Système masse-ressort

Équation du système ressort-masse

Nous pouvons maintenant examiner les forces qui agissent sur la masse lorsqu'elle est déplacée de sa position d'équilibre. Si nous déplaçons la masse de$x$mètres vers la droite, le ressort sera étiré au-delà de sa longueur naturelle, comme indiqué ci-dessous.

Le ressort exerce alors une force sur la masse car il essaie de revenir à sa longueur naturelle, ce qui fait que la masse accélère pour revenir à la position d'équilibre lorsqu'elle est relâchée.

En revanche, si la masse est déplacée vers la gauche, le ressort sera comprimé.

Le ressort tentera de retrouver sa longueur naturelle et exercera une force sur la masse vers la droite, ce qui la fera revenir vers sa position d'équilibre.

D'après les deux situations ci-dessus, tu peux voir que lorsque la masse est déplacée, le ressort exercera toujours une force pour ramener la masse à sa position d'équilibre - c'est ce qu'on appelle une force de rappel. Cette force est donnée par une relation simple :

$F=-kx$.

$k$ est la constante du ressort en newtons par mètre,$\mathrm{N}/\mathrm{m}$

$x$ est le déplacement de la masse par rapport à sa position d'équilibre en mètres,$\mathrm{m}$.

Cette équation est la loi de Hooke. Elle doit son nom au scientifique anglais Robert Hooke, qui a travaillé sur divers sujets au^17e siècle, notamment sur l'élasticité.

La loi de Hooke montre clairement que la force agissant sur la masse augmente à mesure que la distance de la masse par rapport à la position d'équilibre augmente. Cependant, le signe moins dans l'équation montre que la force est toujours dirigée dans la direction opposée au déplacement - lorsque la masse est à droite de l'équilibre, la force sera dirigée vers la gauche et vice versa. La force est toujours dirigée vers la position d'équilibre.

Un autre exemple de système ressort-masse que tu trouveras souvent dans les problèmes est un ressort orienté verticalement attaché à un plafond à son extrémité supérieure et une masse à son extrémité inférieure.

Une masse suspendue à un ressort vertical peut être traitée de la même manière qu'un système ressort-masse horizontal, khanacademy.

La loi de Hooke peut être appliquée à cette situation exactement de la même manière que pour le système horizontal, mais cette fois, la position d'équilibre s'est déplacée en raison de la gravité. Le point où aucune force n'agit sur la masse se produit lorsque la force ascendante due au ressort étiré est égale à la force descendante due à la masse. La masse du ressort est supposée être nulle pour un système masse-ressort idéal. Le poids de la masse est égal à :

$W=mg$,

où $g$ est la constante gravitationnelle à la surface de la Terre en mètres par seconde au carré,$\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$. On peut l'assimiler à la force du ressort pour trouver la position d'équilibre $x_0$.

$$\begin{gathered} -k{x}_0=mg \\ {x}_0=\frac{-mg}{k} \end{gathered}$$

Le signe moins montre que la position d'équilibre est inférieure à la position de la masse lorsque le ressort est à sa longueur naturelle, ce qui est conforme aux attentes.

Système masse-ressort Mouvement harmonique simple

Si la masse d'un système ressort-masse est déplacée de sa position d'équilibre et relâchée, elle présentera un mouvement harmonique simple. Un objet qui effectue un mouvement harmonique simple (SHM) se déplace d'avant en arrière entre les points de déplacement maximal par rapport à la position d'équilibre de chaque côté. La masse sera accélérée vers sa position d'équilibre lorsqu'elle est déplacée. Lorsqu'elle atteindra cette position, elle aura une vitesse et se déplacera donc de l'autre côté, où elle subira une force de rappel dans la direction opposée et le processus sera répété. Ce mouvement se poursuivra indéfiniment dans des conditions idéales (sans tenir compte des forces de frottement présentes).

D'après la définition du mouvement harmonique simple, l'accélération d'un objet soumis au SHM est proportionnelle à son déplacement et est donnée par :

$\omega =\frac{2\pi }{T}$.

$T$ est la période de temps du mouvement, qui est égale au temps nécessaire à la masse pour se déplacer d'une position de déplacement maximal et inversement. Pour le système ressort-masse, nous pouvons trouver l'accélération de la masse à partir de l'équation de la force de rappel agissant sur la masse :

$a=\frac{F}{m}=-\frac{k}{m}x$.

Nous pouvons comparer cette équation à celle de la SHM énoncée ci-dessus, d'où nous pouvons voir que la fréquence angulaire pour un système masse-ressort est :

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Nous pouvons alors utiliser l'équation de la fréquence angulaire pour trouver la période en$\mathrm{s}$du mouvement harmonique simple d'un système masse-ressort.

$\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}$

$T=\frac{2\pi }{\sqrt{\frac{k}{m}}}=2\pi \sqrt{\frac{k}{m}}$

Exemples de systèmes masse-ressort

Les équations énoncées ci-dessus peuvent être utilisées dans de nombreux problèmes pratiques différents - il te suffit d'identifier l'équation à utiliser.

Ressort Masse Énergie du système

Le travail effectué par une force qui déplace un objet est donné par :

$W=Fx$

où$W$est le travail effectué, mesuré en joules,$\mathrm{J}$,

$x$est la distance parcourue dans la direction de la force, mesurée en mètres,$\mathrm{m}$.

L'équation de la force appliquée par un ressort est la suivante :

$F=-kx$.

Nous voulons l'utiliser dans l'équation pour trouver le travail effectué par un ressort pour déplacer une masse de sa position d'équilibre à sa position de déplacement maximum. Cependant, la force change lorsque la longueur du ressort change. L'équation ci-dessus montre que la force est directement proportionnelle à la distance à laquelle le ressort est étiré. Comme la relation entre ces deux quantités est linéaire, nous pouvons simplement supposer qu'une force constante agit, qui est égale à la moyenne des forces initiales et finales.

$F_{average}=\frac{F_{final}-F_{initial}}{2}=\frac{kA-0}{2}=\frac{kA}{2}$

Dans l'expression ci-dessus,$A$représente l'amplitude de l'oscillation de la masse du ressort. L'amplitude de la force a été prise car nous ne considérons que des distances et non des déplacements. Nous pouvons maintenant utiliser cette expression de la force moyenne pour trouver le travail effectué pour déplacer une masse de sa position d'équilibre à sa position initiale.

$W=F_{average}x=\frac{kA}{2}\times A=\frac{1}{2}k{A}^2$

Le travail effectué pour étirer un ressort est converti en énergie potentielle élastique stockée dans le ressort, de sorte que l'expression ci-dessus donne l'énergie potentielle maximale d'un système de masse à ressort.

On suppose qu'il n'y a pas de forces de frottement dans les systèmes ressort-masse que nous considérons, ce qui signifie qu'il n'y a pas de perte d'énergie dans le mouvement. L'énergie est partagée entre l'énergie potentielle et l'énergie cinétique du système.

$E_{total}=PE+KE$

Lorsque la masse est au maximum de son déplacement, le ressort est le plus étiré et son énergie potentielle est donc maximale. À ce moment-là, la vitesse est nulle, donc son énergie cinétique est nulle. Lorsque la masse passe par sa position d'équilibre, sa vitesse est maximale et donc son énergie cinétique aussi. Le ressort n'est pas étiré à ce moment-là et l'énergie potentielle est donc nulle. Avec l'équation ci-dessus, nous pouvons conclure que l'énergie cinétique maximale de la masse d'un système masse-ressort est égale à l'énergie potentielle maximale stockée dans le ressort, qui sont toutes deux égales à l'énergie totale.

La formule de l'énergie cinétique est la suivante

$KE=\frac{1}{2}m{v}^2$.

Nous pouvons assimiler l'énergie cinétique maximale - lorsque la masse se déplace à sa vitesse maximale$v_0$en passant par la position d'équilibre - à l'énergie potentielle maximale pour trouver une valeur pour la vitesse maximale.

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}k{A}^2 \\ m{v}^2=k{A}^2 \\ {v}^2=\frac{k{A}^2}{m} \\ v=\sqrt{\frac{k}{m}}\times A=\omega A \end{gathered}$$

Application du système masse-ressort

Les systèmes masse-ressort peuvent être vus très souvent dans la vie de tous les jours et ils sont également utilisés dans les modèles scientifiques.

Amortisseurs de voiture

Un système de masse-ressort est utilisé à bon escient dans les voitures sous la forme d'amortisseurs, qui sont placés au-dessus de la roue. Ils sont conçus pour éviter que la voiture ne soit endommagée lorsqu'elle passe sur des bosses et d'autres obstacles. Lorsqu'une voiture passe sur une bosse, le ressort situé au-dessus de l'amortisseur se comprime et ces ressorts doivent être conçus pour osciller à la bonne amplitude et à la bonne fréquence afin de rendre la conduite de la voiture confortable.

Les amortisseurs sont placés juste au-dessus de chaque roue d'une voiture pour éviter les dommages causés par les bosses, cardealpage.

Molécules diatomiques

Les molécules diatomiques sont constituées de deux atomes qui sont chimiquement liés l'un à l'autre. Ces molécules peuvent osciller et (pour les petites vibrations) la liaison peut être assimilée à un ressort avec les deux atomes comme masses aux extrémités du ressort. Les oscillations obéissent à la loi de Hooke pour les petites amplitudes. Cette approximation est utilisée pour simplifier les modèles de recherche scientifique.

L'oxygène existe sous forme de molécule diatomique et peut être assimilé à un système ressort-masse, bartlby.