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Fig. 1 - Voici une image de la comète de Halley. La troisième loi de Kepler s'applique à la comète.
Les lois de Kepler sur le mouvement des planètes
Dans les années 1500, l'astronome Nicolas Copernic a émis l'hypothèse que le Soleil était immobile au centre de notre univers et que les autres planètes, comme la Terre, tournaient autour de lui en décrivant des révolutions circulaires. L'une des principales améliorations de ce modèle a été apportée par Johannes Kepler, qui a utilisé des observations astronomiques pour montrer qu'au lieu d'avoir des orbites circulaires, les planètes suivaient en fait un mouvement elliptique autour du Soleil.
Ces trajectoires orbitales ont été décrites par Les lois de Kepler, dont nous allons discuter et que nous allons développer dans cet article. Même si ces lois ont été formulées à l'origine pour les planètes du système solaire en orbite autour du Soleil, elles peuvent être appliquées de manière universelle. Elles peuvent s'appliquer aux exoplanètes qui tournent autour d'autres étoiles et décrire le mouvement d'unsatellite en orbite autour d'une planète. Cependant, si nous voulons appliquer les lois de Kepler, nous devons nous assurer que le centre de masse du système satellite-planète se trouve à l'intérieur du corps central et que le satellite est beaucoup moins massif que le centre de masse de la planète.
Lapremière loi de Kepler stipule que les planètes se déplacent sur des orbites elliptiques dont le soleil est le foyer.
Fig. 2 - Les ellipses ont deux foyers ainsi qu'un demi-grand axe et un demi-petit axe.
Ladeuxième loi de Kepler stipule que le vecteur de distance entre la planète et le soleil balaie des zones égales de l'ellipse à des moments égaux.
Sur une orbite circulaire, le satellite se déplace à la même vitesse tout au long de l'orbite. Cependant, selon la deuxième loi de Kepler, sur une orbite elliptique, un satellite se déplace plus rapidement lorsqu'il est plus proche de la planète et se déplace plus lentement lorsqu'il en est plus éloigné. 
Fig. 3 - Représentation visuelle de la deuxième loi de Kepler. Remarque que des zones égales de l'espace sont balayées sur des périodes de temps égales.
Troisième loi de Kepler : Définition
Kepler a été tellement étonné par sa découverte qu'il a déclaré ce qui suit dans son livre Harmonies du monde (1619) :
J'ai d'abord cru que je rêvais... Mais il est absolument certain et exact que le rapport qui existe entre les périodes de deux planètes quelconques est précisément le rapport de la puissance 3/2e de la distance moyenne."
Latroisième loi de Kepler stipule que le carré de la période orbitale d'une planète est directement proportionnel au cube du demi-grand axe de l'ellipse.
Les planètes du système solaire présentent des périodes orbitales différentes. Par exemple, comparons les périodes orbitales de Vénus et de Mercure. La période orbitale de Vénus est de 224 jours terrestres et celle de Mercure de 88 jours terrestres. Nous avons l'habitude de décrire les périodes orbitales en jours terrestres, mais nous devons nous rappeler que les jours ne durent que 24 heures sur la planète Terre. Certaines planètes ont même des jours plus longs qu'une année. La planète Vénus en est un exemple. Il faut 224 jours terrestres à Vénus pour tourner autour du Soleil. En comparaison, il faut 243 jours terrestres à Vénus pour effectuer une rotation autour de son axe.
Pourquoi les planètes ont-elles des périodes orbitales différentes ? Si nous examinons les distances des planètes respectives par rapport au Soleil, nous constatons que Mercure est la planète la plus proche du Soleil. Elle a donc la période orbitale la plus courte de toutes les planètes.
Troisième loi de Kepler : Formule
La troisième loi de Kepler explique que la période d'orbite d'un satellite autour de la Terre augmente rapidement avec le rayon de son orbite. Pour une orbite elliptique, la troisième loi de Kepler peut s'exprimer comme suit ,
$$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3,$$
où \(T\) est la période de l'orbite en secondes \(\mathrm s\), \(G\) est la constante gravitationnelle \(6.67 fois10^{-11} ; \frac{\mathrm N\;\mathrm m^2}{\mathrm{kg}^2}\), \(M\) est la masse de la planète en \(\text{kg}\), et \(a\) est le demi-grand axe en \(\text{m}\). La longueur du demi-grand axe est égale à la moitié du plus grand diamètre d'une ellipse. Dans le cas d'une orbite circulaire, le demi-grand axe peut être remplacé par le rayon de l'orbite.
Fig. 4 - Il s'agit d'un diagramme illustrant la troisième loi de Kepler. Selon la troisième loi de Kepler, le rapport entre le carré de la période orbitale et le cube du demi-grand axe de l'orbite est une constante.
Prouver la troisième loi de Kepler
Cette relation peut être obtenue dans le cas d'une orbite circulaire en utilisant la loi de la gravitation de Newton. Pour la trouver, on peut égaliser la force centripète du satellite à la force gravitationnelle entre la planète et l'objet en orbite.
La loi de la gravitation de Newton est donnée par la formule suivante
$$F=\frac{GMm}{r^2},$$
\(G\) est la constante gravitationnelle \ (6.67\times10^{-11}\;\frac{\mathrm N\;\mathrm m^2}{\mathrm{kg}^2}\), \ (M\) est la masse de la planète en kilogrammes \(\mathrm{kg}\), \ (m\) est la masse de l'objet en orbite en kilogrammes \(\mathrm{kg}\), et \(r\) est la distance qui les sépare en mètres \mathrm m\).
La force centripète s'exprime comme suit :
$$F=m\oméga^2r,$$
où nous définissons \( m\) comme la masse de l'objet en orbite en kilogrammes \(\mathrm{kg}\), tandis que \(\omega\) est la vitesse angulaire en radians par seconde \(\frac{\mathrm{rad}{\mathrm s}\), et \(r\) est la distance entre la planète et l'objet en orbite en mètres \(\mathrm m\).
Maintenant, nous égalisons la force centripète du satellite à la force gravitationnelle entre la planète et le Soleil,
$$\frac{GMm}{r^2}=m\omega^2r.$$
Nous pouvons exprimer la vitesse angulaire en fonction de la période orbitale, puis réarranger l'équation :
$$\begin{align*}\frac{GMm}{r^2}&=mr\left(\frac{2\pi}T\right)^2,\\mr\frac{4\pi^2}{T^2}&=\frac{GMm}{r^2}.\end{align*}$$
Si nous résolvons \(T^2\), nous trouvons l'expression de la troisième loi de Kepler :
$$T^2=\left(\frac{4\pi^2}{GM}\right)r^3.$$
Comme la valeur entre parenthèses est une constante, nous pouvons voir que \ (T^2\) est proportionnel à \ (r^3\).
Au lieu de cercles, une dérivation plus complète peut être faite en utilisant des orbites elliptiques génériques. Par conséquent, le rayon d'un cercle \(r\) est remplacé par le demi-grand axe \(a\) d'une ellipse.
Par conséquent, la formule de la troisième loi de Kepler pour les orbites elliptiques est donnée par la formule suivante
$$T^2=\left(\frac{4\pi^2}{GM}\right)a^3.$$
Nous pouvons également déduire la troisième loi de Kepler en examinant la deuxième loi de Kepler et en utilisant le calcul. La deuxième loi de Kepler est donnée par
$$\frac{{\text{d}}A}{{\text{d}}t}=\frac{L}{2m},$$
où \(L\) est le moment angulaire et \(m\) la masse de la planète en orbite. Puisque l'intérêt de la deuxième loi de Kepler est que l'orbite balaie des zones égales de l'ellipse à des moments égaux, le côté droit de l'équation ci-dessus est constant. La surface balayée par une orbite peut être exprimée en fonction de la période de l'orbite \(T\) :
$$A={\frac{L}{2m}}T.$$
Nous savons que l'aire totale d'une ellipse est donnée par :
$$A=\pi{a}{b},$$
où \(a\) est le demi-grand axe et \(b\) est le demi-petit axe de l'ellipse. Ces quantités sont liées à l'excentricité \(e\) qui détermine la forme de l'orbite :
$$b^2={a^2}\left(1-e^2\right).$$
Nous exprimons maintenant la surface balayée par une orbite comme suit :
$$\frac{\pi{a}{b}}{T}=\frac{L}{2m}.$$
Ensuite, nous allons examiner l'équation de l'orbite dans le cas d'une masse \(m\) en orbite autour d'une masse centrale \(M\) :
$$r\left(\theta\right)=\frac{L^2}{GMm^2\left(1+e\cos{\theta}\right)}.$$
L'équation de l'orbite prédit avec précision la position de la masse \(m\) en tout point de l'orbite et l'angle \(\theta\) par rapport au demi-grand axe. Examinons le cas de l'aphélie, qui correspond à la plus grande distance entre les deux masses. À l'aphélie, \(\theta=0\) et \(r=a\left(1-e\right)\), l'équation de l'orbite devient donc :
$$a\left(1-e\right)=\frac{L^2}{GMm^2\left(1+e\right)}.$$
Nous pouvons résoudre cette équation pour trouver une expression du carré du moment angulaire \(L\) qui nous permet de la substituer à l'équation de la surface balayée sur une orbite :
$$\begin{align*}\frac{L^2}{m^2}&=a\left(1-e\right)GM\left(1+e\right),\\\frac{L^2}{m^2}&=a\left(1-e^2\right)GM.\end{align*}$$
Maintenant, nous élevons au carré les deux côtés de l'équation de la surface balayée par une orbite et nous substituons les équations obtenues pour \(\frac{L^2}{m^2}\) et \(b^2\) :
$$\begin{align*}\frac{{\pi}^2{a}^2{b}^2}{T^2}&=\frac{L^2}{4m^2},\\\frac{{\pi}^2{a}^2\bcancel{\left(1-e^2\right)}}{T^2}&=\frac{a\bcancel{\left(1-e^2\right)}GM}{4},\\\frac{4{\pi}^2{a^3}}{GM}&=T^2\end{align*}$$
Nous avons prouvé la troisième loi de Kepler.
Le satellite \N(A\N) a une période orbitale de quatre jours \N(\Nà gauche(T_{{text{A}}=4\N,\Ntext{d}\Nà droite)\N). Le satellite \NB est également en orbite, mais tout ce que nous savons, c'est que son rayon est le double de celui du satellite \NA. Détermine la période orbitale du satellite \N (B).
Fig. 5 - Les satellites \N(A\N) et \N(B\N) sont autour de la planète. Le satellite \N(B\N) a deux fois le rayon du satellite \N(A\N).
Le satellite \ (A\) a un rayon \(r\), tandis que le satellite \ (B\) a un rayon \(2r\). Si nous connaissons la période du satellite \N (A\N), alors nous pouvons trouver la période du satellite \N (B\N) en utilisant l'équation de la troisième loi de Kepler.
Selon la troisième loi de Kepler, \(\frac{r^3}{T^2}\) est égal à une constante, car les deux satellites sont en orbite autour de la même planète. La proportionnalité sera donc la même pour les deux satellites.
Pour le satellite \ (A\):
$$\frac{r^3}{\left(4\;\mathrm{d}\right)^2}$$
Pour le satellite \N (B\N):
$$\frac{{(2r)}^3}{T_{\text{B}}}$$
Nous pouvons maintenant déterminer la période orbitale du satellite \ (B\N).
$$\begin{align*}\frac{r^3}{\left(4\;\mathrm{d}\right)^2}&=\frac{\left(2r\right)^3}{\left(T_{\text{B}}\right)^2},\\\frac{r^3}{16\;\mathrm{d}^2}&=\frac{8r^3}{\left(T_{\text{B}}\right)^2},\\\frac{\cancel{r^3}}{16\;\mathrm{d}^2}&=\frac{8\cancel{r^3}}{\left(T_{\text{B}}\right)^2},\\\left(T_{\text{B}}\right)^2&=128\;\mathrm{d}^2,\\\sqrt{\left(T_{\text{B}}\right)^2}&=\sqrt{128\;\mathrm{d}^2},\\T_{\text{B}}&=11.3\;\mathrm{d}.\end{align*}$$
Troisième loi de Kepler - Principaux enseignements
- Latroisième loi de Kepler stipule que le carré de la période orbitale d'une planète est directement proportionnel au cube du demi-grand axe de l'ellipse, \(T^2=\à gauche(\frac{4\pi^2}{GM}\à droite)r^3\).
- Cette relation peut être obtenue dans le cas d'une orbite circulaire en utilisant la loi de la gravitation de Newton. Pour la trouver, on peut égaliser la force centripète du satellite à la force gravitationnelle entre la planète et l'objet en orbite.
- Elle s'applique à tous les objets en orbite autour d'une masse centrale.
Références
- Fig. 1 - Voici une image de la comète de Halley. La troisième loi de Kepler s'applique à la comète (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Comet_Halley_close_up-cropped.jpg), par ESA (https://www.esa.int/spaceinimages/Images/2012/11/Comet_Halley_close_up), sous licence CC BY-SA 3.0 IGO (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/igo/deed.en).
- Fig. 2 - Les élipses ont deux points focaux ainsi qu'un demi-grand axe et un demi-petit axe, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Représentation visuelle de la deuxième loi de Kepler. Remarque que des zones égales de l'espace sont balayées sur des périodes de temps égales, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Voici un diagramme qui illustre la troisième loi de Kepler. Selon la troisième loi de Kepler, le rapport entre le carré de la période orbitale et le cube du demi-grand axe de l'orbite est une constante, StudySmarter Originals
- Fig. 5 - Les satellites \N(A\N) et \N(B\N) sont autour de la planète. Le satellite \(B\) a un rayon deux fois plus grand que le satellite \(A\), StudySmarter Originals
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