Résistance de l'air

Qu'est-ce que la résistance de l'air ?

Jusqu'à présent, dans la plupart des problèmes de physique impliquant un mouvement, il est explicitement indiqué que la résistance de l'air est négligeable. Dans la réalité, ce n'est pas le cas, car tous les objets subissent un certain niveau de résistance lorsqu'ils traversent l'air.

La traînée et la résistance de l'air sont également des types de friction, mais le mot est généralement utilisé pour désigner la façon dont un objet est ralenti lorsqu'il se déplace contre une surface rugueuse ou la façon dont des surfaces rugueuses se déplaçant l'une contre l'autre ralentissent. Ces forces de traînée font que l'objet se déplace plus lentement en agissant dans la direction du flux entrant et sont proportionnelles à la vitesse. Il s'agit d'un type de force non conservatrice puisqu'elle fait se dissiper l'énergie.

Les forces de frottement entre les surfaces se produisent parce qu'elles ne sont pas parfaitement lisses. Si tu les observais à l'échelle microscopique, tu verrais beaucoup de petites bosses et une surface inégale. Lorsque les surfaces glissent l'une sur l'autre, elles se coincent un peu parce qu'elles ne sont pas complètement plates et une force est nécessaire pour les pousser l'une vers l'autre. Comme les surfaces sont obligées de bouger, elles peuvent s'abîmer un peu.

Ce raisonnement s'applique également lorsque des objets se déplacent dans des fluides (gaz et liquides). Comme nous l'avons mentionné plus haut, le type de frottement qui agit lorsqu'un objet se déplace dans un fluide s'appelle drag. Par exemple, pour nager dans l'eau, tu dois pousser l'eau hors de ton chemin et lorsque tu avances, elle se déplace contre ton corps en provoquant une force de traînée, ce qui a pour effet de te ralentir.

La résistance de l'air est le nom donné à la traînée qui agit sur un objet lorsqu'il se déplace dans l'air. Son effet est beaucoup plus faible que celui de la résistance de l'eau, car l'air est beaucoup moins dense que l'eau et contient donc beaucoup moins de particules par unité de volume ; il est donc plus facile de l'écarter. Les avions subissent la résistance de l'air lorsqu'ils volent, mais cette résistance peut être utilisée à leur avantage car ils peuvent être façonnés de manière à ce que l'air autour d'eux soit déformé de façon à les soulever, comme le montre le diagramme ci-dessus.

Supposons que nous ayons une balle de masse \(m\). Nous la laissons tomber et, en tombant, elle va subir une force de résistance. La force de résistance est mathématiquement égale à

$$ \vec{F}_{\mathrm{r}} = - k \vec{v} $$

où \(k\) est une constante positive, et \(v\) est la vitesse de l'objet par rapport au milieu. Le signe négatif indique que la force de résistance est dans la direction opposée à la vitesse.

Coefficient de résistance de l'air

Comme nous l'avons vu précédemment, \(k\) est une constante de proportionnalité. Sa valeur est déterminée par les propriétés du milieu et les caractéristiques uniques de l'objet. Les principaux facteurs contributifs sont la densité du milieu, la surface de l'objet et une quantité sans dimension connue sous le nom de coefficient de résistance .Dans un exemple réel impliquant un parachutiste, le milieu serait l'air et la surface ferait référence soit au parachutiste, soit au parachute.

Nous pouvons maintenant expliquer l'efficacité d'un parachute lorsqu'il s'agit de ralentir un parachutiste. Lorsque la surface \(A\) de l'objet qui tombe augmente,

$$ A_{\mathrm{skydiver}} \ll A_{\mathrm{parachute}},$$

\(k\) augmente, donc l'ampleur de la force de résistance augmente également, ce qui ralentit la chute de l'objet.

Examinons un diagramme de corps libre pour mieux comprendre son mouvement.

Diagramme de corps libre de la résistance de l'air

Qu'arrive-t-il à un objet lorsqu'il est lâché et qu'il tombe ? Il subit une force vers le bas sous forme de poids et une force de résistance dans la direction opposée du mouvement en raison de la résistance de l'air, toutes deux visualisées dans le diagramme de corps libre visible ci-dessous.

Fig. 1 - Lorsque l'objet tombe, la force de résistance agit sur lui vers le haut, tandis que le poids le tire vers le bas.

Selon la deuxième loi de Newton, la force nette agissant sur un objet \(\vec{F}_{\mathrm{net}}\) est égale à la masse \(m\) de l'objet multipliée par son accélération \(\vec{a}\). Sachant tout cela, nous pouvons obtenir l'expression suivante

$$ m\vec{g} - k\vec{v} = m\vec{a}.$$

Lorsque nous commençons le mouvement à \(t=0\), sa vitesse initiale est \(\vec{v}_0=0\), par conséquent, la force de résistance initiale de l'air est également nulle. Au fur et à mesure que le temps passe et que l'objet commence à se déplacer, il finit par atteindre une vitesse constante, appelée vitesse terminale \(\vec{v}_\mathrm{T}\). Comme la vitesse est constante, l'accélération sera nulle. Le côté droit de l'expression devient nul, et nous pouvons réarranger les termes restants

$$ m\vec{g} = k\vec{v}_\mathrm{T} $$

pour trouver l'équation de la vitesse terminale

$$ \vec{v}_\mathrm{T}= \frac{m\vec{g}}{k}. $$

La vitesse terminale est atteinte lorsqu'aucune force nette n'est appliquée à l'objet, ce qui signifie que l'accélération est nulle. Examinons un exemple de problème impliquant la vitesse terminale.

Formule de la résistance de l'air

Trouvons maintenant la vitesse en fonction du temps. Pour cela, nous devons convertir la deuxième loi de Newton en une équation différentielle. L'accélération est la dérivée première de la vitesse, donc \(\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\). Nous pouvons alors écrire

$$ m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\vec{g}-k\vec{v}. $$

Séparons nos variables :

$$ \frac{\mathrm{d}v}{mg- kv}=\frac{\mathrm{d}t}{m}.$$

Ici, il est important de fixer les limites de l'intégration. Le temps va de zéro au temps \(t_{mathrm{f}}}). Lorsque le temps est égal à zéro, notre vitesse initiale est également nulle, et lorsque le temps passe à \ (t_{\mathrm{f}}\), notre vitesse devient la vitesse \(v_{\mathrm{f}}\).

$$\int_{0}^{v_\mathrm{f}} \frac{\mathrm{d}v}{mg-kv} = \int_{0}^{t_{\mathrm{f}}} \frac{\mathrm{d}t}{m}$$

En prenant l'antidérivée, on obtient un logarithme naturel

$$\left.\frac{\ln(mg-kv)}{-k}\right|_0^{v_\mathrm{f}} = \left.\frac{t}{m}\right|_0^{t_\mathrm{f}}$$

Appliquons maintenant les limites

$$ \begin{align} \frac{\ln(mg-kv_{\mathrm{f}})}{-k} - \frac{\ln(mg)}{-k} & = \frac{t_{\mathrm{f}}}{m}, \\ln \left ( \frac{mg-kv_{\mathrm{f}}{mg} \right ) & = \frac{-kt_{\mathrm{f}}{m}. \n-{align} $$

Enfin, débarrasse-toi du logarithme naturel :

$$ \begin{align} \mathrm{e}^{\ln \left ( \frac{mg- kv_{\mathrm{f}}{mg} \right )} &= \mathrm{e}^{\frac{-kt_{\mathrm{f}}{m}}. \\ \frac{mg-kv_{\mathrm{f}}}{mg} &= \mathrm{e}^{\frac{-kt_{\mathrm{f}}}{m}} \\N- 1- \Nfrac{kv_{\mathrm{f}}{mg}&= \Nmathrm{e}^{\frac{-kt_{\mathrm{f}}{m}} \\N- \N{kv_{\mathrm{f}}{mg} & = 1- \nathrm{e}^{\frac{-kt_{\mathrm{f}}{m}} \\N- v_{\mathrm{f}} &= \frac{mg}{k} \left ( 1-\mathrm{e}^{\frac{-kt_{mathrm{f}}}{m}} \right ). \Nend{align} $$

La version finale de l'équation incluant toutes les valeurs vectorielles est la suivante.

$$ \vec{v_{\mathrm{f}}}=\vec{v}_\mathrm{T} \, (1-\mathrm{e}^{-\frac{t_{\mathrm{f}}}{T}}) $$

où \(T\) est la constante de temps et est égale à \(\frac{m}{k}\).

Et voilà comment nous dérivons l'expression de la vitesse en fonction du temps ! L'équation finale confirme nos conclusions précédentes sur la vitesse terminale. Si la valeur de \(t_{\mathrm{f}}\) est fixée à zéro, \(\vec{v_{\mathrm{f}}\) sera également zéro, tandis que si \(t_{\mathrm{f}}\) est fixée à quelque chose d'énorme, disons à l'infini, nous aurons \(\vec{v_{\mathrm{f}}} = \vec{v_\mathrm{T}}\).

Mais que se passerait-il si la vitesse initiale n'était pas nulle ?

Disons que nous avons une voiture avec une vitesse initiale \(\vec{v}_0\) contre une force de résistance \(\vec{F}_\mathrm{r}\) qui est à nouveau égale à \(-k\vec{v}\). Lorsque nous dessinons un diagramme de corps libre de la voiture, le poids est vers le bas, la force normale est vers le haut et la force de résistance de l'air est dans la direction opposée au mouvement.

Dans ce cas, la vitesse finale sera nulle et la voiture s'arrêtera. La seule force agissant sur l'objet dans la direction du mouvement est la force de résistance, elle sera donc notre force nette. Nous pouvons alors écrire

$$ m\vec{a} = -k\vec{v}.$$

Nous allons répéter la même procédure que précédemment puisque cela devient une équation différentielle lorsque nous écrivons l'accélération sous la forme \(\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\) et que nous obtenons

$$ \begin{align} m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} & = - k\vec{v} \frac{\mathrm{d}v}{v} & =\frac{-k}{m} \mathrm{d}t. \Nend{align}$$

Une fois de plus, pour les calculs, nous considérerons la version scalaire de l'équation. Ici, nous devons prendre les intégrales des deux côtés, mais d'abord, nous devons décider des limites. Le temps passe une fois de plus de zéro à \(t\). Cependant, nous avons maintenant une vitesse initiale, donc notre limite de vitesse va de \(v_0\) à \(v\)

$$\int_{v_0}^{v_{\mathrm{f}}} \frac{\mathrm{d}v}{v} = \int_{0}^{t_{\mathrm{f}}} \frac{-k}{m} \mathrm{d}t. $$

Prends à nouveau la dérivée pour obtenir un logarithme naturel, applique les limites et obtiens l'expression suivante

$$ \ln \left ( \frac{v_{\mathrm{f}}}{v_0} \right ) = \frac {-kt_{\mathrm{f}}{m}.$$

Nous pouvons réécrire ceci comme suit :

$$ \begin{align} \mathrm{e}^{\ln \left (\frac{v_{\mathrm{f}}{v_0} \right )} & = \mathrm{e}^{\frac{-kt_{\mathrm{f}}{m}}. \\N- \Nfrac{v_{\mathrm{f}}{v_0} & =\mathrm{e}^{\frac{-kt_{\mathrm{f}}}{m}}. \end{align}}$$

où l'expression finale incluant toutes les quantités vectorielles devient

$$ \vec{v_{\mathrm{f}}} = \vec{v}_0 \mathrm{e}^{\frac{-kt_{\mathrm{f}}}{m}}.$$

Exemple de résistance de l'air

Examinons un exemple de problème impliquant le même parachutiste que celui mentionné plus haut, afin de vérifier nos connaissances !

Voici d'autres exemples de résistance de l'air dans notre vie quotidienne

1. Marcherdans une tempête rend la marche difficile assez fréquemment. L'individu qui marche contre le vent éprouve une résistance importante, ce qui rend la marche difficile. C'est pour la même raison qu'il est difficile de tenir un parapluie dans la main lorsqu'il y a un vent fort.

2. Une plume qui tombe sur le sol a tendance à flotter et à se déplacer lentement, plutôt que de tomber en quelques secondes comme d'autres objets d'une masse légèrement supérieure. La force gravitationnelle attire la plume vers la terre ; cependant, la force de résistance de l'air empêche la plume de tomber ou de se déplacer lorsqu'elle est en mouvement.

3. Lesavions en papier, s'ils sont construits correctement, volent sans effort dans les airs. Pour y parvenir, la surface avant de l'avion en papier est affûtée. Ainsi, l'avion en papier coupe l'air et échappe à la force de résistance de l'air juste assez pour le maintenir en l'air plus longtemps.

4. Le moteur, les ailes et les hélices d'un véritable avion sont tous construits pour fournir une poussée suffisante pour aider l'avion à surmonter la force de résistance de l'air. Les turbulences sont également causées par le frottement de l'air. Les engins spatiaux, quant à eux, n'ont à se soucier de la résistance de l'air que lors du lancement et de l'atterrissage, car il n'y a pas d'air dans l'espace.

Friction et résistance de l'air

Rappelle-toi que la résistance de l'air est un type de frottement qui se produit dans l'air, et que la traînée est un type de frottement qui se produit dans les liquides.

Similitudes entre la friction et la résistance de l'air

Bien que le frottement entre les surfaces solides et la résistance de l'air semblent très différents, ils sont très similaires et peuvent être liés l'un à l'autre de nombreuses façons :

• Friction entre les surfaces solides et la résistance de l'air s'opposent toutes deux au mouvement.
• Ils font tous deux perdre de l'énergie aux objets, ce qui les ralentit.
• Ils provoquent tous deux une production de chaleur - les objets perdent de l'énergie lorsqu'ils libèrent de l'énergie thermique.
• La résistance de l'air et le frottement agissent en permanence. Dans certaines situations, leurs effets sont si faibles qu'ils peuvent être négligés, mais il y a toujours au moins une force de résistance qui agit sur les objets en mouvement.

Différences entre la friction et la résistance de l'air

• La résistance de l'air agit lorsqu'un objet se déplace dans l'air (la traînée est le terme plus général pour la force résistive agissant sur un objet se déplaçant dans un fluide) et le processus généralement appelé "frottement" se produit entre les solides (bien que la résistance de l'air soit également un type de frottement).

• La résistance de l'air dépend souvent de la vitesse de l'objet, la relation entre la force et la vitesse peut changer dans différentes situations en fonction d'autres facteurs. Le frottement entre des surfaces solides ne dépend pas de la vitesse relative des surfaces.
• La résistance de l'air augmente à mesure que la surface de la section perpendiculaire à la direction du mouvement augmente. La surface n'a pas d'incidence sur le frottement entre les solides.
• Le frottement entre un objet et une surface dépend du poids de l'objet.