Principe d'Archimède

Explication intuitive

Si nous immergeons un cube en plastique sans poids rempli d'eau, comme celui qui se trouve à gauche dans l'image ci-dessous, il flottera en équilibre avec l'eau environnante car toute l'eau a la même densité. Les forces qui agissent sur le cube sont la force de gravité vers le bas et la force de flottaison vers le haut. Comme le cube n'accélère pas, en raison de la deuxième loi de Newton, \(\sum F = ma\), ces forces additionnées sont égales à zéro. Cela signifie que la force de flottaison est égale au poids de l'eau dans le cube.

Et si nous remplacions le cube par un cube en métal de la même taille, comme dans l'image la plus à droite ci-dessus ? L'eau autour du cube ne saurait pas qu'il est différent du cube rempli d'eau, donc la force de flottaison agissant sur lui serait égale au poids de l'eau que le cube pourrait contenir. Mais maintenant, le poids du cube est plus important, il tomberait donc au fond du verre. Si tu ramasses le cube au fond du verre, il te semblera plus léger qu'il ne l'est en réalité à cause de la force de flottaison qui le pousse vers le haut.

Explication mathématique

Lorsque nous immergeons un objet dans un liquide, celui-ci exerce une pression sur tous les côtés de l'objet. Dans l'image ci-dessous, nous immergeons un cube dans l'eau.

Nous avons simplifié les forces dues à la pression de l'eau en une seule force vers le bas et une seule force vers le haut. Les pressions horizontales agissant sur le cube sont égales et opposées, leur somme est donc égale à zéro, et nous les excluons de l'image.

La pression est égale à la force par unité de surface, ou

$$P=\frac{F}{A}.$$

Nous savons également que la pression en un point d'un fluide est égale à la densité du fluide multipliée par l'accélération gravitationnelle et la hauteur du fluide au-dessus du point :

$$P=\rho_\text{f} gh.$$

C'est pourquoi la force agissant sur le bas du cube est plus importante que celle agissant sur le haut - parce que la pression augmente au fur et à mesure que la profondeur augmente. En combinant ces deux équations, l'équation de la force agissant sur le sommet du cube serait la suivante :

$$F_1=\rho_\text{f} gh_1 A,$$

et la force agissant sur le bas du cube serait :

$$F_2=\rho_\text{f} g h_2 A.$$

Pour trouver la force de flottaison, nous voulons trouver la différence entre la force agissant sur le haut et la force agissant sur le bas :

$$F_2 - F_1 = \rho_\text{f} g (h_2 - h_1)A.$$

Remarque que \(h_2-h_1\) est simplement la hauteur du cube, et en la multipliant par la face du cube, \(A\), nous obtenons le volume du cube, ou plutôt, le volume d'eau que le cube a déplacé. Nous obtenons maintenant l'équation suivante pour la force de flottaison :

$$F_\text{b} = \rho_\text{f} V_\text{f} g$$$

La masse est égale à la densité multipliée par le volume,

$$m=\rho V,$$ nous pouvons donc substituer la masse du liquide à la densité et au volume du liquide :

$$F_b=m_\text{f} g$$$

Puisque le poids est égal à la masse multipliée par la gravité, ce résultat signifie que la force de flottaison est égale au poids du liquide déplacé, comme l'avait dit Archimède.

Principe d'Archimède - Formule/équation

Comme nous venons de le prouver ci-dessus, le principe d'Archimède aboutit à laformule suivante pour la flottabilité:

$$F_\text{b}=m_\text{f} g.$$

Tu peux aussi utiliser l'équation suivante, en remplaçant la masse par la densité multipliée par le volume, comme nous l'avons décrit plus haut :

$$F_b=\rho V g.$$

Ces deux équations signifient la même chose ; celle que tu utilises dépend des informations dont tu disposes. Un point crucial est que tu utilises la masse, la densité ou le volume du fluide, et non de l'objet.

Principe d'Archimède et loi de flottaison

Et si notre cube flotte ? Si nous savons que l'objet est entièrement immergé, alors nous savons que le volume du fluide que l'objet déplace est le même que le volume de l'objet. Mais s'il flotte, ce n'est pas le cas. C'est pourquoi il est important de se rappeler que le volume que tu utilises est celui du liquide déplacé par le liquide, et non le volume de l'objet.

Lorsqu'un objet flotte dans un liquide, les seules forces qui agissent sur lui sont les forces de flottabilité et de gravitation. Nous pouvons voir les deux forces qui agissent sur le cube flottant dans l'image ci-dessus. Comme un objet flottant n'accélère pas, selon la deuxième loi de Newton, la somme des deux forces est égale à zéro. Cela signifie que pour les objets flottants, la force de flottaison (poids du liquide déplacé) est égale à la force gravitationnelle (ou poids) de l'objet. C'est ce qu'on appelle laloi de flottaison .

Exemples du principe d'Archimède

Tu trouveras ci-dessous quelques exemples qui illustrent les principes évoqués ci-dessus.

Considérons ensuite un cube flottant.

Applications du principe d'Archimède

Le principe d'Archimède est important dans de nombreuses conceptions techniques. Voici quelques applications du principe d'Archimède.

• La compréhension du principe d'Archimède permet aux ingénieurs de concevoir des bateaux qui flottent même s'ils sont faits de matériaux lourds.
• Les hydromètres utilisent le principe d'Archimède pour déterminer la densité des fluides.
• Les sous-marins utilisent le principe d'Archimède pour contrôler la façon dont ils montent et plongent dans l'eau.
• Le principe d'Archimède permet aux ingénieurs de concevoir des gilets de sauvetage qui peuvent maintenir un corps humain à flot.

Conclusion sur le principe d'Archimède

Le principe d'Archimède est un outil intuitif et utile lorsqu'il s'agit de traiter des problèmes de physique impliquant la flottabilité. De plus, il nous permet de trouver le volume qui serait autrement très difficile à analyser. Connaissant le volume et la masse, nous pouvons alors obtenir la densité des objets et analyser également leurs propriétés matérielles.