Tu utiliseras le théorème travail-énergie dans des problèmes impliquant des pendules, des boucles de montagnes russes - des problèmes qui impliquent également l'énergie potentielle - cela vaut donc la peine de commencer par se familiariser avec les principes de base !
Vue d'ensemble du théorème travail-énergie
Dans la vie de tous les jours, nous sommes habitués à ce que le terme travail désigne tout ce qui nécessite un effort - musculaire ou mental. La définition de la physique résume cela, mais ce que tu ne sais peut-être pas, c'est que la quantité de travail en physique a des unités d'énergie, les joules. Pousser un bloc, par exemple, entraîne un changement dans son déplacement et aussi un changement dans sa vitesse. Comme la vitesse change, l'énergie cinétique du bloc a changé. Récapitulons ce que l'on entend par énergie cinétique à l'aide de la définition suivante.
L'énergie ciné tique d'un objet est l'énergie qu'il possède en vertu de son mouvement.
La variation de l'énergie cinétique est égale au travail effectué sur le bloc. Cette définition est très importante en physique, car elle permet de simplifier de nombreux problèmes, même ceux que nous pourrions déjà résoudre à l'aide des lois de Newton.
Qu'est-ce que le travail en physique ?
En physique , letravail est défini comme l'énergie qu'un objet obtient d'une force extérieure provoquant le déplacement de cet objet. Le travail n'entraîne pas seulement un changement de déplacement, mais aussi un changement de vitesse.
L'équation du travail le long d'une ligne droite est la suivante
\[W = F s\tag{1}\]
où l'objet effectue un déplacement \(s\) sous l'action d'une force \(F\) dans la même direction que le déplacement. Comme le montre cette équation, le travail augmente, que ce soit la force ou le déplacement qui augmente. Son unité est \(\text{force}\times\text{déplacement} = 1\text{ N}\cdot\text{m} = 1\text{ J}\).
Fig. 1 - Une boîte de masse \(m\) sur une surface sans frottement subit une force \(F\) vers la droite.
Disons que nous avons une boîte immobile de masse \(m\)sur une surface sans frottement . Lorsque nous examinonsles forces qui agissent sur elle, il y a le poids \N(w\N) vers le bas et la force normale \N(n\N) vers le haut. Lorsque nous la poussons en exerçant une force \(F\) vers la droite, la boîte commence à glisser vers la droite. En effet, la boîte obéit à la deuxième loi de Newton et son accélération se fait dans la direction de la force nette. Comme l'accélération est le taux auquel la vitesse change avec le temps, la boîte commencera à accélérer. Cela signifie également que le travail effectué sur l'objet est positif parce que la direction du déplacement et de la force nette est la même.
Fig. 2 - Sur l'image, une boîte se déplace vers la droite. Pendant qu'elle se déplace, une force nette est exercée sur elle dans la direction opposée et l'objet ralentit.
Cependant, si tu appliques une force vers la gauche alors que la boîte se déplace vers la droite, la force nette est maintenant vers la gauche, ce qui signifie que l'accélération est également vers la gauche. Si la vitesse et l'accélération sont dans des directions opposées, cela signifie que l'objet va ralentir ! De plus, si tu réalises que la direction de la force nette et le déplacement sont opposés, tu peux conclure que le travail total effectué sur l'objet est négatif.
Que pourrait-on dire du travail total effectué sur le bloc si la force était appliquée à un angle par rapport au déplacement ? Dans notre cas du bloc, le déplacement se fera toujours le long d'une ligne droite. Le travail sera positif, négatif ou nul en fonction de l'angle entre la force (\vec F\) et le déplacement (\vec s\). Le travail est un scalaire et est donné par le produit vectoriel de \(\vec F\) et \(\vec s\).
\[W = \vec F \cdot \vec s = Fs\cos\phi \tag{2}\]
Où \(\phi\) est l'angle entre la force \(\vec F\) et le déplacement \(\vec s\).
Rappelle que le produit scalaire est donné par \(\vec A \cdot \vec B = AB\cos \phi\).
Fig. 3 - Une boîte de masse \(m\) se déplaçant à la vitesse \(v\) subit une force verticale.
Si la boîte se déplace vers la droite et qu'une force constante est appliquée verticalement vers le bas sur la boîte, la force nette est nulle et le travail effectué par cette force est nul. Nous pouvons le voir à partir du produit scalaire, comme \N(\Nvec F \Ncdot \Nvec s = Fs\Ncos 90^{\circ} = 0\N). L'accélération sera également nulle, de sorte que le changement de vitesse sera nul. Par conséquent, en l'absence de frottement, la boîte continue de se déplacer à la même vitesse dans la même direction.
Cela peut sembler contre-intuitif, mais souviens-toi de notre première image : la force constante vers le bas dans l'image ci-dessus entraînera une force normale de la même ampleur, mais dans la direction opposée. Il n'y aura pas de force nette vers le bas et, bien qu'il y ait un déplacement \(s\N), le produit \N(W = Fs = 0\N). Mais s'il y avait un frottement entre la boîte et la surface, la force de frottement augmenterait car elle est proportionnelle à la force normale (\(f = \mu N\)). Il y aurait une quantité de travail effectuée par la force de frottement dans la direction opposée au déplacement et le bloc ralentirait. C'est parce que, selon l'équation (2),
\[W_f = \mu N \cos 180^{\circ} = -\mu N = -f\]
Tu verras des exemples du théorème travail-énergie avec la friction dans une autre section de cet article.
Lorsqu'une force exercée sur un objet entraîne un déplacement de cet objet, la force effectue un travail sur l' objet et lui transfère de l'énergie. La vitesse de l'objet changera : il accélérera si le travail effectué sur l'objet est positif, il ralentira si le travail effectué sur l'objet est négatif.
Consulte l'article sur le travail pour obtenir d'autres exemples de travail, et pour les cas où plusieurs forces agissent sur un corps.
Dérivation du théorème travail-énergie
Fig. 4 - Un bloc se déplaçant à la vitesse initiale de \(v_1\) est soumis à une force, \(\vec{F}_\text{net}\), sur un déplacement, \(s\), qui augmente sa vitesse à \(v_2\).
Sur l'image, un bloc de masse \(m\) a une vitesse initiale \(v_1\) et une position \(x_1\). Une force nette constante \(\vec F\) agit pour augmenter sa vitesse jusqu'à \(v_2\). Lorsque sa vitesse passe de \(v_1\) à \(v_2\), il subit un déplacement \(\vec s\). Comme la force nette est constante, l'accélération \(a\) est constante et est donnée par la deuxième loi de Newton : \(F = ma_x\). Nous pouvons utiliser l'équation du mouvement à accélération constante, qui relie la vitesse finale, la vitesse initiale et le déplacement.
\[{v_2}^2={v_1}^2+2 a_x s\]
En réarrangeant pour l'accélération :
\[a_x = \frac{{v_2}^2-{v_1}^2}{2s}\]
En introduisant ces données dans la deuxième loi de Newton
\[F = ma_x = m \frac{{v_2}^2-{v_1}^2}{2s}\]
Le travail effectué par la force sur un déplacement \(s\) est alors le suivant
\[W = F s = \frac{1}{2}m {v_2}^2 - \frac{1}{2}m {v_1}^2, \]
qui est simplement l'énergie cinétique finale moins l'énergie cinétique initiale du bloc, ou le changement d'énergie cinétique de la boîte après qu'elle a été accélérée.
L'énergie cinétique \(K\) est également un scalaire, mais contrairement au travail \(W\), elle ne peut pas être négative. La masse de l'objet \(m\) n'est jamais négative, et la quantité \(v^2\) (\(\text{speed$^2$}\)) est toujours positive. Qu'un objet se déplace en avant ou en arrière par rapport au système de coordonnées que nous avons choisi, \(K\) sera toujours positif, et il sera nul pour un objet au repos.
Cela nous amène à la définition suivante :
Le théorème travail-énergie dit que le travail effectué sur un objet par une force nette est égal à la variation de l'énergie cinétique de l'objet. Ce théorème s'exprime mathématiquement comme suit
\[W_{\text{tot}} = K_2 - K_1 = \Delta K \tag{3}.\N]
Équation du théorème travail-énergie
Dans notre définition du travail de la première section, nous avons dit que l'objet accélère si le travail effectué est positif et qu'il ralentit s'il est négatif. Lorsqu'un objet a de la vitesse , il a aussi de l'énergie cinétique .Selon le théorème travail-énergie, le travail effectué sur un objet est égal à la variation de l'énergie cinétique. Étudions la question en utilisant l'équation (3) que nous avons dérivée dans la section précédente.
\[W_{\text{tot}} = K_2 - K_1 = \Delta K\]
Pour que le travail soit positif, \(K_2\) doit être plus grand que \(K_1\), ce qui signifie que l'énergie cinétique finale est plus grande que l'énergie cinétique initiale. L'énergie cinétique étant proportionnelle à la vitesse, la vitesse finale est plus grande que la vitesse initiale. Cela signifie que notre objet accélère.
Exemples de force constante du théorème travail-énergie
Nous allons voir ici quelques exemples d'application du théorème travail-énergie dans le cas particulier où la force considérée a une valeur constante.
Théorème travail-énergie sans frottement
Fig. 5 - Un bloc se déplaçant à une vitesse initiale de \(4,\mathrm{m\N,s^{-1}}\), est soumis à une force \(F_text{net}=100,\mathrm{N}\N), sur un déplacement, \(10,\mathrm{m}\N), qui augmente sa vitesse à \(\vec{v_2}\N).
Supposons que le bloc sur l'image ait une masse de \(2\text{ kg}\) avec une vitesse initiale de \(4\text{ m/s}\). Quelle est la vitesse du bloc après qu'il se soit déplacé de \(10\text{ m}\) si une force nette de \(10\text{ N}\) est exercée sur l'objet ?
Equations:
\(W_{\text{tot}} = K_2-K_1\hspace{10pt}(a)\N)
Connaissances:
\N(m=2\text{ kg}\N), \N(v_1 = 4\text{ m/s}\N), force appliquée : \N(F = 10\text{ N}\N), déplacement : \N(x = 10\text{ m}\N).
Inconnues:
\(v_2\).
\[\begin{align}K_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\times 2\text{ kg}\times {(4\text{ m/s})}^2 \\N- &=16\text{ J} \\N- \N- W_\Ntext{tot} &=F_x x\N- &=10\Ntext{ N}\Nfois 10\Ntext{ m} \N- &= 100\N-{ J}\Nfin{align}\N]
D'après (a)
\N- [\N- Début{align} K_2 &= K_1 + W_{\text{tot}} \\N- &= 100\text{ J} + 16\text{ J} = 116\text{ J} \N- [end{align}\N]
A partir de là, en utilisant \(K_2= \textstyle\frac{1}{2} m {v_2}^2\) :
\[v_2 = \sqrt{\frac{2\times 116\text{ J}}{2\text{ kg}}\simeq 11\text{ m/s}\]
Alternatively, you could have found the acceleration by \[\begin{align}\sum F_x &= m a_x \\a_x &= \frac{10\text{ N}}{2\text{ kg}} = 5\text{ m/s$^2$}\end{align}\] and then the equation of motion in two dimensions linking velocity, acceleration and displacement :
\[\N-[\N-{v_2}^2&={v_1}^2+2comme \N &= (4\N{ m/s})^2 + 2 \N-fois 5\N{ m/s$^2$} \n- fois 10\n- fois 10\n- fois 10\n- fois 10\n- fois m} \N- &= 116\N-{ m/s$^2$} \\N- \Nimplique v_2 &\Nsimeq 11\Ntext{ m/s}\Nend{align}\N]
Théorème travail-énergie avec frottement
Le bloc de masse \(2\text{ kg}\) avec une vitesse initiale de \(4\text{ m/s}\) dans l'exemple précédent, subit la même force \ (10\text{ N}\) qu'auparavant, mais a maintenant une petite force due à la friction cinétique de \(2\text{ N}\). Quelle est la vitesse du bloc, après qu'il se soit déplacé de \(10\text{ m}\), dans ce cas?
Fig. 6 - Sur l'image, une force extérieure et une force de frottement agissent sur l'objet. L'objet est déplacé de \N(10\N,\Nmathrm{m}\N).
Pour résoudre ce problème, considère le diagramme des corps libres du bloc :
Dans la direction \(x\)- : \(\sum F_x = 10\text{ N} - 2\text{ N} = 8\text{ N}\)
Equations:
Travail dans le sens \(x\)-direction : \N(F_x = F_x x\N)
Travail-énergie : \(W_{\text{tot}} = \Delta K = \textstyle\frac{1}{2}m{v_2}^2 - \textstyle\frac{1}{2}m{v_1}^2\)
Connaissances:
\N(m=2\text{ kg}\N), \N( v_1 = 4\text{ m/s}\N), force appliquée : \N( F = 10\N{ N}\N), force due au frottement : \(f=2\text{ N}\), déplacement : \N(x = 10\text{ m}\N).
Inconnues: \(v_2\)
\[\begin{align}K_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\times 2\text{ kg}\times {(4\text{ m/s})}^2 \\N- &=16\text{ J} \\N- W_\text{tot} &=F_x x\N- &= 8\N{ N} \N- fois 10\Ntext{ m}\N &=80\Ntext{ J}\Nend{align}\N]
D'après notre équation travail-énergie:\[\N- Début{align} K_2 &= W_{\text{tot}} + K_1 \\N- &= 80\text{ J} + 16\text{ J} = 96\text{ J}\end{align}\]
Par conséquent, d'après \(K_2 = \textstyle\frac{1}{2}m{v_2}^2\):
\[v_2 =\sqrt{\frac{2\times 96\text{ J}}{2\text{ kg}} \simeq 10\text{ m/s}\]
\La force de frottement a réduit la vitesse de \N(1\text{ m/s}).
Théorème du travail et de l'énergie pour une force variable
Précédemment, nous avons discuté du travail effectué par des forces constantes et nous avons appliqué le théorème du travail et de l'énergie.
Ici, nous discutons du théorème du travail et de l'énergie comme s'appliquant uniquement à des particules ponctuelles, ou à des masses ponctuelles. Comme la preuve générale qui suit le démontrera, le théorème du travail et de l'énergie s'applique aux forces qui varient en magnitude ou en direction, ou les deux !
Un objet est modélisé comme une masse ponctuelle ou une particule ponct uelle s'il peut être traité comme un point sans dimension où toute la masse des objets semble agir.
Un exemple du contraire serait le corps humain, où les différentes parties du corps bougent de différentes manières. Nous appelons cela un système composite. L'énergie cinétique totale d'un système composite peut changer sans qu'aucun travail ne soit effectué sur le système, mais l'énergie cinétique totale d'une particule ponctuelle ne changera que si une force extérieure effectue un travail sur elle.
Pour montrer que le théorème s'applique également à une force variable, considérons une force qui varie avec la position \(x\), \(F_x\). Tu as rencontré le concept de travail en tant qu'aire sous la courbe force-déplacement dans l'article Travail.
Nous divisons la surface sous la courbe en colonnes étroites de largeur \(\Delta x_i\) et de hauteur \(F_{i,x}\), comme indiqué. La surface de ces colonnes est donnée par \(F_{i,x}\Delta x_i\). Comme la largeur \(\Delta x_i\) est de plus en plus petite, nous obtenons l'intégrale suivante pour une force variable le long d'un déplacement en ligne droite de \(x_1\) à \(x_2\),\[W = \int^{x_2}_{x_1} F_x\ ; dx\tag{4}\].
Nous pouvons appliquer ce principe à un ressort, qui a besoin d'une force plus importante pour se comprimer ou s'étirer à mesure que le déplacement par rapport à sa position naturelle augmente. L'ampleur de la force nécessaire pour étirer/compresser un ressort est la suivante
\[F_x = kx\]
Où \(k\) est la constante de force en \(\text{N/m}\). Pour étirer ou comprimer un ressort, il faut donc
\NW &= \Nint^{x_2}_{x_1} k\N;x\N ; dx \N &= \Nleft[\Nstylefrac{1}{2}kx^2\Nright]_{x_1}^{x_2}]. \N- & = \textstyle\frac{1}{2}k{x_2}^2- \textstyle\frac{1}{2}k{x_1}^2.\N- [end{align}\N].
Le travail effectué par la force sur le ressort est égal à l'aire du triangle de base \(x_2-x_1\) et de hauteur \(kx_2\).
Travail effectué par une force variable le long d'une ligne droite
Considère que tu dois déplacer une masse ponctuelle dans la direction \(x\), mais que la résistance au mouvement change en cours de route, de sorte que la force que tu appliques varie en fonction de la position. Nous pourrions avoir une force qui varie en fonction de \(x), c'est-à-dire force = \(F(x)\)
Théorème du travail et de l'énergie avec une force variable - travail effectué sur un ressort
Une luge dans un parc aquatique est propulsée vers l'avant par un ressort de masse négligeable et de constante élastique \(k=4000\text{ N/m}\).
Diagrammes des corps libres: Le seul diagramme de corps libre dont nous avons besoin est celui de la luge.
Fig. 7 - Diagramme des corps libres montrant les forces agissant sur le traîneau et le coureur.
La masse combinée de la luge et du coureur est de \(70,0\text{ kg}\). Le ressort, fixé au mur à l'extrémité opposée, est comprimé de \(0,375\text{ m}\) et la vitesse initiale de la luge est de \(0\text{ m/s}\). Quelle est la vitesse finale du traîneau lorsque le ressort retrouve sa longueur non comprimée ?
Variables connues:
Longueur de compression = \(d = 0,375\text{ m}\),
Vitesse initiale de la luge = \(v_1=0\text{ m/s}\), ( \(\concrètement\) l'énergie cinétique initiale est nulle).
masse de la luge et du coureur = \(m=70.0\text{ kg}\),
constante du ressort \(k = 4000\text{ N/m}\).
Variables inconnues:
Vitesse finale \(v_2\), \(\concurrence}) énergie cinétique finale.
Equations:
\(W_{\text{tot}} = \textstyle\frac{1}{2}k{x_1}^2 - \textstyle\frac{1}{2}k{x_2}^2 \tag{a}\) (nous avons inversé les signes car le travail effectué par le ressort est négatif lors d'une décompression).
\(W_{\text{tot}} = \Delta K = \textstyle\frac{1}{2}m{v_2}^2 - \textstyle\frac{1}{2}m{v_1}^2 \tag{b}\)
Puisque \(W_{\text{tot}} = \Delta K\) nous pouvons mettre en équation les côtés droits des équations (a) et (b) .
Nous avons alors \[\textyle\frac{1}{2}k{x_1}^2 - \textyle\frac{1}{2}k{x_2}^2 = \textyle\frac{1}{2}m{v_2}^2 - \textyle\frac{1}{2}m{v_1}^2].
En laissant \(x_1 = d = 0,375\text{ m}\), la compression initiale, et \(x_2 = 0\text{ m}\), et \(v_1 = 0\text{ m/s}\).
\[\begin{align}\textstyle\frac{1}{2}k{d}^2 - \textstyle\frac{1}{2}k\times{0}^2 &= \textstyle\frac{1}{2}m{v_2}^2 - \textstyle\frac{1}{2}m\times{0}^2 \\cancel{\textyle\frac{1}{2}}k{d}^2 &= \cancel{\textyle\frac{1}{2}}m{v_2}^2\cancel{\style\frac{1}{2}}m{v_2}^2\nbsp;end{align}\nbsp ;]
Réarrangement pour \(v_2\) :
\[v_2 = \sqrt{\frac{k}{m}}{d}\]
Entrée de nos valeurs pour \(k\N), \N(m\N) et \N(d\N) :
\[\begin{align}v_2 &= \sqrt{\frac{4000\text{ N/m}}{70.0\text{ kg}}}\times{0.375\text{ m}} \\N- &= 2.84\text{ m/s (3 s.f.)}\end{align}\N]
Travail effectué par une force variable le long d'une ligne courbe
Le théorème du travail et de l'énergie peut être généralisé à une trajectoire courbe et à une force variable. Si nous suivons la trajectoire indiquée sur la figure, la direction de \(\vec F\) par rapport au vecteur de déplacement \(\vec s\) en un point changera continuellement. Nous pouvons diviser la trajectoire en déplacements de plus en plus petits \(\delta \vec s\), où \(\delta \vec s = \delta x\;{\hat{\textbf{i}}} + \delta y\;{\hat{\textbf{i}}) + \delta y\;{\hat{\textbf{j}}}\).
Fig. 8 - Trajectoire courbe divisée en petits éléments de déplacement en raison de la présence d'une force variable.
L'intégrale de \(\vec F\) le long de la trajectoire ci-dessus est approximée par la somme des contributions de chacun des petits déplacements \(s_i\).
Rappelle notre définition du travail en termes de produit scalaire - équation (2) : \(W = \vec F \cdot \vec s = Fs\cos\phi\) - et notre définition intégrale du travail dans l'équation (4).
En réduisant ces déplacements à déplacements infinitésimaux \(d\vec s\) jusqu'à ce qu'ils soient approximativement des segments de ligne droite, tangents à la trajectoire en un point, nous obtenons l'intégrale suivante
\[W = \int_{\text{path}} \vec F\ ; d \vec s = \int^{P_2}_{P_1} F \cos \phi \ ; ds\tag{5}\]
La force est pratiquement constante sur un segment infinitésimal \(d\vec s\), mais peut varier dans l'espace. La variation de l'énergie cinétique sur l'ensemble de la trajectoire est égale au travail, c'est-à-dire qu'elle est égale à l'intégrale de (5). Comme pour nos exemples précédents, c'est seulement la force agissant le long du déplacement qui effectue le travail et modifie l'énergie cinétique.
L'exemple ci-dessous consiste à calculer une intégrale de ligne vectorielle.
Etant donné un vecteur de déplacement \[\vec s = x(t)\;{\hat{\textbf{i}}} + y(t)\;{\hat{\textbf{j}}} où \[x=v_0 t, \hspace{10pt}y=-\textstyle\frac12 gt^2\]
Quel est le travail effectué par une force qui consiste en un champ vectoriel \[\N-vec F = -2\Nalpha \Nà gauche(\Nfrac{1}{x^3}\\N;{\hat{\textbf{i}}} + \Nfrac{1}{y^3}\N;{\hat{\textbf{j}}}\Nà droite)\N] ?
entre les temps \(t_1=1\) et \(t_2=2\) ?
Prends \(\alpha = -32\text{ J}\N), \(v_0 = 4\text{ m/s}\N) et \(g=10\text{ m/s$^2$}\N).
Solution:
\[\frac{dx}{dt}=v_0 \hspace{20pt} \frac{dy}{dt}=-gt\]
Nous devons également exprimer \N(\Nvec F\N) en termes de \N(t\N), en utilisant nos expressions pour \N(x=x(t)\Net \N(y=y(t)\N)et en utilisant nos expressions pour \N(x=x(t)\Net \N(y=y(t)\Net ) :
\[F_x = \frac{-2\alpha}{x^3}=\frac{-2\alpha }{{v_0}^3 t^3}\]
\[F_y = \frac{-2\alpha }{\left(-\textstyle\frac12 g t^2\right)^3}=\frac{-2\alpha }{-\textstyle\frac18 g^3 t^6}\]
Maintenant, calcule le produit scalaire : \[\begin{align} F_x;\frac{dx}{dt} + F_y\;\frac{dy}{dt} &= -2\alpha\left(\frac{1}{{v_0}^3 t^3}) \times v_0 + \left(\frac{-8}{g^3 t^6}\right)\times -gt \right)\\ &=-2\alpha\left(\frac{1}{{v_0}^2 t^3} + \frac{8}{g^2 t^5}\right)\end{align}\]
Notre intégrale est
\[\begin{align}\int_{\text{path}} \vec F\ ; d \vec s &= \int^{t_2}_{t_1} \vec F \cdot \frac{d\vec s}{dt} dt \c &= \int^{t_2}_{t_1} \left[F_x\;\frac{dx}{dt}+F_y\;\frac{dy}{dt}\right]dt\end{align}\]
Pour laquelle nous obtenons (en ignorant les unités pour le moment)
\[\begin{align}-2\alpha\int^{t_2}_{t_1} \left[\frac{1}{v_0}^2 t^3} + \frac{8}{g^2 t^5} \right] dt &= -2\alpha\left[-\textstyle\frac12 \frac{1}{v_0}^2 t^2}-\textstyle\frac14 \frac{1}{g^2 t^4}\right]_1^2 \\\\N- = -\alpha\left [-\textyle\frac12 \frac{1}{v_0}^2 t^2}-\textyle\frac14 \frac{1}{g^2 t^4}\right]_1^2 \N &= -\alpha\left(\frac{3}{4{v_0}^2} + \frac{15}{32 g^2}\right)\Nend{align}\N]
Saisir des valeurs et faire attention aux unités :
\[\N-(-32\Nkg m$^2$/s$^2$})\Nà gauche(\frac{3}{4 fois\Nà gauche(4\Nm/s}\Nà droite)^2}\Nà gauche{s$^{-2}$) + \frac{15}{32\times\left(10\text{ m/s$^2$}\right)^2}\text{s$^{-4}$\right) \N &= 32\text{ kg m$^2$/s$^2$} \n- fois \n- gauche(\frac{3}{16}\n-text{ m$^{-2}$} + \frac{15}{3200}\n-text{m$^{-2}$}\n- droite)\n- &= 5.85\n-text { J}\n- end{align}\n-]
Preuve du théorème travail-énergie
Le théorème travail-énergie s'applique lorsque la force varie en fonction de la position et de la direction. Il s'applique également lorsque la trajectoire prend n'importe quelle forme. Cette section présente une preuve du théorème du travail et de l'énergie en trois dimensions. Considérons une particule qui se déplace le long d'une trajectoire courbe dans l'espace, de \N((x_1,y_1,z_1)\Nà \N((x_2,y_2,z_2)\N). Une force nette \N[\Nvec F = F_x\N;{\hat{\Ntextbf{i}}} agit sur elle. + F_y\;{\hat{\textbf{j}}} + F_z\;{\hat{\textbf{k}}}\]
où \(F_x = F_x(x)\), \(F_y = F_y(y)\) et \(F_z=F_z(z)\).
La particule a une vitesse initiale
\[\N-vec v = v_x\N;{\hat{\Nbf{i}}) + v_y\;{\hat{\textbf{j}}} + v_z\;{\hat{\textbf{k}}}\]
où \(v_x = v_x(x)\),et la trajectoire est divisée en de nombreux segments infinitésimaux \[d\vec s = dx\;{\hat{\textbf{i}}} + dy\;{\hat{\textbf{j}}} + dz\;{\hat{\textbf{k}}} \]
Pour la direction \(x\), la composante \(x\) du travail \(W_x = F_x dx\), est égale au changement d'énergie cinétique dans la direction \(x\), et la même chose pour les directions \(y\) et \(z\). Le travail total est la somme des contributions de chaque segment de chemin.
La force varie avec la position, et comme \( \text{Force} = \text{masse$\ ; \times\ ; $accélération}\), elle varie également avec la vitesse.
En changeant de variable et en utilisant la règle de la chaîne pour les dérivées, pour la direction \(x\), nous avons :
\[a_x = \frac{dv_x}{dt}=\frac{dv_x}{dx}\frac{dx}{dt}=v_x\frac{dv_x}{dx}\]
De même pour les autres directions, \(a_y = v_y\frac{dv_y}{dy}\) et \(a_z = v_z\frac{dv_z}{dz}\).
Pour la direction \(x\), et en prenant \ (v_{x_1} = v_x(x_1)\) par exemple :
\[\N- Début{alignement}W_x &= \Nint_{x_1}^{x_2} m\N;a_x\N;dx \N- &=m\Nint_{x_1}^{x_2}v_x\Nfrac{dv_x}{dx}\N;dx\N-&=m\Nint_{x_1}^{x_2} v_x\N ; \N- &=m\Nint_{x_1}^{x_2} v_x\N ; \N- &=m\Nint_{x_1}^{x_2} v_x ;dv_x\\N-&=\textstyle\frac12 m \left[{v_x}^2\right]_{x_1}^{x_2}\N-&=\frac12 m {v_{x_2}^2-\frac12 m {v_{x_1}^2\Nend{align}\N].
Nous obtenons l'équivalent pour les directions \(y\)- et \(z\)-.
Par conséquent
\[\begin{align}W_\text{tot} = \displaystyle\int_{x_1, y_1, z_1}^{x_2, y_2, z_2} &\vec F \cdot d\vec l \\c \c = \cint_{x_1, y_1, z_1}^{x_2, y_2, z_2}&F_x dx +F_y dy + F_z dz \c &= \cint_{x_1}^{x_2} F_x dx + \int_{y_1}^{y_2} F_y dy + \int_{z_1}^{z_2} F_z dz \\N- &=\N;\N;\Nfrac12 m {v_{x_2}}^2-\Nfrac12 m {v_{x_1}}^2 \N- &\N;\N;\N;\N;\N+ \N;\N;\N ;\frac12 m {v_{y_2}}^2-\frac12 m {v_{y_1}}^2 \\&\;\;+ \;\ ; \frac12 m {v_{z_2}}^2-\frac12 m {v_{z_1}}^2\\\N-&=K_2-K_1. \N-END{align}\N]
Puisque nous utilisons la deuxième loi de Newton pour dériver le théorème du travail et de l'énergie ici, note que cette dérivation particulière ne s'applique qu'aux cadres de référence inertiels. Mais le théorème travail-énergie lui-même est valable dans n'importe quel cadre de référence, y compris les cadres de référence non inertiels, dans lesquels les valeurs de \(W_\text{tot}\) et \(K_2 - K_1\) peuvent varier d'un cadre inertiel à l'autre (en raison du déplacement et de la vitesse d'un corps qui sont différents dans les différents cadres). Pour en tenir compte, dans les référentiels non inertiels, des pseudo-forces sont incluses dans l'équation pour tenir compte de l'accélération supplémentaire que chaque objet semble avoir atteinte.
Théorème du travail et de l'énergie - Principaux enseignements
- Letravail (W\) est le produit de la composante de la force dans la direction du mouvement et du déplacement sur lequel la force agit. Le concept de travail s'applique également lorsqu'il y a une force variable et un déplacement non linéaire, ce qui conduit à la définition intégrale du travail.
- Letravail \(W\) est effectué par une force sur un objet, et une quantité nette de travail effectuée par une force nette entraîne un changement dans la vitesse et le déplacement de l'objet .
- Selon le théorème travail-énergie, le travail effectué sur un objet est égal à la variation de l'énergie cinétique. L'unité SI du travail est la même que celle de l'énergie cinétique, le joule (\text{J}\).
- L'objet accélère si le travail effectué sur l'objet est positif, et ralentit si le travail effectué sur l'objet est négatif. Par exemple,une force de frottement effectue un travail négatif. Si le travail total est nul, l'énergie cinétique et donc la vitesse restent inchangées.
- Le théorème travail-énergie s'applique dans les référentiels inertiels mais est valable dans toutes les dimensions, même si la trajectoire n'est pas rectiligne. \(W_\text{tot} = K_2 - K_1\) est vrai en général, quelles que soient la trajectoire et la nature de la force.
Références
- Fig. 1 - Sur l'image, une boîte se déplace vers la droite. Pendant qu'elle se déplace, une force nette est exercée sur elle dans la direction opposée et l'objet ralentit. Originaux de StudySmarter
- Fig. 2 - Sur l'image, une boîte est immobile sur une surface sans frottement. La force s'exerce sur l'objet vers la droite et l'accélération se fait dans la même direction que la force nette. StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Sur l'image, la boîte se déplace vers la droite. La force \(F\) exercée sur la boîte est verticale vers le bas. La vitesse reste constante. StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Un bloc se déplaçant à la vitesse initiale de \(v_1\), subit l'action d'une force, \(F_text{net}\), sur un déplacement, \(s\), qui augmente sa vitesse à \(v_2\). StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Un bloc se déplaçant à la vitesse initiale de \(4\N,\Nmathrm{m/s}\Nest soumis à une force, \N(F_\text{net}=100\N,\Nmathrm{N}\N), sur un déplacement, \N(10\N,\Nmathrm{m}\N), qui augmente sa vitesse jusqu'à \N(v_2\N). StudySmarter Originals.
- Fig. 6 - Sur l'image, une force extérieure et une force de frottement agissent sur l'objet. L'objet est déplacé de \(10\text{ m}\). StudySmarter Originals
- Fig. 7 - Diagramme du corps libre pour la masse du traîneau et du coureur. StudySmarter Originals.
- Fig. 8 - Un segment de ligne divisé en une multitude de petits déplacements. StudySmarter Originals.
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