Surface équipotentielle

Définition d'une surface équipotentielle

Tout d'abord, définissons ce qu'est exactement une surface équipotentielle.

Avant de pouvoir l'expliquer plus avant, il est essentiel de connaître le potentiel électrique et une différence de potentiel électrique.

Mathématiquement, le potentiel électrique \(V\) peut être exprimé comme suit

\[V=\frac{U_{\mathrm{E}}}{q},\]

où \(U_{\mathrm{E}}\) est l'énergie potentielle électrique, et \(q\) est la charge unitaire.

Comme le potentiel électrique est toujours défini en fonction d'un point de référence choisi, la valeur absolue du potentiel électrique n'a pas de signification physique. Ce qui est important cependant, c'est le changement de potentiel lors d'un déplacement entre deux points. Ainsi, si nous considérons une charge ponctuelle se déplaçant entre deux points, nous considérons maintenant la différence de potentiel électrique \(\Delta V\) :

\[\Delta V=\frac{\Delta U_{\mathrm{E}}}{q}\].

En gardant tout cela à l'esprit, nous pouvons maintenant utiliser les cartes de vecteurs de champ électrique et les lignes équipotentielles pour décrire le champ produit par les charges, et donc prédire le mouvement des objets chargés à l'intérieur de ce champ électrique.

Surface équipotentielle et champ électrique

Supposons maintenant qu'une charge électrique positive \(q_\mathrm{a}\) soit déplacée d'un point initial à un potentiel électrique \(V_1\) à un point final à un potentiel électrique \(V_2\) vers une autre charge positive \(q_\mathrm{b}\).

Fig. 2 - Le mouvement d'une charge positive \(q_\mathrm{a}\) vers une autre charge positive \(q_\mathrm{b}\) du point A au point B contre une force électrostatique de répulsion.

Soit \(W\) la quantité de travail effectuée par une force électrostatique de répulsion pour déplacer \(q_\mathrm{a}\) de B à A. En utilisant tous les paramètres, la différence de potentiel dans le cas ci-dessus est,

\[V_2-V_1=-\frac{W}{q_a}\]

ou

\[V_2-V_1=-\frac{F\,\left(r_1-r_2\right)}{q_a}\tag{1}\]

Un champ électrique en termes de force électrique agissant sur une charge \(q_1\) est,

\[E=\frac{F}{q_1}\tag{2}\]

D'après les équations (1) et (2),

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal V_2-V_1&=-\frac{E\,q_\mathrm{a}\,\left(r_1-r_2\right)}{q_\mathrm{a}}\\ xml-ph-0001@deepl.internal V_2-V_1&=-E\,\left(r_1-r_2\right) xml-ph-0002@deepl.internal \end{align*}\]

Ainsi, la variation du potentiel électrique entre deux points peut être déterminée en intégrant le produit de points du champ électrique avec le déplacement le long de la trajectoire reliant les points.

\[\NDelta V = V_\mathrm{2}-V_\mathrm{1}= -\int_{a}^{b} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{r}. \]

Le champ électrique, quant à lui, peut être trouvé en utilisant[E=-\frac{V_2-V_1}{r_1-r_2}.\N-\N].

Dans le mouvement tridimensionnel d'une charge électrique, l'équation ci-dessus peut être écrite comme suit,

\[E=-\nabla V\tag{3}\]

Les lignes équipotentielles représentent des lignes de potentiel électrique égal. Ce champ peut être défini dans n'importe quelle direction à un endroit donné, par exemple, dans la direction \(x\), il se présente comme suit

\[E_x=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d}x}.\]

Exemples de surfaces équipotentielles

L'exemple le plus approprié pour comprendre les surfaces équipotentielles est la distribution d'une charge dans un conducteur creux chargé. Supposons que nous fournissions une certaine charge à un conducteur. La mobilité d'une charge électrique est importante à l'intérieur d'un conducteur. En raison d'une force de répulsion électrostatique, les charges électriques se répartissent sur la surface du conducteur.

Fig. 3 - La figure montre la répartition des charges électriques sur la surface d'un conducteur creux chargé en raison de sa grande mobilité et de la force électrostatique de répulsion.

Selon la loi de Gauss, un champ électrique à l'intérieur du conducteur creux chargé est,

\[E=\frac{Q}{\epsilon_0}\]

où \(Q\) est la charge nette enfermée dans le conducteur. Le diagramme montre que la charge nette à l'intérieur du conducteur est nulle en raison de la répartition des charges électriques à la surface d'un conducteur.

Par conséquent, un champ électrique à l'intérieur d'un conducteur est,

\[E=0\,\mathrm{N\,C^{-1}}\tag{4}\]

D'après les équations (3) et (4),

\N- [\Nnabla V=0\N]

ou

\[V=\mathrm{constant}\]

Cela indique que le potentiel électrique reste constant à l'intérieur et à la surface du conducteur.

La surface d'un conducteur creux chargé représente une surface équipotentielle. De même, à l'extérieur du conducteur, la surface des sphères de différents rayons autour des conducteurs représente des surfaces équipotentielles.

Fig. 4 - La figure montre la surface des sphères autour d'un conducteur en tant que surfaces équipotentielles.

Lignes de champ électrique et surface équipotentielle

Les lignes de champ électrique sont l'une des méthodes permettant de représenter graphiquement la direction d'un champ électrique autour d'une charge électrique. La direction de ces lignes de champ électrique est radialement vers l'extérieur à partir d'une charge positive et radialement vers l'intérieur en direction d'une charge négative. La représentation graphique de ces lignes de champ électrique autour d'une charge électrique est appelée carte de champ électrique. Le potentiel électrique en un point autour d'une charge électrique dans un espace libre/vide est le suivant

\[V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2},\]

où \(\epsilon_0\) est la permittivité électrique de l'espace libre, \(q\) est une charge électrique autour de laquelle un potentiel électrique est déterminé, et \(r\) est une distance du point de test (où la valeur d'un potentiel électrique est déterminée) par rapport à une charge électrique.

L'équation ci-dessus montre que le potentiel électrique varie en fonction de la distance. Ainsi, si nous considérons une sphère autour d'une charge électrique, chaque point de la sphère se trouve à la même distance de la charge électrique. En d'autres termes, \(V\) est constant sur la surface de la sphère. Cette surface est appelée surface équipotentielle.

La représentation graphique de cette surface équipotentielle sur une carte de champ électrique autour d'une charge négative \(-Q\) est la suivante.

Fig. 5 - La figure montre les surfaces équipotentielles autour d'une charge négative sur la carte du champ électrique.

Le schéma ci-dessus montre que la direction d'un champ électrique est perpendiculaire à la surface équipotentielle.

Propriétés des surfaces équipotentielles

Dans les sections précédentes, nous avons étudié en détail les surfaces équipotentielles. Découvrons maintenant quelques propriétés principales de ces surfaces.

1. Deux surfaces équipotentielles ne se coupent jamais (sinon, au point d'intersection, il y aura deux vecteurs perpendiculaires, donc deux champs électriques différents, ce qui est impossible).

2. La direction d'un champ électrique est toujours perpendiculaire à une surface équipotentielle.

3. Pour une charge ponctuelle, les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques.

4. La surface d'un conducteur creux chargé est une surface équipotentielle.

5. La proximité des surfaces équipotentielles représente la plus grande intensité d'un champ électrique dans la région située entre ces surfaces.