Scalaire et Vecteur

Scalaires et vecteurs : signification et exemples

Comme nous l'avons déjà dit, une quantité ayant une magnitude et une direction est connue sous le nom de quantité vectorielle.

Voyons quelques exemples de scalaires et de vecteurs.

Supposons que tu aies une boîte et que tu la déplaces d'une distance de 5 mètres.

Si tu dis à quelqu'un que la distance entre les points A et B est de 5 mètres, tu parles d'une quantité scalaire car tu ne spécifies aucune direction. Cinq mètres n'est qu'une grandeur (distance), et la direction peut être n'importe laquelle. La distance est donc une quantité scalaire.

Cependant, si tu dis à quelqu'un que tu as déplacé la boîte de 5 mètres vers la droite (vers l'est), comme le montre la figure 1, tu parles alors d'une quantité vectorielle. Pourquoi ? Parce que tu as maintenant spécifié une direction associée au mouvement. Et en physique, on parle de déplacement. Le déplacement est donc une quantité vectorielle.

Disons maintenant qu'il t'a fallu 2 secondes pour déplacer la boîte vers la droite.

Si tu devais calculer à quelle vitesse tu as déplacé la boîte, tu calculerais la vitesse du mouvement. Dans l'exemple ci-dessus, la vitesse est de :

\(Vitesse = \frac{5 \space m}{2 \space s} = 2.5 \space m/s\)

La vitesse est une quantité scalaire car elle n'a pas de direction.

Cependant, si tu dis que la boîte s'est déplacée à une vitesse de 2,5 m/s vers la droite, cela devient une quantité vectorielle. La vitesse avec une direction est la vélocité, et un changement de vélocité est, à son tour, connu sous le nom d'accélération (^m/s2), qui est également une quantité vectorielle.

Masse et poids : laquelle est une quantité scalaire et laquelle est une quantité vectorielle ?

La masse et le poids d'un corps peuvent sembler identiques, mais ce n'est pas le cas.

Scalaire

La masse n'a pas de direction, et elle sera la même quel que soit l'endroit où tu te trouves dans l'univers ! Nous pouvons donc classer la masse dans la catégorie des quantités scalaires.

Vecteur

Le poids, quant à lui, est la force qui agit sur un objet, et comme la force a une direction, le poids est une quantité vectorielle.

Une autre façon de voir les choses est de placer un objet sur la Terre et un autre objet de même masse sur la Lune. Les deux objets auront la même masse mais un poids différent en raison de l'attraction gravitationnelle sur la Lune (1,62 ^m/s2), qui est plus petite par rapport à la Terre.

Comment représenter les vecteurs ?

Nous pouvons représenter les vecteurs par une flèche, comme indiqué ci-dessous.

La longueur représente la magnitude, la queue est le point initial d'un vecteur, le sens d'un vecteur est donné par l'ordre de deux points sur une ligne parallèle au vecteur, et l'orientation t'indique sous quel angle le vecteur pointe. La combinaison de l'orientation et du sens précise la direction du vecteur.

Exemples de vecteurs : comment effectuer une addition de vecteurs ?

Voyons quelques exemples de la façon d'effectuer l'addition de vecteurs.

Disons que tu as deux vecteurs de 10N et 15N, et qu'ils pointent tous les deux vers l'est. La somme de ces vecteurs devient 25N vers l'est.

Maintenant, si nous changeons la direction du 15N vers l'ouest (-15 N), le vecteur résultant devient -5 N (pointant vers l'ouest). Une quantité vectorielle peut avoir des signes positifs et négatifs. Le signe d'un vecteur indique que la direction du vecteur est opposée à la direction de référence (qui est arbitraire).

Bien sûr, toutes les additions de vecteurs ne sont pas aussi simples que celles présentées ci-dessus. Que ferais-tu si les deux vecteurs étaient perpendiculaires l'un à l'autre ? C'est là qu'il faut improviser un peu.

Règle de la tête à la queue

Avec cette règle, nous pouvons calculer le vecteur résultant en joignant la queue du premier vecteur à la tête du second vecteur. Jette un coup d'œil aux figures ci-dessous.

Un vecteur force de 30 N agit dans la direction de l'est, tandis qu'un vecteur force de 40 N agit dans la direction du nord. Nous pouvons calculer le vecteur résultant en joignant la queue du vecteur de 30 N à la tête du vecteur de 40 N. Les vecteurs sont perpendiculaires, nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre le vecteur résultant, comme le montre la figure 7.

Avec un peu de trigonométrie et en appliquant le théorème de Pythagore, le vecteur résultant devient 50 N. Maintenant, comme nous en avons discuté, une quantité vectorielle a une magnitude ainsi qu'une direction, nous pouvons donc calculer l'angle du vecteur 50 N en utilisant une tangente inverse de 40/30 (perpendiculaire/base). L'angle est alors de 53,1° par rapport à l'horizontale pour l'exemple ci-dessus.

Résoudre un vecteur en ses composantes

En utilisant le même exemple que ci-dessus, que se passerait-il si nous n'avions que la force vectorielle de 50 N avec un angle par rapport à l'horizontale et qu'on nous demandait de trouver ses composantes horizontale et verticale ?

Prenons un exemple pour expliquer ce concept plus en détail.

Supposons qu'une force vectorielle F de 150N soit appliquée à un angle de 30 degrés par rapport à la surface.

Nous pouvons diviser le vecteur F en une composante horizontale (Fx) et une composante verticale (Fy) comme indiqué ci-dessous :

Le calcul de Fx et Fy en utilisant la trigonométrie nous donne :

\ F_x = \cos(30) \cdot F = 129.9 \space N\]

\NF_y = \Nsin(30) \Ncdot F = 75 \Nspace N\N]

Résoudre les composantes d'une force sur un plan incliné

Comme tu l'as peut-être déjà compris, les calculs en physique ne sont jamais aussi simples ! Toutes les surfaces ne sont pas horizontales - il arrive que les surfaces soient inclinées et que tu doives calculer et résoudre les composantes le long d'un plan incliné.

La figure 10 montre une boîte sur une surface formant un angle θ par rapport à l'horizontale. Le poids de la boîte, mg, agit vers le bas avec une masse m et l'attraction gravitationnelle g.

Si nous divisons le vecteur mg en deux composantes, l'une horizontale et l'autre verticale,

• la composante verticale sera perpendiculaire à la surface inclinée, et
• la composante horizontale de mg sera parallèle à la surface inclinée.

L'angle θ entre les mg et mgcosθ sera le même que l'angle de la surface inclinée par rapport à l'horizontale. La force qui accélérera la boîte vers le bas de la pente sera mgsinθ (Fg), et la force de réaction Fn (d'après la troisième loi de Newton) sera égale à mgcosθ. D'où ,

\[F_g = m \cdot g \cdot \sin(\theta)\]

\[F_n = m \cdot g \cdot \cos(\theta)\]

Équilibre des systèmes de forces coplanaires

Si des forces agissent sur un corps et que ce dernier est immobile ou se déplace à une vitesse constante (sans accélération), on parle d'équilibre. Les lignes de force doivent passer par le même point pour qu'un objet soit en équilibre.

Dans le diagramme ci-dessous, une échelle uniforme est appuyée contre un mur lisse (sans frottement). Le poids de l'échelle agit vers le bas et la force de réaction normale agit à un angle de 90° par rapport au mur.

Si tu prolonges ces forces, tu verras qu'elles se croisent en un certain point. Comme l'objet est en équilibre, la force provenant du sol doit également passer par le même point que les autres forces.

En décomposant la force du sol en ses composantes verticale et horizontale, la force de réaction normale du sol agit vers le haut, et la force de frottement du sol agit le long de la surface.

Essentiellement, ce qui se passe, c'est que toutes les forces s'annulent.

• La force normale du mur (force de droite) = la force de frottement agissant le long du sol (force de gauche).
• Le poids de l'échelle (force descendante) = la force de réaction du sol (force ascendante).