Les vecteurs peuvent être utilisés pour résoudre une variété de problèmes qui incluent des quantités telles que l'accélération, l'élan, la force, la vitesse et le déplacement.
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Quelle est la différence entre les scalaires et les vecteurs ?
Un scalaireest une quantité qui n'a pas dedirection. Il s'agit simplement d'une échelle de quantités comme les kilogrammes ou les centimètres. Par exemple, ton poids et ta taille sont exprimés en termes de quantité et d'unité, mais ils n'ont pas de direction. La vitesse, la masse, la température, l'énergie, la longueur et la distance sont des exemples de quantités scalaires.
Un vecteur, en revanche, a une magnitude et une direction. L'élan d'un objet, par exemple, est égal à sa masse par accélération et a une direction, ce qui en fait une unité vectorielle. La vitesse, l'accélération, l'élan, le déplacement et la force, y compris le poids, sont des exemples de quantités vectorielles.
Transformer les vecteurs en composantes
La décomposition des vecteurs en composantes nous aide à résoudre les problèmes vectoriels complexes. Pour décomposer un vecteur en ses composantes, nous devons mesurer la longueur horizontale et verticale du vecteur et exprimer ces longueurs sous forme de deux grandeurs distinctes. Examinons l'exemple ci-dessous pour mieux comprendre le concept.
Trouve les composantes du vecteur illustré ci-dessous.
Pour trouver les composantes de ce vecteur, nous devons commencer par déterminer ses longueurs horizontale et verticale.
Comme tu peux le voir, la longueur horizontale est de 12, et la longueur verticale de 10. Lorsque nous résolvons un vecteur en ses composantes, nous obtenons toujours une valeur horizontale et une valeur verticale. Les longueurs que nous avons mesurées sont les grandeurs des composantes du vecteur.
Comme tu peux le voir, les composantes de ce vecteur sont deux vecteurs, un horizontal et un vertical, dont les grandeurs sont 12 et 10.
Peut-on décomposer un vecteur en ses composantes lorsqu'on ne peutpasmesurer ses longueurs horizontale et verticale ? Oui, c'est possible, maisvoyonscommentprocéder.
Figure 3. Le vecteur v et ses composantes.
Si nous connaissons l'angle de gradient d'un vecteur, nous pouvons déterminer la magnitude de ses composantes horizontales et verticales. Pour le vecteur v ci-dessus, l'angle de pente est a. Nous pouvons alors déterminer la relation entre l'angle et la magnitude des composantes à l'aide de la trigonométrie.
Déterminons la grandeur de la composante horizontale vx.Nous savons que :
Si nous résolvons l'équation pour vx, nous obtenons :
Déterminonsmaintenantl'ampleur de la composante verticale vy. Là encore, nous savons que :
Si nous résolvons l'équation de vy, nous obtenons :
Additionner des vecteurs
L'addition de deux vecteurs s'appelle la recherche de leur résultante. Il y a deux façons d'additionner des vecteurs. La première consiste à utiliser des diagrammes à l'échelle, tandis que la seconde fait appel à la trigonométrie.
Déterminer les vecteurs résultants en utilisant les diagrammes d'échelle.
Pour trouver la résultante des vecteurs en utilisant les diagrammes d'échelle, nous devons dessiner un diagramme d'échelle des vecteurs que nous souhaitons additionner, en reliant les vecteurs "de la pointe à la queue".
L'exemple suivant illustre ce concept.
Un homme marche d'abord vers le nord-est sur 11,40 mètres, puis continue à marcher vers l'est sur 6,6 mètres, et enfin marche vers le nord-ouest sur 21,26 mètres avant de s'arrêter. Détermine le déplacement total de l'homme.
Pour déterminer le déplacement total del'homme, nous devons énoncer les longueurs qu'il a parcourues sous forme de vecteurs, chacun ayant la direction et la magnitude correctes.Appelonsson premier mouvement le vecteur A, son deuxième le vecteur B et son troisième le vecteur C.
Figure 4. Le déplacement total de l'homme. Source : Oğulcan Tezcan, StudySmarter.
Si tu mesures le déplacement total avec une règle, tu verras qu'il est de 23,094 mètres dans la direction du nord, même si l'homme a marché pendant 39,26 mètres.Prouvons-lemathématiquement en transformant les vecteurs en leurs composantes. Dans cet exemple particulier, nous n'avons besoin que des composantes verticales puisque le déplacement total est uniquement vertical.
Figure 5.Lescomposantes du vecteur. Source : Oğulcan Tezcan, StudySmarter.
Pour déterminerAy,nous appliquons l'équation de résolution des vecteurs en leurs composantes :
Nous n'avons pas besoin de déterminer les composantes de B, car cet exemplenecomporte pas de composante verticale. Pour déterminerCy,nous appliquons la même équation.
Le déplacement total est la somme deAy etCy, qui peut être calculée comme suit :
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Déterminer les vecteurs résultants en utilisant la trigonométrie.
Si deux vecteurs sont perpendiculaires l'un à l'autre, nous pouvons trouver la résultante à l'aide de la trigonométrie.Prenonsà nouveau un exemple.
Deux amis poussent une boîte. Les deux forces qu'ils appliquent sont perpendiculaires l'une à l'autre. L'un des amis applique une force de 3 newtons (F1) dans la direction de l'est, tandis que l'autre applique une force de 4 newtons (F2) dans la direction du nord. Détermine le vecteur résultant de la force totale appliquée à la boîte.
Figure 6. Deux forces perpendiculaires s'exerçant sur une boîte. Source : Oğulcan Tezcan, StudySmarter.
Deux forces,F1 etF2, sont perpendiculaires l'une à l'autre, ce qui signifie que la magnitude de Ftotal est égale à l'hypoténuse du triangle formé par ces vecteurs.
Problèmes vectoriels - Principaux enseignements
La physique utilise des vecteurs pour exprimer toute quantité ayant une direction et une magnitude.
Pour décomposer un vecteur en ses composantes, nous devons mesurer les longueurs horizontale et verticale du vecteur et les exprimer sous forme de deux vecteurs distincts.
Pour additionner des vecteurs, nous pouvons utiliser des diagrammes à échelle ou la trigonométrie.
Pour déterminer la résultante des vecteurs à l'aide des diagrammes d'échelle, nous devons relier les vecteurs "de la pointe à la queue".
Si deux vecteurs sont perpendiculaires l'un à l'autre, nous pouvons trouver la résultante en utilisant le théorème de Pythagore.
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Lily Hulatt est une spécialiste du contenu numérique avec plus de trois ans d’expérience en stratégie de contenu et en conception de programmes. Elle a obtenu son doctorat en littérature anglaise à l’Université de Durham en 2022, a enseigné au Département d’études anglaises de l’Université de Durham, et a contribué à plusieurs publications. Lily se spécialise en littérature anglaise, langue anglaise, histoire et philosophie.
Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
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