Quantité de mouvement linéaire

Définition de l'élan linéaire

Le momentum est une quantité vectorielle liée au mouvement des objets. Il peut être linéaire ou angulaire selon le mouvement d'un système. Le mouvement linéaire, mouvement unidimensionnel le long d'une trajectoire rectiligne, correspond à la quantité de mouvement linéaire qui est le sujet de cet article.

La quantité de mouvement linéaire est un vecteur ; elle a une magnitude et une direction.

Équation de la quantité de mouvement linéaire

La formule mathématique correspondant à la définition de la quantité de mouvement linéaire est $$p=mv$$ où \( m \N) est la masse mesurée en \N( \Nmathrm{kg} \N) , et \N( v \N) est la vitesse mesurée en \N( \Nmathrm{\Nfrac{m}{s}} \N). La quantité de mouvement linéaire a pour unité SI \( \mathrm{kg\,\frac{m}{s}} \rmathrm{kg\,\rm{frac{m}{s}}). Vérifions notre compréhension à l'aide d'un exemple rapide.

Momentum linéaire et impulsion

Lorsque l'on parle d'élan, le terme d'impulsion apparaît. L'impulsion linéaire est un terme utilisé pour décrire comment la force affecte un système en fonction du temps.

La formule mathématique correspondant à cette définition est

$$\Delta \vec{J}= \int_{t_o}^{t}\vec{F}(t)dt,$$

ce qui peut être simplifié en

$$J=F\Delta{t}$$, lorsque \( F \) ne varie pas avec le temps, c'est-à-dire une force constante.

Note : \( F \N) est la force, \N( t \N) est le temps, et l'unité SI correspondante est \N( \Nmathrm{Ns}. \N).

Momentum, impulsion et deuxième loi du mouvement de Newton

L'impulsion et le momentum sont liés par le théorème impulsion-momentum. Ce théorème stipule que l'impulsion appliquée à un objet est égale à la variation de l'élan de l'objet. Pour un mouvement linéaire, cette relation est décrite par l'équation \( J=\Delta{p}. \N) La deuxième loi de Newton sur le mouvement peut être dérivée de cette relation. Pour compléter cette dérivation, nous devons utiliser les équations correspondant au théorème de l'impulsion-momentum en conjonction avec les formules individuelles de la quantité de mouvement linéaire et de l'impulsion linéaire. Maintenant, dérivons la deuxième loi de Newton pour le mouvement linéaire en commençant par l'équation \( J=\Delta{p} \N) et en la réécrivant sous la forme \( F\Delta{t}=m\Delta{v}. \N)

$$\begin{align}J&=\Delta{p}\\F\Delta{t}&=\Delta{p}\\F\Delta{t}&=m\Delta{v}\\F&=\frac{m\Delta{v}}{\Delta{t}}\\\end{align}$$

N'oublie pas que \( \frac{\Delta_v}{\Delta_t} \) est la définition de l'accélération et que l'équation peut donc être écrite sous la forme $$\begin{align}F&= ma\\{end{align},$$ qui est la deuxième loi de Newton pour les mouvements linéaires. Grâce à cette relation, nous pouvons définir la force en fonction de l'élan. La force est la vitesse à laquelle l'élan d'un objet change par rapport au temps.

Distinction entre le moment linéaire et le moment angulaire

Pour distinguer le moment linéaire du moment angulaire, définissons d'abord le moment angulaire. Le moment angulaire correspond au mouvement de rotation, au mouvement circulaire autour d'un axe.

La formule mathématique correspondant à cette définition est $$L=I\omega$$ où \( \omega \) est la vitesse angulaire mesurée en \( \mathrm{\frac{rad}{s}} \) et \( I \) est l'inertie mesurée en \( \mathrm{kg\N,m^2}. \N Le moment cinétique a une unité SI de \( \mathrm{kg\N,\frac{m^2}{s}} \N).

Encore une fois, vérifions notre compréhension à l'aide d'un exemple rapide.

Distinguer le moment linéaire du moment angulaire

Le moment linéaire et le moment angulaire sont liés parce que leurs formules mathématiques sont de la même forme, le moment angulaire étant l'équivalent rotatif du moment linéaire. Cependant, la principale différence entre les deux est le type de mouvement auquel ils sont associés. La quantité de mouvement linéaire est une propriété associée aux objets qui se déplacent en ligne droite. L'élan angulaire est une propriété associée aux objets qui se déplacent de façon circulaire.

Momentum linéaire et collisions

Les collisions sont divisées en deux catégories, inélastique et élastique, dans lesquelles chaque type produit des résultats différents.

Collisions inélastiques et élastiques

Les collisions inélastiques sont caractérisées par deux facteurs :

1. La conservation de la quantité de mouvement-La formule correspondante est \( m_1v_{1i} + m_2v_{2i}=(m_1 + m_2)v_{f}. \)
2. Perte d'énergie cinétique - La perte d'énergie est due à la conversion d'une partie de l'énergie cinétique en une autre forme et lorsque la quantité maximale d'énergie cinétique est perdue, on parle de collision parfaitement inélastique.

Les collisions élastiques sont caractérisées par deux facteurs :

1. Conservation de la quantité de mouvement - La formule correspondante est \N( m_1v_{1i} + m_2v_{2i}= m_1v_{1f}+m_2v_{2f}. \N).
2. Conservation de l'énergie cinétique - La formule correspondante est \( \frac{1}{2}m_1{v_{1i}}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_{2i}}^2 =\frac{1}{2}m_1{v_{1f}}^2+ \frac{1}{2}m_1{v_{2f}}^2. \)

Deux principes importants liés à ces collisions sont la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie.

Conservation de l'élan

La conservation de la quantité de mouvement est une loi physique qui stipule que la quantité de mouvement est conservée car elle n'est nicréée ni détruite, comme le stipule la troisième loi du mouvement de Newton. En termes simples, l'élan avant la collision sera égal à l'élan après la collision. Ce concept s'applique aux collisions élastiques et inélastiques. Cependant, il est important de noter que la conservation de l'élan ne s'applique que lorsqu'aucune force extérieure n'est présente. Lorsqu'aucune force extérieure n'est présente, on parle de système fermé. Les systèmes fermés sont caractérisés par des quantités conservées, ce qui signifie qu'aucune masse ou énergie n'est perdue. Si un système est ouvert, des forces extérieures sont présentes et les quantités ne sont plus conservées. Pour vérifier notre compréhension, prenons un exemple.

Changements de quantité de mouvement

Pour mieux comprendre le fonctionnement de la conservation de la quantité de mouvement, réalisons une rapide expérience de pensée impliquant la collision de deux objets. Lorsque deux objets entrent en collision, nous savons que selon la troisième loi de Newton, les forces agissant sur chaque objet seront égales en magnitude mais opposées en direction, \N( F_1 = -F_2 \N), et logiquement, nous savons que le temps nécessaire pour que \N( F_1 \N) et \N( F_2 \N) agissent sur les objets sera le même, \N( t_1 = t_2 \N). Par conséquent, nous pouvons conclure que l'impulsion subie par chaque objet sera également égale en magnitude et opposée en direction, \N( F_1{t_1}= -F_2{t_2} \N). Maintenant, si nous appliquons le théorème impulsion-momentum, nous pouvons logiquement conclure que les changements d'élan sont également égaux et opposés en direction. \N( m_1v_1=-m_2v_2 \N). Cependant, bien que la quantité de mouvement soit conservée dans toutes les interactions, la quantité de mouvement des objets individuels qui composent un système peut changer lorsqu'une impulsion leur est donnée, ou en d'autres termes, la quantité de mouvement d'un objet peut changer lorsqu'une impulsion est donnée .

autrement dit, l'élan d'un objet peut changer lorsqu'il subit une force non nulle. Par conséquent, l'élan peut changer ou être constant.

Momentum constant

1. La masse d'un système doit être constante tout au long d'une interaction.
2. Les forces nettes exercées sur le système doivent être égales à zéro.

Momentum changeant

1. Une force nette exercée sur le système entraîne un transfert de quantité de mouvement entre le système et l'environnement.

Par conséquent, si on nous demande de calculer l'élan total d'un système, nous devons tenir compte de ces facteurs. Par conséquent, il est important de comprendre ce qui suit :

• L'élan est toujours conservé.
• Un changement d'élan dans un objet est égal et opposé en direction au changement d'élan d'un autre objet.
• Lorsqu'un objet perd de l'élan, l'autre objet en gagne.
• La quantité de mouvement peut changer ou être constante.

Application de la loi de conservation de la quantité de mouvement

La propulsion des fusées est un exemple d'application qui utilise la loi de la conservation de la quantité de mouvement. Avant d'être lancée, une fusée est au repos, ce qui signifie que son élan total par rapport au sol est égal à zéro. Cependant, une fois la fusée mise à feu, les produits chimiques qu'elle contient sont brûlés dans la chambre de combustion, ce qui produit des gaz chauds. Ces gaz sont ensuite expulsés par le système d'échappement de la fusée à des vitesses extrêmement élevées. Cela produit un élan vers l'arrière qui, à son tour, produit un élan égal et opposé vers l'avant qui pousse la fusée vers le haut. Dans ce cas, le changement d'élan de la fusée est en partie dû à un changement de masse en plus d'un changement de vitesse. Rappelle-toi que c'est la variation de l'élan qui est associée à une force, et que l'élan est le produit de la masse et de la vitesse ; une variation de l'une ou l'autre de ces quantités apportera des termes à la deuxième loi de Newton : $$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(mv)}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}v.$$

Importance de la quantité de mouvement et conservation de la quantité de mouvement

Le momentum est important parce qu'il peut être utilisé pour analyser les collisions et les explosions ainsi que pour décrire la relation entre la vitesse, la masse et la direction. Comme la plupart des objets que nous traitons ont une masse et qu'ils se déplacent souvent à une certaine vitesse par rapport à nous, la quantité de mouvement est une grandeur physique omniprésente. Le fait que la quantité de mouvement soit conservée est un fait pratique qui nous permet de déduire les vitesses et les masses des particules dans les collisions et les interactions, compte tenu de la quantité de mouvement totale. Nous pouvons toujours comparer des systèmes avant et après une collision ou une interaction impliquant des forces, car l'élan total du système avant sera toujours égal à l'élan du système après.

La conservation de l'énergie

La conservation de l'énergie est un principe de physique qui stipule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite.

La formule mathématique correspondant à cette définition est la suivante

$$K_i + U_i = K_f + U_f$$$

où \( K \) est l'énergie cinétique et \( U \) l'énergie potentielle.

Cependant, lorsque nous discutons des collisions, nous nous concentrons uniquement sur la conservation de l'énergie cinétique. La formule correspondante est donc

$$\begin{align}\frac{1}{2}m_1{v_{1i}}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_{2i}}^2 =\frac{1}{2}m_1{v_{1f}}^2+ \frac{1}{2}m_1{v_{2f}}^2\\\end{align}$$

Changements d'énergie

L'énergie totale d'un système est toujours conservée, cependant, l'énergie peut être transformée lors des collisions. Par conséquent, ces transformations affectent le comportement et le mouvement des objets. Par exemple, examinons les collisions où l'un des objets est au repos. L'objet au repos possède initialement une énergie potentielle parce qu'il est immobile, ce qui signifie que sa vitesse est nulle et qu'il n'a pas d'énergie cinétique. Cependant, lorsqu'une collision se produit, l'énergie potentielle se transforme en énergie cinétique car l'objet est maintenant en mouvement. Dans les collisions élastiques, l'énergie est conservée, mais dans les collisions inélastiques, l'énergie est perdue dans l'environnement, une partie étant transformée en chaleur ou en énergie sonore.