Plan Incliné

Définition d'un plan incliné

Un plan incliné peut être un scénario délicat car nous devons prendre en compte les différentes composantes de chaque force appliquée.

Un plan incliné peut être un scénario délicat car nous devons prendre en compte les différentes composantes de chaque force appliquée.

Considérons le scénario le plus simple : une boîte sur un plan horizontal. Dans ce cas, il suffit de considérer deux forces : le poids de la boîte qui agit vers le bas et la force de réaction du plan, qui est égale et opposée au poids. Par conséquent, la boîte reste immobile conformément à la deuxième loi de Newton.

Le poids d'une boîte sur un plan horizontal agit perpendiculairement au plan. Sur un plan incliné, ce n'est pas le cas.Mais nous pouvons diviser le poids en composantes parallèles et perpendiculaires au plan.

Jette un coup d'œil à la figure ci-dessus. Nous opposons la situation du plan horizontal à celle du plan incliné à droite. Pour un plan incliné, il est utile de décomposer la force en composantes parallèles ou perpendiculaires au plan incliné que nous considérons. Nous pouvons voir cette décomposition pour le poids, apparaissant sous forme de flèches colorées dans la figure. Remarque qu'une composante du poids pousse la boîte vers le bas du plan tandis que l'autre le fait contre la surface du plan. Grâce à ces composantes, un bloc placé sur une pente inclinée glisse vers le bas sans perdre le contact avec la pente. Dans cet article, nous apprendrons à décrire ces forces avec plus de détails mathématiques tout en comprenant comment la friction joue un rôle dans le mouvement des objets !

Forces sur un plan incliné

Dans cette section, nous allons calculer les composantes du poids à l'aide de la trigonométrie. Mais voyons d'abord pourquoi c'est utile.

Pour un objet sur une surface plane, la force normale pointe verticalement vers le haut. Elle est dans la direction opposée au poids de l'objet parce que la force normale est une force de contact, et donc, elle agit perpendiculairement à la surface. Cependant, pour un objet placé sur un plan incliné, la surface n'est pas perpendiculaire à la force de gravité ! Par conséquent, la force normale n'agit pas dans la direction opposée à la gravité. Au contraire, elle agit perpendiculairement à la direction du plan incliné.

Dans l'image précédente, nous avons montré la représentation graphique permettant de diviser le poids de l'objet en une composante perpendiculaire au plan incliné (surlignée en bleu) et une autre composante parallèle au plan incliné (surlignée en rouge). Par conséquent, la force normale ne sera pas égale au poids mais seulement à la composante perpendiculaire du poids, qui pousse l'objet contre le plan.

Maintenant, pour calculer ces composantes, il est utile de se rappeler quelques propriétés importantes des angles. Premièrement, la somme de tous les angles d'un triangle est égale à \N( 180^\circ \N). Deuxièmement, si nous avons deux lignes parallèles, \N( a \N) et \N( b \N), comme dans la figure ci-dessous, et que tu as une ligne transversale qui les croise, alors les angles intérieurs correspondants sont congruents. Dans la figure, les angles \N( \Nalpha \N) et \N( \Nbeta \N) ont la même mesure parce que ce sont des angles intérieurs correspondants.

L'image illustre la propriété de l'angle intérieur, qui stipule que \(\alpha\) et \(\beta\) sont égaux.

Alors, comment pouvons-nous mettre en œuvre les deux propriétés discutées ci-dessus dans notre diagramme du plan incliné ? En regardant notre précédent diagramme de plan incliné, nous pouvons identifier un triangle droit formé par le plan. Puisque l'angle d'élévation est \N( \Ntheta \N), et que l'une des autres mesures d'angle est \N( 90^\Ncircuit \N), nous pouvons montrer que l'angle restant, appelons-le \N( x \N), doit mesurer \N( 90-\Ntheta \N) :

\N- [\N- Début{alignement} & \Ntheta +90+x = 180 \N- & x = 180-90-\Ntheta \N- & x=90-\Ntheta\N- Fin{alignement}]. \]

De plus, les deux lignes du diagramme ci-dessous, indiquées par la couleur violette, sont parallèles, donc par la propriété de l'angle intérieur, nous savons que les deux angles indiqués par \( 90-\theta \) seront les mêmes.

Diagramme illustrant les angles égaux grâce à la règle de l'angle intérieur.

Maintenant que nous avons identifié l'angle que fait la boîte avec le plan incliné, nous pouvons procéder au calcul de l'angle entre la force du poids vers le bas (violet) et sa composante perpendiculaire au plan incliné (bleu). Nous pouvons reconnaître un autre triangle droit et établir une équation pour l'angle inconnu, que nous appellerons \(y\), de la même manière que nous l'avons fait précédemment :

\N-[\N-] y + (90^{\circ} - \Ntheta) + 90^{\circ} &= 180^{\circ} \N-[8pt] y &= 180^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} + \Ntheta \N[8pt] y &= \Ntheta \Nend{align} \]

Un triangle droit est défini par la force du poids et ses composantes.

Parfait ! Nous avons maintenant l'angle relatif aux composantes perpendiculaires et parallèles de la force du poids ! Nous pouvons maintenant appliquer un peu de trigonométrie pour calculer ces composantes. Rappelle la définition des différents rapports trigonométriques,

\[ \begin{align} \sin(\theta) &= \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \[8pt] \cos(\theta) &= \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\[8pt]\tan(\theta) &= \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \Nend{align} \]

Calculons d'abord la composante parallèle (rouge) de la figure ci-dessus. Note que la composante parallèle est le côté opposé à l'angle \( \theta \). Et comme nous connaissons la valeur de l'hypoténuse \( (mg) \), nous pouvons utiliser la définition de \(\sin(\theta)\). En appliquant le rapport, on obtient ,

\[ \begin{align} \sin(\theta) &= \frac{\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}} \N[8pt] \sin(\theta) &= \frac{\text{opposite side}}{mg} \Nend{align} \]

À partir de là, nous pouvons résoudre pour le côté opposé et déterminer la composante parallèle au plan incliné.

\[ \text{côté opposé} = mg\sin(\theta) = \text{composante parallèle} \]

De même, nous pouvons calculer la composante normale indiquée en bleu en utilisant la définition de \(\cos(\theta)\) car cette composante est le côté adjacent à \( \theta \).

\N- [\N- Début{alignement} \cos(\theta) &= \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \\N-[8pt] \cos(\theta) &= \frac{\text{adjacent side}}{mg} \Nend{align} \]

Maintenant, nous résolvons pour le côté adjacent afin de déterminer la composante normale.

$$ \text{côté adjacent} = mg\cos(\theta) = \text{composante normale} $$

Les composantes normale et parallèle de la force du poids sont calculées à l'aide des identités trigonométriques.

Équation du plan incliné

Maintenant que nous avons divisé le poids en ses composants, nous pouvons utiliser la deuxième loi de Newton pour calculer l'accélération de l'objet sur le plan incliné. Commençons par le faire pour un cas idéal et négligeons la friction pour le moment.

Nous allons d'abord supposer que nous avons un plan lisse et que nous ignorons les effets du frottement. Puisque le mouvement de l'objet est parallèle au plan incliné, nous n'avons qu'à considérer la composante du poids agissant dans cette direction \( mg\sin(\theta) \). En appliquant la deuxième loi de Newton, on obtient

\[ \begin{align}F &= ma \\ F=& mg\sin(\theta) \end{align} \]

Ainsi, l'accélération de l'objet depuis le repos est

\N[ a = g\sin(\theta), \N]

où l'accélération, \(a\) est mesurée en \(\mathrm{m/s^{2}}\) est l'accélération vers le bas du plan, \(g\) est l'accélération due à la gravité en \(\mathrm{m/s^{2}}\), et \(\theta\) est l'angle entre l'horizontale et le plan incliné mesuré en degrés.

Friction sur un plan incliné

En réalité, aucun plan incliné n'est vraiment lisse. C'est pourquoi nous devons tenir compte de l'effet du frottement.

L'équation de la force de frottement est donnée par

\[ F_{f} = \mu r \]

où \(F_{f}\) est la force de frottement en newtons (\(N\)), \(r\) est la force de réaction (ou la composante normale du poids de l'objet) en newtons (\(N\)), et \( \mu \) est le coefficient de frottement.

Il est à noter que la force de frottement s'oppose toujours au mouvement d'un objet. Sa direction est donc opposée à celle du mouvement.

Nous devons maintenant tenir compte de deux forces : la force due au poids de l'objet (qui descend le long du plan) et la force de frottement qui s'oppose au mouvement (qui monte le long du plan). En utilisant la deuxième loi de Newton, nous pouvons écrire la somme des forces agissant sur la boîte comme suit

\N- [\N- Début{align} F &= ma\\\ mg\sin(\theta) - \mu mg\cos(\theta) &= ma \end{align}\N]

où le premier terme du côté gauche de la deuxième équation est la force du poids vers le bas de la pente, et le deuxième terme est la force de frottement vers le haut de la pente. Remarque que nous résolvons notre direction positive vers le bas du plan de façon à ce que la force de frottement soit négative (s'opposant au mouvement). Maintenant, en réarrangeant pour isoler l'accélération, nous pouvons voir que

\[ a = g\sin(\theta) - \mu g\cos(\theta), \]

ce qui nous donne l'accélération de l'objet sur le plan incliné.

Frottement statique et frottement cinétique

Il est important de mentionner que lorsque l'on considère le frottement sur un plan incliné, il en existe deux types : le frottement statique et le frottement cinétique. Dans nos exemples précédents, nous avons supposé que l'objet sur le plan glisserait vers le bas une fois que nous l'aurions placé. Cependant, si le plan a une surface très rugueuse, comment pouvons-nous savoir s'il glissera ou non ? Eh bien, nous devons tenir compte de la friction statique.

Pour qu'un objet commence à glisser le long d'un plan incliné, il doit surmonter le frottement statique entre lui-même et la surface du plan incliné. Cependant, une fois qu'il commence à bouger, le frottement a tendance à être plus faible. C'est pourquoi il est plus facile de continuer à déplacer un objet que de commencer à le faire. Pour calculer le frottement une fois que l'objet est en mouvement, nous calculons le frottement cinétique.

La façon de calculer chacune de ces forces de frottement est la même : nous multiplions la force normale par le coefficient correspondant : \( \mu_s \) pour le frottement statique ou \( \mu_k \) pour le frottement cinétique. Dans nos exemples précédents, nous ne l'avons pas dit explicitement mais nous nous référions au coefficient de frottement cinétique pour nos calculs car nous supposions que la boîte glissait déjà.

Exemples de plans inclinés

Examinons quelques exemples de problèmes liés aux plans inclinés. Nous avons déjà vu comment trouver l'accélération d' un objet sur un plan incliné. Allons un peu plus loin et voyons comment trouver le temps qu'il faut à l'objet pour atteindre le fond.

Boîte sur un plan incliné

Considérons le scénario du diagramme ci-dessus. Les valeurs à utiliser sont les suivantes : \(m = 2,5\ ; \mathrm{kg}\), \(\theta = 30^{\circ}\), le coefficient de frottement cinétique est \(\mu_k = 0,3\), et nous prenons l'accélération gravitationnelle comme \(g = 9,81\ ; \mathrm{m/s^{2}}\). Nous supposons ici qu'il y a un frottement entre l'avion et la boîte, mais que la boîte glisse quand même vers le bas.

La première chose que nous voulons résoudre est le temps qu'il faudrait à la boîte pour glisser jusqu'au bas de la pente. Note que nous supposons que les objets se déplacent sans glisser. Cela signifie que le bord de l'objet qui se déplace le long du plan reste en contact avec le plan pendant toute la durée du mouvement. Sans cette hypothèse, le problème devient beaucoup plus compliqué !

Disons que la boîte est placée à 5 \(\mathrm{m}\) le long de la pente à partir du bas. Cela signifie que la boîte doit parcourir 5 \(\mathrm{m}\) avant que son coin ne touche le sol. Nous avons précédemment dérivé l'équation permettant de calculer l'accélération d'un objet placé sur un plan incliné rugueux. Insérons nos chiffres dans cette équation.

\a &= g\sin(\theta) - \mu g\cos(\theta)\a &= 9.81;\mathrm{m/s^{2}}\time \sin(30^{\circ}) - 0.3 \mtimes 9.81;\mathrm{m/s^{2}} \N- fois \Ncos(30^{\circ})\N- a&= 2.4\N;\Nmathrm{m/s^{2}} \N-END{aligned} \]

Maintenant que nous avons notre accélération en bas de la pente, nous devons nous rappeler nos équations cinématiques pour le mouvement des objets avec une accélération constante afin de calculer combien de temps il faudra à la boîte pour atteindre le bas de la pente. Puisque nous disposons de la distance, de la vitesse initiale et de l'accélération, et que nous voulons trouver le temps nécessaire, nous utilisons les équations suivantes

\[ d = v_{i}t +\frac{1}{2}at^{2}\]

et insère nos valeurs connues. Nos valeurs sont les suivantes : \N(d = 5\N;\Nmathrm{m}\N), \N(v_{i} = 0\N;\Nmathrm{m/s}\N) (puisque l'objet est au repos lorsqu'il est placé sur le plan), et \N(a = 2,4\N;\Nmathrm{m/s^{2}}\N).

\N- 5\N;\Nmathrm{m} = \Nfrac{1}{2}\Nfois 2,4\N;\Nmathrm{m/s^{2}} \Nfois t^{2}\N]

Nous pouvons maintenant résoudre \N(t\N) :

\[ t = \sqrt{\frac{2\times 5\\N;\mathrm{\bcancel{m}}{2.4\N;\mathrm{bcancel{m}/s^{2}}}] } = 2.0s\].

Expérience du plan incliné de Galilée

De nos jours, il peut sembler communément admis que tous les objets accélèrent vers la Terre à un rythme constant. Nous appelons cette accélération l'accélération due à la gravité \(g\). Cependant, dans les années 1500, lorsque le célèbre physicien Galileo Galilei est né, ce n'était pas un fait très connu ! En fait, Galilée a fait preuve d'ingéniosité en émettant l'hypothèse que tous les objets tombaient à la même vitesse.

La technologie de l'époque n'était pas ce qu'elle est aujourd'hui ; il n'y avait pas de minuterie lumineuse ou de chronomètre super précis pour mesurer avec exactitude le temps que mettait un objet à tomber. Au lieu de cela, Galilée a utilisé une expérience de plan incliné. Ignorant les effets de la friction à l'époque, il pensait qu'un objet accélérant sur un plan incliné n'était pas différent d'un objet en chute libre. C'est juste la valeur de son accélération qui serait légèrement différente car seule une composante de cette accélération agit le long du plan. Grâce à cette idée, il a pu prouver que tous les objets accéléraient exactement à la même vitesse ! La raison pour laquelle la version plan incliné de l'expérience était nécessaire est due aux limites de sa technologie. Les versions de chronomètres disponibles dans les années 1500 étaient des pièces d'horlogerie telles qu'une horloge à eau. Ce dispositif gardait la trace du temps en utilisant un flux régulier d'eau dans une cruche, mesurant la différence de niveau d'eau sur une période de temps écoulée. Ce n'est certainement pas la méthode la plus précise pour mesurer le temps, mais bon, ça faisait l'affaire !

Dispositif expérimental

Galilée a mesuré le temps nécessaire à la balle pour parcourir des distances connues, comme indiqué sur le schéma.

En se référant à la figure ci-dessus, Galilée a utilisé un dispositif expérimental similaire, en utilisant une rampe et en mesurant une gamme de distances sur l'ensemble du plan. Puis, à l'aide de l'horloge à eau mentionnée plus haut, il a laissé la balle rouler librement le long de la rampe, en notant le temps qu'il fallait à la balle pour franchir les différentes distances. Il a répété cette expérience plusieurs fois afin d'obtenir un temps moyen, ce qui a rendu les mesures plus précises. Cette méthode constitue la base d'une bonne expérimentation scientifique.

Après avoir recueilli ses données, Galilée a constaté que lorsque la balle parcourait une distance quatre fois plus longue que la première mesure, le temps nécessaire était doublé. Il a constaté que ce résultat était le même pour toutes les mesures qu'il a effectuées, quelles que soient les distances utilisées.

Conclusion de l'expérience

Ce que Galilée a tiré de cette expérience, c'est la relation entre la distance et le temps à laquelle il obéit

\[ s = \frac{1}{2}at^{2}\]

où \(s\ ;(\mathrm{m})\) est la distance parcourue par la balle, \(a\ ;(\mathrm{m/s^{2}})\) est l'accélération de la balle, et \(t\ ;(\mathrm{s})\) est le temps nécessaire à la balle pour rouler. Cela te semble familier ? C'est parce qu'il s'agit de l'équation cinématique exacte que nous avons utilisée dans la section précédente pour résoudre le temps nécessaire à la balle pour descendre la rampe lorsque la vitesse initiale de la balle est \(0 ; \mathrm{m/s}\).

Galilée a ensuite calculé comment relier l'accélération de la balle qui roule sur la rampe à l'accélération de la balle si elle était en chute libre, ou si elle était soumise à la pesanteur, comme suit

\[ a = \frac{gh}{l} \]

où \(a\ ;(\mathrm{m/s^{2}})\Nest l'accélération de la balle, \(g\ ;(\mathrm{m/s^{2}})\Nest l'accélération gravitationnelle, \(h\ ;(\mathrm{m})\Nest la hauteur de la rampe, et \(l\;\N ;(\mathrm{m})\Nest la longueur de la rampe.

Il a ensuite combiné ses deux équations et a pu résoudre l'accélération gravitationnelle.

\N- [\N- Début{aligné} s &= \Nfrac{1}{2}à^{2} \N- s &= \frac{1}{2}\Nà gauche( \frac{gh}{l} \Nà droite)t^{2} \N- g &= \Nfrac{2sl}{ht^{2}} \N-END{aligned} \]

Il s'agissait d'une physique révolutionnaire à l'époque, car Galilée a réussi à calculer l'accélération gravitationnelle avec un simple pot d'eau, une balle et une rampe !

À propos, il convient de mentionner que si nous considérons que l'angle d'élévation de la rampe est \( \theta \), alors la rampe forme un triangle rectangle, comme nous l'avons vu précédemment. Et ici, la hauteur de la rampe \N( h \N) est le côté opposé, et la longueur \N( l \N) est l'hypoténuse. Alors

$$\frac{h}{l} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \sin \theta$$$.

Par conséquent, son expression de l'accélération est égale à celle que nous avons trouvée pour un plan incliné lisse !

\[ a = \frac{gh}{l} =g\frac{h}{l}=g\sin \theta \]