Travail angulaire
Le travail angulaire est l'équivalent du travail linéaire dans un mouvement angulaire. Dans un mouvement linéaire, une force agit sur un objet et un travail est effectué sur celui-ci. De même, dans un mouvement angulaire, un travail doit être effectué pour faire tourner un objet autour d'un axe. La force angulaire est connue sous le nom de couple et consiste en toute force qui fait tourner un objet autour d'un axe. Le travail est le résultat d'un couple agissant sur un angle.
Dérivation de la formule pour le travail angulaire
Pour un mouvement linéaire, le travail effectué est égal au produit de la force agissant sur un corps et du déplacement linéaire. Pour le mouvement angulaire, nous convertissons le déplacement linéaire en déplacement angulaire, en utilisant la relation entre la longueur de l'arc et le rayon. Par conséquent, le travail angulaire effectué est égal à la force "F" multipliée par le déplacement angulaire "\(\theta\cdot r\)", avec \(\theta\cdot [0,2\pi]\) comme indiqué ci-dessous : \N(W_{linear} = Fx ; \Nquad x = \theta \cdot r\N)
\(W_{ang} = F(\theta \cdot r)\)
Cependant, pour un mouvement circulaire, on sait aussi que le couple 'T' est égal à une force agissant sur le corps multipliée par son rayon 'F-r'. En remplaçant la relation du couple par le travail angulaire qui a été dérivé, nous concluons que les équations du travail angulaire et du travail linéaire ont la même forme. De plus, le couple est la réciproque de la force dans le travail linéaire, et le déplacement angulaire est la réciproque du déplacement linéaire.
Le travail angulaire, tout comme le travail linéaire, s'exprime en joules.
\N(T = F \cdot r\N)
\N(W_{ang} [J] = T \cdot \NDelta \Ntheta\N)
Travail et puissance angulaires : direction du couple
Le sens du couple peut être trouvé en utilisant la règle de la main droite : nous pointons nos doigts vers le sens de la rotation. Nous étendons ensuite notre pouce vers le haut. En pointant les doigts dans le sens de la rotation, le pouce pointe vers une direction perpendiculaire au sens de la rotation. La direction du couple est trouvée par la direction du pouce (voir figure 1).
En cas de rotation verticale, ce qui suit s'applique :
- Si le sens de rotation est celui des aiguilles d'une montre, le couple est descendant.
- Si le sens de rotation est antihoraire, le couple est ascendant.
Pour une rotation non verticale, le sens du couple peut être trouvé à l'aide de la règle de la main droite. Selon cette règle, quatre doigts suivent le sens de rotation tandis que le pouce est tendu. La direction du pouce indique la direction du couple, soit vers le haut, soit vers le bas. Un exemple est présenté dans la figure 2 ci-dessous.
Travail et puissance angulaires : Théorème travail-énergie
Le théorème travail-énergie stipule que le travail total effectué par les forces externes sur un corps est égal au changement d'énergie cinétique.
Cependant, le changement d'énergie cinétique doit également inclure l'énergie cinétique de translation "TKe" et l'énergie cinétique de rotation "RKe". Dans la formule ci-dessous, W est le travail, et ΔKe est la variation de l'énergie cinétique.
\(W = \Delta Ke = TKe - RKe\)
où \(RKe = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2 [J]\)
Puissance angulaire
La puissance est définie comme le taux auquel l'énergie est transférée.
La puissance linéaire est le travail effectué en fonction du temps. En utilisant les relations précédentes, nous savons que le travail effectué pour un mouvement linéaire est égal au produit de la force et de son déplacement linéaire. Le déplacement dans le temps est égal à la vitesse.
Dérivation de la formule pour la puissance angulaire
Pour le mouvement angulaire, nous avons prouvé plus tôt que le couple est l'inverse de la force dans le mouvement linéaire, tandis que la vitesse angulaire est l'inverse de la vitesse linéaire.
En substituant la vitesse angulaire dans l'équation, nous obtenons une équation en termes de couple dans laquelle le couple, mesuré en Newtons par mètre, est égal au moment d'inertie multiplié par l'accélération angulaire.
\[P[W] = \frac{w}{t}\]
Nous modifions ensuite l'équation précédente pour le travail, qui est égal au produit de la force et du déplacement linéaire. Nous remplaçons la force par le couple dans le temps, car par définition, le couple est égal au produit de la force et du rayon, comme on peut le voir ci-dessous.
\[W = F \cdot x \space T = F \cdot r \rightarrow F = \frac{T}{r} W_{ang} = \Big( \frac{T}{r} \Big) \cdot x\]
Ici, x est le déplacement linéaire, qui est égal à la vitesse linéaire multipliée par le temps. Comme il s'agit d'une rotation angulaire, la vitesse linéaire v doit être remplacée par son équivalent angulaire, qui est utilisé ci-dessous où ω est la vitesse angulaire.
\[V = r \cdot \omega \cdot t\]
Ceci sera substitué au terme de déplacement linéaire, ce qui nous donne l'expression ci-dessous.
\[W_{ang} = \Big( \frac{T}{r} \Big) \cdot x \qquad W_{ang} = \Big( \frac{T}{r} \Big) \cdot r \cdot \omega \cdot t\]
Nous pouvons maintenant substituer cette équation de travail dérivée pour la rotation angulaire à l'équation de puissance.
\[P[W] = \frac{W_{ang}}{t} = \frac{\frac{T}{r} \cdot r \cdot \comega \cdot t}{t} = T \cdot \comega\]
À ce stade, le terme de rayon et le temps sont annulés, de sorte que nous nous retrouvons avec une expression plus simple où la puissance est le produit du couple T, et la vitesse angulaire ω est mesurée en rad/s2.
Un couple de 300 k Nm est appliqué sur une turbine, qui tourne à 15 rad/s. Détermine la puissance nécessaire pour que la turbine continue à tourner.
Solution:
\(P = T \cdot \comega = 300.000 [k Nm] \cdot 15 [rad/s] = 4.500 MW\)
Une roue rotative d'un rayon de 0,5 m et d'une masse de 3 kg est tirée par une ficelle avec une force de 10 N sur une distance de 0,8 m. Détermine le travail effectué.
Solution:
Nous commençons par utiliser l'équation du couple, car le couple est nécessaire pour déterminer le travail effectué.
\(W_{ang}[J] = T \cdot \Delta \theta T = F \cdot r = 10 N \cdot 0,5 m = 5 Nm\)
Nous utilisons ensuite la relation entre le déplacement et le rayon pour déterminer le déplacement angulaire en radians, ce qui est nécessaire dans l'équation du travail. L'équation est réarrangée pour faire de θ le sujet avant de substituer les valeurs obtenues dans l'équation de travail initiale.
\(x = \theta r \quad \theta = \frac{x}{r} = \frac{0,8}{0,5} = 1,6 rad \qquad W = T \space \theta = 5 Nm \cdot 1,6 = 8 J\)
Travail angulaire et puissance - Points clés à retenir
Le travail angulaire est le travail effectué par un couple agissant sur un corps multiplié par le déplacement angulaire.
La puissance angulaire est le taux de variation du transfert d'énergie dans un mouvement angulaire.
La dynamique de rotation obéit aux mêmes règles que la dynamique linéaire, car les formules linéaires ont la même forme que les formules de rotation.
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