Théorème du travail et de l'énergie

Vue d'ensemble du théorème travail-énergie

Dans la vie de tous les jours, nous sommes habitués à ce que le terme travail désigne tout ce qui nécessite un effort - musculaire ou mental. La définition de la physique résume cela, mais ce que tu ne sais peut-être pas, c'est que la quantité de travail en physique a des unités d'énergie, les joules. Pousser un bloc, par exemple, entraîne un changement dans son déplacement et aussi un changement dans sa vitesse. Comme la vitesse change, l'énergie cinétique du bloc a changé. Récapitulons ce que l'on entend par énergie cinétique à l'aide de la définition suivante.

La variation de l'énergie cinétique est égale au travail effectué sur le bloc. Cette définition est très importante en physique, car elle permet de simplifier de nombreux problèmes, même ceux que nous pourrions déjà résoudre à l'aide des lois de Newton.

Qu'est-ce que le travail en physique ?

En physique , letravail est défini comme l'énergie qu'un objet obtient d'une force extérieure provoquant le déplacement de cet objet. Le travail n'entraîne pas seulement un changement de déplacement, mais aussi un changement de vitesse.

L'équation du travail le long d'une ligne droite est la suivante

\[W = F s\tag{1}\]

où l'objet effectue un déplacement \(s\) sous l'action d'une force \(F\) dans la même direction que le déplacement. Comme le montre cette équation, le travail augmente, que ce soit la force ou le déplacement qui augmente. Son unité est \(\text{force}\times\text{déplacement} = 1\text{ N}\cdot\text{m} = 1\text{ J}\).

Fig. 1 - Une boîte de masse \(m\) sur une surface sans frottement subit une force \(F\) vers la droite.

Disons que nous avons une boîte immobile de masse \(m\)sur une surface sans frottement . Lorsque nous examinonsles forces qui agissent sur elle, il y a le poids \N(w\N) vers le bas et la force normale \N(n\N) vers le haut. Lorsque nous la poussons en exerçant une force \(F\) vers la droite, la boîte commence à glisser vers la droite. En effet, la boîte obéit à la deuxième loi de Newton et son accélération se fait dans la direction de la force nette. Comme l'accélération est le taux auquel la vitesse change avec le temps, la boîte commencera à accélérer. Cela signifie également que le travail effectué sur l'objet est positif parce que la direction du déplacement et de la force nette est la même.

Fig. 2 - Sur l'image, une boîte se déplace vers la droite. Pendant qu'elle se déplace, une force nette est exercée sur elle dans la direction opposée et l'objet ralentit.

Cependant, si tu appliques une force vers la gauche alors que la boîte se déplace vers la droite, la force nette est maintenant vers la gauche, ce qui signifie que l'accélération est également vers la gauche. Si la vitesse et l'accélération sont dans des directions opposées, cela signifie que l'objet va ralentir ! De plus, si tu réalises que la direction de la force nette et le déplacement sont opposés, tu peux conclure que le travail total effectué sur l'objet est négatif.

Que pourrait-on dire du travail total effectué sur le bloc si la force était appliquée à un angle par rapport au déplacement ? Dans notre cas du bloc, le déplacement se fera toujours le long d'une ligne droite. Le travail sera positif, négatif ou nul en fonction de l'angle entre la force (\vec F\) et le déplacement (\vec s\). Le travail est un scalaire et est donné par le produit vectoriel de \(\vec F\) et \(\vec s\).

\[W = \vec F \cdot \vec s = Fs\cos\phi \tag{2}\]

Où \(\phi\) est l'angle entre la force \(\vec F\) et le déplacement \(\vec s\).

Fig. 3 - Une boîte de masse \(m\) se déplaçant à la vitesse \(v\) subit une force verticale.

Si la boîte se déplace vers la droite et qu'une force constante est appliquée verticalement vers le bas sur la boîte, la force nette est nulle et le travail effectué par cette force est nul. Nous pouvons le voir à partir du produit scalaire, comme \N(\Nvec F \Ncdot \Nvec s = Fs\Ncos 90^{\circ} = 0\N). L'accélération sera également nulle, de sorte que le changement de vitesse sera nul. Par conséquent, en l'absence de frottement, la boîte continue de se déplacer à la même vitesse dans la même direction.

Cela peut sembler contre-intuitif, mais souviens-toi de notre première image : la force constante vers le bas dans l'image ci-dessus entraînera une force normale de la même ampleur, mais dans la direction opposée. Il n'y aura pas de force nette vers le bas et, bien qu'il y ait un déplacement \(s\N), le produit \N(W = Fs = 0\N). Mais s'il y avait un frottement entre la boîte et la surface, la force de frottement augmenterait car elle est proportionnelle à la force normale (\(f = \mu N\)). Il y aurait une quantité de travail effectuée par la force de frottement dans la direction opposée au déplacement et le bloc ralentirait. C'est parce que, selon l'équation (2),

\[W_f = \mu N \cos 180^{\circ} = -\mu N = -f\]

Tu verras des exemples du théorème travail-énergie avec la friction dans une autre section de cet article.

Consulte l'article sur le travail pour obtenir d'autres exemples de travail, et pour les cas où plusieurs forces agissent sur un corps.

Dérivation du théorème travail-énergie

Fig. 4 - Un bloc se déplaçant à la vitesse initiale de \(v_1\) est soumis à une force, \(\vec{F}_\text{net}\), sur un déplacement, \(s\), qui augmente sa vitesse à \(v_2\).

Sur l'image, un bloc de masse \(m\) a une vitesse initiale \(v_1\) et une position \(x_1\). Une force nette constante \(\vec F\) agit pour augmenter sa vitesse jusqu'à \(v_2\). Lorsque sa vitesse passe de \(v_1\) à \(v_2\), il subit un déplacement \(\vec s\). Comme la force nette est constante, l'accélération \(a\) est constante et est donnée par la deuxième loi de Newton : \(F = ma_x\). Nous pouvons utiliser l'équation du mouvement à accélération constante, qui relie la vitesse finale, la vitesse initiale et le déplacement.

\[{v_2}^2={v_1}^2+2 a_x s\]

En réarrangeant pour l'accélération :

\[a_x = \frac{{v_2}^2-{v_1}^2}{2s}\]

En introduisant ces données dans la deuxième loi de Newton

\[F = ma_x = m \frac{{v_2}^2-{v_1}^2}{2s}\]

Le travail effectué par la force sur un déplacement \(s\) est alors le suivant

\[W = F s = \frac{1}{2}m {v_2}^2 - \frac{1}{2}m {v_1}^2, \]

qui est simplement l'énergie cinétique finale moins l'énergie cinétique initiale du bloc, ou le changement d'énergie cinétique de la boîte après qu'elle a été accélérée.

Cela nous amène à la définition suivante :

Équation du théorème travail-énergie

Dans notre définition du travail de la première section, nous avons dit que l'objet accélère si le travail effectué est positif et qu'il ralentit s'il est négatif. Lorsqu'un objet a de la vitesse , il a aussi de l'énergie cinétique .Selon le théorème travail-énergie, le travail effectué sur un objet est égal à la variation de l'énergie cinétique. Étudions la question en utilisant l'équation (3) que nous avons dérivée dans la section précédente.

\[W_{\text{tot}} = K_2 - K_1 = \Delta K\]

Pour que le travail soit positif, \(K_2\) doit être plus grand que \(K_1\), ce qui signifie que l'énergie cinétique finale est plus grande que l'énergie cinétique initiale. L'énergie cinétique étant proportionnelle à la vitesse, la vitesse finale est plus grande que la vitesse initiale. Cela signifie que notre objet accélère.

Exemples de force constante du théorème travail-énergie

Nous allons voir ici quelques exemples d'application du théorème travail-énergie dans le cas particulier où la force considérée a une valeur constante.

Théorème travail-énergie sans frottement

Théorème travail-énergie avec frottement

Théorème du travail et de l'énergie pour une force variable

Précédemment, nous avons discuté du travail effectué par des forces constantes et nous avons appliqué le théorème du travail et de l'énergie.

Ici, nous discutons du théorème du travail et de l'énergie comme s'appliquant uniquement à des particules ponctuelles, ou à des masses ponctuelles. Comme la preuve générale qui suit le démontrera, le théorème du travail et de l'énergie s'applique aux forces qui varient en magnitude ou en direction, ou les deux !

Un exemple du contraire serait le corps humain, où les différentes parties du corps bougent de différentes manières. Nous appelons cela un système composite. L'énergie cinétique totale d'un système composite peut changer sans qu'aucun travail ne soit effectué sur le système, mais l'énergie cinétique totale d'une particule ponctuelle ne changera que si une force extérieure effectue un travail sur elle.

Pour montrer que le théorème s'applique également à une force variable, considérons une force qui varie avec la position \(x\), \(F_x\). Tu as rencontré le concept de travail en tant qu'aire sous la courbe force-déplacement dans l'article Travail.

Nous divisons la surface sous la courbe en colonnes étroites de largeur \(\Delta x_i\) et de hauteur \(F_{i,x}\), comme indiqué. La surface de ces colonnes est donnée par \(F_{i,x}\Delta x_i\). Comme la largeur \(\Delta x_i\) est de plus en plus petite, nous obtenons l'intégrale suivante pour une force variable le long d'un déplacement en ligne droite de \(x_1\) à \(x_2\),\[W = \int^{x_2}_{x_1} F_x\ ; dx\tag{4}\].

Nous pouvons appliquer ce principe à un ressort, qui a besoin d'une force plus importante pour se comprimer ou s'étirer à mesure que le déplacement par rapport à sa position naturelle augmente. L'ampleur de la force nécessaire pour étirer/compresser un ressort est la suivante

\[F_x = kx\]

Où \(k\) est la constante de force en \(\text{N/m}\). Pour étirer ou comprimer un ressort, il faut donc

\NW &= \Nint^{x_2}_{x_1} k\N;x\N ; dx \N &= \Nleft[\Nstylefrac{1}{2}kx^2\Nright]_{x_1}^{x_2}]. \N- & = \textstyle\frac{1}{2}k{x_2}^2- \textstyle\frac{1}{2}k{x_1}^2.\N- [end{align}\N].

Le travail effectué par la force sur le ressort est égal à l'aire du triangle de base \(x_2-x_1\) et de hauteur \(kx_2\).

Travail effectué par une force variable le long d'une ligne droite

Considère que tu dois déplacer une masse ponctuelle dans la direction \(x\), mais que la résistance au mouvement change en cours de route, de sorte que la force que tu appliques varie en fonction de la position. Nous pourrions avoir une force qui varie en fonction de \(x), c'est-à-dire force = \(F(x)\)

Théorème du travail et de l'énergie avec une force variable - travail effectué sur un ressort

Travail effectué par une force variable le long d'une ligne courbe

Le théorème du travail et de l'énergie peut être généralisé à une trajectoire courbe et à une force variable. Si nous suivons la trajectoire indiquée sur la figure, la direction de \(\vec F\) par rapport au vecteur de déplacement \(\vec s\) en un point changera continuellement. Nous pouvons diviser la trajectoire en déplacements de plus en plus petits \(\delta \vec s\), où \(\delta \vec s = \delta x\;{\hat{\textbf{i}}} + \delta y\;{\hat{\textbf{i}}) + \delta y\;{\hat{\textbf{j}}}\).

Fig. 8 - Trajectoire courbe divisée en petits éléments de déplacement en raison de la présence d'une force variable.

L'intégrale de \(\vec F\) le long de la trajectoire ci-dessus est approximée par la somme des contributions de chacun des petits déplacements \(s_i\).

Rappelle notre définition du travail en termes de produit scalaire - équation (2) : \(W = \vec F \cdot \vec s = Fs\cos\phi\) - et notre définition intégrale du travail dans l'équation (4).

En réduisant ces déplacements à déplacements infinitésimaux \(d\vec s\) jusqu'à ce qu'ils soient approximativement des segments de ligne droite, tangents à la trajectoire en un point, nous obtenons l'intégrale suivante

\[W = \int_{\text{path}} \vec F\ ; d \vec s = \int^{P_2}_{P_1} F \cos \phi \ ; ds\tag{5}\]

La force est pratiquement constante sur un segment infinitésimal \(d\vec s\), mais peut varier dans l'espace. La variation de l'énergie cinétique sur l'ensemble de la trajectoire est égale au travail, c'est-à-dire qu'elle est égale à l'intégrale de (5). Comme pour nos exemples précédents, c'est seulement la force agissant le long du déplacement qui effectue le travail et modifie l'énergie cinétique.

L'exemple ci-dessous consiste à calculer une intégrale de ligne vectorielle.

Preuve du théorème travail-énergie

Le théorème travail-énergie s'applique lorsque la force varie en fonction de la position et de la direction. Il s'applique également lorsque la trajectoire prend n'importe quelle forme. Cette section présente une preuve du théorème du travail et de l'énergie en trois dimensions. Considérons une particule qui se déplace le long d'une trajectoire courbe dans l'espace, de \N((x_1,y_1,z_1)\Nà \N((x_2,y_2,z_2)\N). Une force nette \N[\Nvec F = F_x\N;{\hat{\Ntextbf{i}}} agit sur elle. + F_y\;{\hat{\textbf{j}}} + F_z\;{\hat{\textbf{k}}}\]

où \(F_x = F_x(x)\), \(F_y = F_y(y)\) et \(F_z=F_z(z)\).

La particule a une vitesse initiale

\[\N-vec v = v_x\N;{\hat{\Nbf{i}}) + v_y\;{\hat{\textbf{j}}} + v_z\;{\hat{\textbf{k}}}\]

où \(v_x = v_x(x)\),et la trajectoire est divisée en de nombreux segments infinitésimaux \[d\vec s = dx\;{\hat{\textbf{i}}} + dy\;{\hat{\textbf{j}}} + dz\;{\hat{\textbf{k}}} \]

Pour la direction \(x\), la composante \(x\) du travail \(W_x = F_x dx\), est égale au changement d'énergie cinétique dans la direction \(x\), et la même chose pour les directions \(y\) et \(z\). Le travail total est la somme des contributions de chaque segment de chemin.

La force varie avec la position, et comme \( \text{Force} = \text{masse$\ ; \times\ ; $accélération}\), elle varie également avec la vitesse.

En changeant de variable et en utilisant la règle de la chaîne pour les dérivées, pour la direction \(x\), nous avons :

\[a_x = \frac{dv_x}{dt}=\frac{dv_x}{dx}\frac{dx}{dt}=v_x\frac{dv_x}{dx}\]

De même pour les autres directions, \(a_y = v_y\frac{dv_y}{dy}\) et \(a_z = v_z\frac{dv_z}{dz}\).

Pour la direction \(x\), et en prenant \ (v_{x_1} = v_x(x_1)\) par exemple :

\[\N- Début{alignement}W_x &= \Nint_{x_1}^{x_2} m\N;a_x\N;dx \N- &=m\Nint_{x_1}^{x_2}v_x\Nfrac{dv_x}{dx}\N;dx\N-&=m\Nint_{x_1}^{x_2} v_x\N ; \N- &=m\Nint_{x_1}^{x_2} v_x\N ; \N- &=m\Nint_{x_1}^{x_2} v_x ;dv_x\\N-&=\textstyle\frac12 m \left[{v_x}^2\right]_{x_1}^{x_2}\N-&=\frac12 m {v_{x_2}^2-\frac12 m {v_{x_1}^2\Nend{align}\N].

Nous obtenons l'équivalent pour les directions \(y\)- et \(z\)-.

Par conséquent

\[\begin{align}W_\text{tot} = \displaystyle\int_{x_1, y_1, z_1}^{x_2, y_2, z_2} &\vec F \cdot d\vec l \\c \c = \cint_{x_1, y_1, z_1}^{x_2, y_2, z_2}&F_x dx +F_y dy + F_z dz \c &= \cint_{x_1}^{x_2} F_x dx + \int_{y_1}^{y_2} F_y dy + \int_{z_1}^{z_2} F_z dz \\N- &=\N;\N;\Nfrac12 m {v_{x_2}}^2-\Nfrac12 m {v_{x_1}}^2 \N- &\N;\N;\N;\N;\N+ \N;\N;\N ;\frac12 m {v_{y_2}}^2-\frac12 m {v_{y_1}}^2 \\&\;\;+ \;\ ; \frac12 m {v_{z_2}}^2-\frac12 m {v_{z_1}}^2\\\N-&=K_2-K_1. \N-END{align}\N]

Puisque nous utilisons la deuxième loi de Newton pour dériver le théorème du travail et de l'énergie ici, note que cette dérivation particulière ne s'applique qu'aux cadres de référence inertiels. Mais le théorème travail-énergie lui-même est valable dans n'importe quel cadre de référence, y compris les cadres de référence non inertiels, dans lesquels les valeurs de \(W_\text{tot}\) et \(K_2 - K_1\) peuvent varier d'un cadre inertiel à l'autre (en raison du déplacement et de la vitesse d'un corps qui sont différents dans les différents cadres). Pour en tenir compte, dans les référentiels non inertiels, des pseudo-forces sont incluses dans l'équation pour tenir compte de l'accélération supplémentaire que chaque objet semble avoir atteinte.