Définition du principe d'Archimède
La question de savoir si l'histoire ci-dessus s'est déroulée ainsi ou non est controversée. Quelle que soit la façon dont l'idée est née, nous devons définir précisément ce que nous entendons par principe d'Archimède avant de pouvoir le creuser.
Leprincipe d'Archimède stipule que la force de flottaison vers le haut d'un objet entièrement ou partiellement submergé est égale aupoids du fluide que l'objet déplace.
Nous allons voir pourquoi c'est vrai à la fois intuitivement et mathématiquement.
Explication intuitive
Si nous immergeons un cube en plastique sans poids rempli d'eau, comme celui qui se trouve à gauche dans l'image ci-dessous, il flottera en équilibre avec l'eau environnante car toute l'eau a la même densité. Les forces qui agissent sur le cube sont la force de gravité vers le bas et la force de flottaison vers le haut. Comme le cube n'accélère pas, en raison de la deuxième loi de Newton, \(\sum F = ma\), ces forces additionnées sont égales à zéro. Cela signifie que la force de flottaison est égale au poids de l'eau dans le cube.
Et si nous remplacions le cube par un cube en métal de la même taille, comme dans l'image la plus à droite ci-dessus ? L'eau autour du cube ne saurait pas qu'il est différent du cube rempli d'eau, donc la force de flottaison agissant sur lui serait égale au poids de l'eau que le cube pourrait contenir. Mais maintenant, le poids du cube est plus important, il tomberait donc au fond du verre. Si tu ramasses le cube au fond du verre, il te semblera plus léger qu'il ne l'est en réalité à cause de la force de flottaison qui le pousse vers le haut.
Explication mathématique
Lorsque nous immergeons un objet dans un liquide, celui-ci exerce une pression sur tous les côtés de l'objet. Dans l'image ci-dessous, nous immergeons un cube dans l'eau.
Nous avons simplifié les forces dues à la pression de l'eau en une seule force vers le bas et une seule force vers le haut. Les pressions horizontales agissant sur le cube sont égales et opposées, leur somme est donc égale à zéro, et nous les excluons de l'image.
La pression est égale à la force par unité de surface, ou
$$P=\frac{F}{A}.$$
Nous savons également que la pression en un point d'un fluide est égale à la densité du fluide multipliée par l'accélération gravitationnelle et la hauteur du fluide au-dessus du point :
$$P=\rho_\text{f} gh.$$
C'est pourquoi la force agissant sur le bas du cube est plus importante que celle agissant sur le haut - parce que la pression augmente au fur et à mesure que la profondeur augmente. En combinant ces deux équations, l'équation de la force agissant sur le sommet du cube serait la suivante :
$$F_1=\rho_\text{f} gh_1 A,$$
et la force agissant sur le bas du cube serait :
$$F_2=\rho_\text{f} g h_2 A.$$
Pour trouver la force de flottaison, nous voulons trouver la différence entre la force agissant sur le haut et la force agissant sur le bas :
$$F_2 - F_1 = \rho_\text{f} g (h_2 - h_1)A.$$
Remarque que \(h_2-h_1\) est simplement la hauteur du cube, et en la multipliant par la face du cube, \(A\), nous obtenons le volume du cube, ou plutôt, le volume d'eau que le cube a déplacé. Nous obtenons maintenant l'équation suivante pour la force de flottaison :
$$F_\text{b} = \rho_\text{f} V_\text{f} g$$$
La masse est égale à la densité multipliée par le volume,
$$m=\rho V,$$ nous pouvons donc substituer la masse du liquide à la densité et au volume du liquide :
$$F_b=m_\text{f} g$$$
Puisque le poids est égal à la masse multipliée par la gravité, ce résultat signifie que la force de flottaison est égale au poids du liquide déplacé, comme l'avait dit Archimède.
La pression augmente à mesure que la profondeur du liquide augmente, mais cela ne signifie pas que la force de flottaison augmente. La hauteur de l'objet reste la même, donc la différence de pression entre le haut et le bas de l'objet reste constante quelle que soit la profondeur de l'objet dans le liquide. La force de flottaison ne dépend que du poids du liquide déplacé et de l'accélération gravitationnelle, et non de la profondeur de l'objet.
Principe d'Archimède - Formule/équation
Comme nous venons de le prouver ci-dessus, le principe d'Archimède aboutit à laformule suivante pour la flottabilité:
$$F_\text{b}=m_\text{f} g.$$
Tu peux aussi utiliser l'équation suivante, en remplaçant la masse par la densité multipliée par le volume, comme nous l'avons décrit plus haut :
$$F_b=\rho V g.$$
Ces deux équations signifient la même chose ; celle que tu utilises dépend des informations dont tu disposes. Un point crucial est que tu utilises la masse, la densité ou le volume du fluide, et non de l'objet.
C'est la chose la plus importante à retenir au sujet de la flottabilité et où la plupart des erreurs se produisent. Le volume du fluide n'est pas toujours le même que celui de l'objet.
Principe d'Archimède et loi de flottaison
Et si notre cube flotte ? Si nous savons que l'objet est entièrement immergé, alors nous savons que le volume du fluide que l'objet déplace est le même que le volume de l'objet. Mais s'il flotte, ce n'est pas le cas. C'est pourquoi il est important de se rappeler que le volume que tu utilises est celui du liquide déplacé par le liquide, et non le volume de l'objet.
Lorsqu'un objet flotte dans un liquide, les seules forces qui agissent sur lui sont les forces de flottabilité et de gravitation. Nous pouvons voir les deux forces qui agissent sur le cube flottant dans l'image ci-dessus. Comme un objet flottant n'accélère pas, selon la deuxième loi de Newton, la somme des deux forces est égale à zéro. Cela signifie que pour les objets flottants, la force de flottaison (poids du liquide déplacé) est égale à la force gravitationnelle (ou poids) de l'objet. C'est ce qu'on appelle laloi de flottaison .
Exemples du principe d'Archimède
Tu trouveras ci-dessous quelques exemples qui illustrent les principes évoqués ci-dessus.
Regardons notre cube submergé d'en haut. Il coule au fond de l'eau. Si chaque côté mesure \N(0,25\N,\Nmathrm{m}\N) de long, qu'il pèse \N(16\Nmathrm{kg}\N) et que la densité de l'eau est \N(1000\Nmathrm{kg/m^3}\N), quelle est la force de flottaison qui agit sur le cube ?
En utilisant la deuxième équation pour la force de flottaison, nous pouvons introduire la densité de l'eau, le volume d'eau déplacé par le cube (qui dans ce cas est le même que le volume du cube puisque nous savons que le cube est complètement submergé), et l'accélération gravitationnelle :
\begin{align}F_\text{b} &= \rho V g \\N&= (1000\N,\Nmathrm{kg/m^3})(0.25\N,\Nmathrm{m})^3(9.81\N,\Nmathrm{m/s^2}) \N&= 153\N,\Nmathrm{N}\Nend{align}
Nous pouvons comparer ce chiffre à la force gravitationnelle, ou au poids, du cube pour nous assurer qu'il est entièrement submergé :\begin{align}F_g &= (16\Nmathrm{kg})(9.81\Nmathrm{m/s^2}) \Nmathrm{N}&= 157\Nmathrm{N}\Nend{align}
Comme la force gravitationnelle est supérieure à la force de flottaison, le cube est entièrement submergé, ce qui suggère que nous avons utilisé le bon volume.
Considérons ensuite un cube flottant.
Supposons que le même cube de l'exemple précédent pèse \N(13\N,\Nmathrm{kg}\N) au lieu de \N(16\N,\Nmathrm{kg}\N). Le cube flotte donc, mais nous ne savons pas quelle partie sort de l'eau. Quel pourcentage du cube se trouve sous l'eau ?
Nous pouvons écrire l'équation de la force de flottaison que nous avons utilisée ci-dessus, mais cette fois, nous ne pouvons pas utiliser le même volume de cube puisque nous ne savons pas à quelle profondeur le cube est immergé. Nous allons diviser le volume par la surface du fond du cube, \(A\), que nous connaissons, multipliée par notre hauteur inconnue, \(h\) :
$$F_\text{b} = \rho (Ah) g$$$.
Nous pouvons également définir la force de flottaison comme étant égale au poids de l'objet (la masse de l'objet, \(m_\mathrm{o}\), multipliée par l'accélération gravitationnelle) :
$$F_\text{b} = m_\mathrm{o} g.$$
Nous allons substituer la deuxième équation à la première, afin de résoudre notre hauteur inconnue :
\begin{align}m_\mathrm{o}g &= \rho (Ah) g \\Nh &= \frac{m_\mathrm{o}}{\rho A} \N-h &= \Nfrac{13\Nmathrm{kg}}{(1000\Nmathrm{kg/m^3})(0.25\Nmathrm{m})^2}\Nend{align}
Nous avons maintenant la hauteur du cube immergé :
$$h=0.208\,\mathrm{m}$$
Pour savoir quelle partie du cube est submergée, nous pouvons créer un rapport entre le volume sous l'eau et le volume total. Nous utiliserons un indice \(\mathrm{w}\) pour la variable dans l'eau, et nous utiliserons un indice \(\mathrm{t}\) pour les variables du volume total du cube :
$$\frac{V_\mathrm{w}}{V_\mathrm{t}}=\frac{Ah_\mathrm{w}}{Ah_\mathrm{t}}$$
Les aires s'annulent puisqu'elles sont identiques, nous pouvons donc introduire les valeurs des hauteurs :
\begin{align}\frac{V_\mathrm{w}}{V_\mathrm{t}} &= \frac{0.208,\mathrm{m}}{0.25\mathrm{m}} =0.83.\end{align}
Le cube est immergé à 83 % dans l'eau.
Applications du principe d'Archimède
Le principe d'Archimède est important dans de nombreuses conceptions techniques. Voici quelques applications du principe d'Archimède.
- La compréhension du principe d'Archimède permet aux ingénieurs de concevoir des bateaux qui flottent même s'ils sont faits de matériaux lourds.
- Les hydromètres utilisent le principe d'Archimède pour déterminer la densité des fluides.
- Les sous-marins utilisent le principe d'Archimède pour contrôler la façon dont ils montent et plongent dans l'eau.
- Le principe d'Archimède permet aux ingénieurs de concevoir des gilets de sauvetage qui peuvent maintenir un corps humain à flot.
Conclusion sur le principe d'Archimède
Le principe d'Archimède est un outil intuitif et utile lorsqu'il s'agit de traiter des problèmes de physique impliquant la flottabilité. De plus, il nous permet de trouver le volume qui serait autrement très difficile à analyser. Connaissant le volume et la masse, nous pouvons alors obtenir la densité des objets et analyser également leurs propriétés matérielles.
Principe d'Archimède - Principaux enseignements
- Le principe d'Archimède stipule que la force de flottaison vers le haut d'un objet est égale au poids du fluide déplacé par l'objet (\(F_\text{b} = m_\text{f} g\)).
- Pour trouver la force de flottaison, utilise toujours la masse, ou la densité et le volume, du fluide, plutôt que de l'objet.
- Lorsqu'un objet flotte dans un fluide sans autre force extérieure, la force de flottaison est égale au poids de l'objet.
- Le principe d'Archimède s'applique à de nombreuses conceptions techniques liées à la densité et à la flottaison.
Références
- Fig. 1 - Cubes immergés, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Pression autour d'un cube immergé, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Cube flottant, StudySmarter Originals.
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