rayon de la trajectoire circulaire. Comme nous cherchons la vitesse critique, nous devons calculer la vitesse minimale de la balle à la position supérieure. La vitesse minimale de la balle à cet endroit se produit lorsque la force de tension est nulle. N'oublie pas non plus que la force de gravité est la masse multipliée par l'accélération due à la gravité, \(F_g=mg\). En faisant ces substitutions, nous obtenons
\[\begin{align}0+F_g&=m\frac{v^2}{r},\\mg&=m\frac{v^2}{r},\\gr&=v^2,\\v&=\sqrt{gr}.\end{align}\]
Il s'agit de la vitesse minimale de la balle au sommet du cercle telle qu'elle ne quitte pas sa trajectoire circulaire.
Formule pour la vitesse critique
La dérivation ci-dessus nous a conduits à la formule de la vitesse critique d'un objet en mouvement circulaire vertical :
\[v_\text{c}=\sqrt{gr}.\]
Remarque que la vitesse critique ne dépend que de l'accélération due à la gravité et du rayon de la trajectoire circulaire, et non de la masse de l'objet.
Exemples de vitesse critique
Comme indiqué ci-dessus, l'équation de la vitesse critique peut être utilisée pour n'importe quel objet soumis à un mouvement circulaire vertical. Prenons quelques exemples pour nous entraîner à trouver la vitesse critique.
Un seau d'eau est balancé sur une trajectoire circulaire verticale d'un rayon de \(1,5\,\mathrm{m}\). Trouve la vitesse critique que le seau d'eau doit avoir pour que l'eau ne se renverse pas.
Nous cherchons la vitesse minimale du seau d'eau au sommet de la trajectoire circulaire, nous pouvons donc utiliser l'équation de la vitesse critique. La vitesse critique pour que l'eau ne se renverse pas est la suivante :
\[v_\text{c}=\sqrt{gr}=\sqrt{9.81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot1.5\,\mathrm{m}}=3.8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.\]
Un passager de \(65\,\mathrm{kg}\) est assis sur une montagne russe qui fait le tour d'une boucle verticale de rayon \(15\,\mathrm{m}\). Si les montagnes russes se déplacent au moins à la vitesse critique, le passager restera sur son siège lorsqu'il aura la tête en bas au sommet de la boucle sans que la ceinture de sécurité n'exerce de force. S'il se déplace à une vitesse inférieure à la vitesse critique, la ceinture de sécurité devra appliquer une force pour maintenir le passager en place. Quelle est la vitesse critique au sommet de la boucle ? Si les montagnes russes se déplacent à une vitesse 1,5 fois supérieure à la vitesse critique, quelle est l'ampleur de la force normale exercée par le siège sur le passager ?
Au sommet de la boucle verticale, la force normale du siège et la force de gravité agissent vers le bas, ou radialement vers l'intérieur, sur le passager, comme le montre l'image ci-dessus. Notre équation du mouvement est donc la suivante :
\[\begin{align}F_\text{c}&=ma_\text{c},\\F_N+mg&=m\frac{v^2}{r}.\end{align}\]
Pour trouver la vitesse critique, nous fixons la force normale à zéro, comme nous l'avons fait pour la tension auparavant, et nous arrivons à la même équation pour la vitesse critique :
\[\begin{align}0+mg&=m\frac{v_\text{c}^2}{r},\\v_\text{c}&=\sqrt{gr}.\end{align}\]
La vitesse critique du passager est donc de \(v_\text{c}=\sqrt{9,81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot15,\mathrm{m}}=12\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\).
Lorsque les montagnes russes se déplacent à une vitesse 1,5 fois supérieure à la vitesse critique, nous avons \(v=1,5v_\text{c}\). Nous obtenons la force normale en la substituant à l'équation que nous avons trouvée ci-dessus :
\[\begin{align}F_N+mg&=m\frac{v^2}{r},\\F_N&=m\left(\frac{\left(1.5v_\text{c}\right)^2}{r}-g\right),\\ xml-ph-0000@deepl.internal F_N&=m\left(\frac{2.25gr}{r}-g\N-droit),\NF_N&=1.25mg,\NF_N&=8.0\Ncdot 10^2\N,\Nmathrm{N}.\Nend{align}\N]
Vitesse critique - Principaux enseignements
- La vitesse critique est la vitesse minimale qu'un objet doit avoir à la position supérieure d'une trajectoire circulaire verticale pour rester en mouvement circulaire .
- La force centripète agissant sur un objet est proportionnelle au carré de la vitesse linéaire.
- La formule de la vitesse critique d'un objet est \(v_\text{c}=\sqrt{gr}\).
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