Trajectoire Orbitale

Pour dériver l'équation d'orbite, nous devons d'abord commencer par décrire l'énergie du système de masse réduite en orbite autour du centre de masse du système. Nous connaissons l'énergie cinétique et le potentiel gravitationnel du système, nous pouvons donc exprimer l'énergie totale :

$$E=\frac{1}{2}\mu v^2-\frac{Gm_1m_2}{r},$$

où \mu est la masse réduite en \(\text{kg}\) et \(v\) est la vitesse relative entre les deux corps.

La vitesse peut être définie en coordonnées polaires comme suit ,

\begin{align*}\vec{v}&=v_\text{r} \hat{r} +v_\theta \hat{\theta},\\v&=|\vec{v}|,\\v&=|\frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}|,\end{align*}

where \(v_\text{r}=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\) and \(v_\theta=r\left(\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}\right)\).

L'énergie du système est maintenant :

$$E=\frac{1}{2}\mu\left[\left(\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\right)^2+\left(r\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}\right)^2\right]-\frac{Gm_1m_2}{r}.$$

Le moment angulaire est donné par

$$\begin{align*}\vec{l}&=\vec{r}\times\mu\vec{v},\\\vec{l}&=r \hat{r}\times\mu\left(v_\text{r} \hat{r}+v_\theta \hat{\theta}\right),\\\vec{l}&=r\mu v_\theta \hat{k},\\\vec{l}&=\mu r^2\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t} \hat{k},\\l&=\mu r^2\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t},\\\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}&=\frac{l}{\mu r^2}.\end{align*}$$

Nous réécrivons maintenant l'énergie totale du système,

$$E=\frac{1}{2}\mu\left(\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\right)^2+\frac{1}{2}\frac{l^2}{\mu r^2}-\frac{Gm_1m_2}{r}.$$

Nous pouvons l'écrire en termes de \(\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\) :

$$\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\sqrt{\frac{2}{\mu}}\left(E-\frac{1}{2}\frac{l^2}{\mu r^2}+\frac{Gm_1m_2}{r}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Nous divisons maintenant \(\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}\) par \(\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\) pour obtenir \(\frac{\text{d}\theta}{\text{d}r}\), une expression qui relie la distance \(r\) à l'angle \(\theta\). Elle donne l'équation de l'orbite sous forme différentielle :

\begin{align*}\frac{\text{d}\theta}{\text{d}r}&=\frac{\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}}{\frac{\text{d}r}{\text{d}t}},\\\frac{\text{d}\theta}{\text{d}r}&=\frac{l}{\sqrt{2\mu}}\frac{\left(\frac{1}{r^2}\right)}{\left(E-\frac{l^2}{2\mu r^2}+\frac{Gm_1m_2}{r}\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=\frac{l}{\sqrt{2\mu}}\frac{\left(\frac{1}{r^2}\right)}{\left(E-\frac{l^2}{2\mu r^2}+\frac{Gm_1m_2}{r}\right)^{\frac{1}{2}}}\text{d}r.\n-{align*}

Avant de procéder à l'intégration, nous devons faire quelques substitutions. Nous effectuons la substitution \(u=\frac{1}{r}\), \(\text{d}u=-\left(\frac{1}{r^2}\right)\text{d}r\\N,\N) :

$$\text{d}\theta=-\frac{l}{\sqrt{2\mu}}\frac{\text{d}u}{\left(E-\frac{l^2}{2\mu}u^2+Gm_1m_2u\right)^{\frac{1}{2}}}.$$

Ensuite, nous multiplions et divisons le côté droit de l'équation par \(\frac{\sqrt{2\mu}}{l}\) :

$$\begin{align*}\text{d}\theta&=-\frac{\text{d}u}{\left(\frac{2\mu E}{l^2}-u^2+2\left(\frac{\mu Gm_1m_2}{l^2}\right)u\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=-\frac{\text{d}u}{\left(\frac{2\mu E}{l^2}-u^2+\frac{2u}{r_0}\right)^{\frac{1}{2}}},\end{align*}$$

où nous avons défini \(r_0=\frac{l^2}{\mu Gm_1m_2}\).

Maintenant, nous ajoutons et soustrayons \(\frac{1}{{r_0}^2}\) à l'intérieur de la parenthèse avec la racine carrée :

\begin{align*}\text{d}\theta&=-\frac{\text{d}u}{\left(\frac{2\mu E}{l^2}+\frac{1}{{r_0}^2}-u^2+\frac{2u}{r_0}-\frac{1}{{r_0}^2}\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=-\frac{\text{d}u}{\left(\frac{2\mu E}{l^2}+\frac{1}{{r_0}^2}-\left(u-\frac{1}{r_0}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=-\frac{r_0\text{d}u}{\left(\frac{2\mu E{r_0}^2}{l^2}+1-\left(r_0 u-1\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}},\end{align*}

où nous définissons l'excentricité comme \(\epsilon=\sqrt{\frac{2\mu E{r_0}^2}{l^2}+1}\). Cette quantité sans dimension est responsable de la forme de l'orbite. Nous en parlerons plus en détail dans l'article Trajectoires orbitales.

Nous réécrivons notre équation en fonction de l'excentricité :

$$\text{d}\theta=-\frac{r_0\text{d}u}{\left({\epsilon}^2-\left(r_0 u-1\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}.$$

Enfin, nous effectuons la dernière substitution avant de résoudre l'intégrale, \(r_0u-1=\epsilon \cos{\alpha}\) et \(r_0 \text{d}u=-\epsilon\sin{\alpha}\text{d}\alpha\) :

\begin{align*}\text{d}\theta&=-\frac{-\epsilon\sin{\alpha}\text{d}\alpha}{\left({\epsilon}^2-{\epsilon}^2{\cos^2{\alpha}}\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=-\frac{-\bcancel{\epsilon}\sin{\alpha}\text{d}\alpha}{\bcancel{\epsilon}\left(1-\cos^2{\alpha}\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=\frac{\sin{\alpha}\text{d}\alpha}{\left(sin^2{\alpha}\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=\frac{\bcancel{\sin{\alpha}}\text{d}\alpha}{\bcancel{sin{\alpha}}}\,\\\theta&=\int{\text{d}\alpha},\\\theta&=\alpha + \text{constant}.\Nend{align*}

Nous savons déjà que \(r=\frac{1}{u}\). Si nous choisissons la constante comme étant nulle, nous trouvons que :

\begin{align*}r_0u-1&=\epsilon\cos{\alpha},\\r_0u-1&=\epsilon\cos{\theta},\\u&=\frac{1-\epsilon\cos{\theta}}{r_0}.\end{align*}

Notre expression finale pour l'équation de l'orbite est :

\begin{align*}r&=\frac{1}{u},\\r&=\frac{r_0}{1+\epsilon\cos{\theta}}.\end{align*}

Alternativement, si nous choisissons la constante comme étant \(\pi\), nous obtenons la même équation d'orbite mais avec l'axe vertical réfléchi,

$$r=\frac{r_0}{1-\epsilon\cos{\theta}}.$$

Nous avons besoin de deux coordonnées pour suivre la position d'un satellite en orbite dans le ciel : l'angle d'azimut et l'angle d'élévation. L'angle d'azimut est un angle de \N(360^\circ\N) degrés de rotation horizontale, tandis que l'angle d'élévation est un angle de \N(90^\circ\N) degrés de rotation verticale. Ces angles sont mesurés à partir de l'antenne sur Terre. Nous présentons ci-dessous un diagramme pour t'aider à visualiser ces angles.

Fig. 5 - Schéma pour visualiser les angles d'azimut et d'élévation et pouvoir suivre la position d'un satellite en orbite.

L'équation permettant de calculer les angles d'azimut et d'élévation varie selon le type d'orbite. Nous parlerons ici de l'équation pour les satellites en orbite géostationnaire. Si nous voulons l'équation plus générale, cela devient un peu plus compliqué car nous devons ajouter certains facteurs comme la hauteur du satellite au-dessus du niveau de la mer et une équation dépendant du temps, car toutes les orbites n'ont pas la même période que la Terre.

Nous pouvons exprimer l'équation des angles d'azimut et d'élévation des satellites géostationnaires comme suit :

$$A=180^\circ+\;\tan^{-1}\left(\frac{\tan\left(S-N\right)}{\tan\left(L\right)}\right)$$

$$E=\tan^{-1}\left(\frac{\cos\left(S-N\right)\cos\left(L\right)-0.1512}{\sqrt{1-\cos^2\left(S-N\right)\cos^2\left(L\right)}}\right),$$

où \(S\) est la longitude du satellite en degrés, \({}^\circ\), \(N\) est la longitude du site de l'antenne en degrés, \({}^\circ\), et \(L\) est la latitude du site de l'antenne en degrés, \({}^\circ\).