La signification de la période d'un pendule
Pour comprendre ce qu'est la période d'un pendule, nous devons connaître la signification de deux choses : une période et un pendule.
Un pendule est un système composé d'un objet d'une certaine masse qui est suspendu par une tige ou une corde à un pivot fixe. L'objet suspendu est appelé bob.
Un pendule se balance d'avant en arrière, et la valeur maximale que prend l'angle θ de la corde avec la verticale s'appelle l'amplitude. Cette situation est en fait assez compliquée, et dans cet article, nous ne parlerons que de la version simple d'un pendule.
Un pendule simple est un pendule dans lequel la tige ou la corde est sans masse et le pivot sans frottement.
Tu trouveras dans la figure ci-dessous une illustration d'un pendule simple.
Figure 1 : Un pendule simple.
Dans cet article, chaque fois que nous parlerons d'un pendule, nous aurons à l'esprit un pendule simple de faible amplitude. Maintenant que nous comprenons ce que nous entendons par pendule, nous avons besoin d'une information supplémentaire, à savoir ce que nous entendons par période.
La période d'un pendule est la durée d'une oscillation complète de la bobine.
Par exemple, le temps qui s'écoule entre deux situations successives où le balancier d'un pendule est complètement à droite correspond à une période du pendule.
L'impact de la longueur sur la période d'un pendule
La longueur de la corde d'un pendule a un impact sur la période du pendule auquel elle appartient. Cette affirmation est assez convaincante si l'on se contente de regarder quelques exemples de la vie quotidienne.
Certaines décorations de sapin de Noël sont d'assez bons exemples de pendule. Ces petites décorations ont une petite longueur de corde de quelques centimètres et de petites périodes de moins d'une demi-seconde (elles oscillent rapidement).
Une balançoire de cour de récréation est un exemple de pendule avec une longueur de corde de plusieurs mètres. La période de ces balançoires est souvent supérieure à 3 secondes.
Un ensemble de balançoires, dont la gauche aura une période plus courte que la droite.
Ainsi, plus la corde est longue, plus la période du pendule est importante.
Autres facteurs qui influencent la période d'un pendule
Deux autres facteurs influent sur la période d'un pendule : l'accélération gravitationnelle et l'amplitude du pendule. Comme nous ne parlons que de pendules de faible amplitude, le seul autre facteur à prendre en compte est l'accélération gravitationnelle. Avec une très faible accélération gravitationnelle, on peut imaginer que les choses se déroulent au ralenti. On s'attend donc à ce que plus l'accélération gravitationnelle est grande, plus l'oscillation du pendule est rapide et plus la période du pendule est petite.
Mais attends, pourquoi la masse de la bobine n'affecte-t-elle pas la période d'un pendule ? C'est très similaire au fait que la masse d'un objet n'affecte pas la vitesse à laquelle il tombe : si la masse double, la force gravitationnelle sur lui double également, mais l'accélération reste la même :. Le bob de notre pendule subit la même chose : la force exercée sur le bob 1 qui est deux fois plus massif que celle exercée sur le bob 2 est deux fois plus importante, mais le bob lui-même est également deux fois plus lourd que le bob 2. Le bob 1 est donc deux fois plus difficile à déplacer que le bob 2, et l'accélération des deux bobs sera donc la même (toujours par
). Par conséquent, la période d'un pendule ne dépend pas de la masse du bob.
Tu peux le vérifier expérimentalement en allant voir une balançoire sur un terrain de jeu et en mesurant la période de la balançoire quand quelqu'un est dessus et quand personne n'est dessus. Les deux périodes mesurées s'avéreront être les mêmes : la masse du bob n'a aucune influence sur la période de la balançoire.
La formule de la période d'un pendule
Siest la longueur de la corde du pendule et g l'accélération gravitationnelle, la formule de la période T d'un pendule est la suivante :
Nous voyons que nos prédictions étaient justes. Une plus grande longueur de corde du pendule et une plus petite accélération gravitationnelle entraînent toutes deux une plus grande période du pendule, et la masse du bob n'affecte pas du tout la période du pendule.
C'est un bon petit exercice pour vérifier que les unités de cette équation sont correctes.
Schéma d'un pendule simple de faible amplitude avec les grandeurs pertinentes indiquées.
Avec un peu de calcul, nous pouvons dériver la formule de la période d'un pendule. Nous devons mesurer les angles en radians, de sorte que pour les petits angles, nous avons à peu près sin(θ) = θ. Les seules forces nettes sur un bob de masse m sont des forces horizontales, et la seule force horizontale que nous pouvons trouver est la partie horizontale de la tension dans la corde.
La tension totale dans la corde est à peu près la composante verticale de la tension parce que l'amplitude du pendule est faible. Cette composante verticale est égale à la force vers le bas exercée sur la bobine (car il n'y a pas de force verticale nette sur la bobine), qui est son poids mg.
La partie horizontale de la tension est alors -mgsin(θ) (avec le signe moins parce que l'accélération est dans la direction opposée à sa position, que nous prenons positive). Cela correspond à peu près à -mgθ en raison de la faible amplitude du pendule. L'accélération du bob est donc.
L'accélération est également mesurée comme la dérivée temporelle seconde de sa position horizontale, qui est approximativement. Mais
est constant, donc l'équation est maintenant
, où nous devons résoudre l'angle θ en fonction du temps t. La solution de cette équation (comme tu peux le vérifier) est
, où A est l'amplitude du pendule. Nous voyons que θ est égal à A toutes les
unités de temps, et donc la période du pendule est donnée par
. Cette dérivation montre explicitement d'où viennent tous les facteurs qui affectent la période d'un pendule.
Nous en concluons que sur Terre, le seul facteur influençant la période d'un pendule est la longueur de la corde du pendule.
Calculer la période d'un pendule
Supposons que nous puissions considérer une balançoire de cour de récréation comme un simple pendule. Quelle est la période d'une balançoire dont le siège se trouve à 4 m au-dessous de son pivot si on la laisse osciller doucement, c'est-à-dire avec une faible amplitude ?
Nous savons que g = 10 m/s2 et que. La période T de ce pendule se calcule alors comme suit :
.
C'est en effet ce que nous savons d'après notre propre expérience.
Supposons que nous puissions considérer une boucle d'oreille comme un simple pendule. Si quelqu'un marche, la boucle d'oreille ne subit qu'un léger choc, ce qui provoque une petite amplitude. Quelle est la période d'une telle boucle d'oreille si la longueur du cordon est de 1 cm ?
La période de ce pendule se calcule comme suit :
.
C'est aussi ce que nous savons par expérience : un petit pendule oscille très rapidement.
La fréquence d'un pendule
La fréquence (souvent notée f ) d'un système est toujours l'inverse de la période de ce système.
Par conséquent, la fréquence d'un pendule est donnée par :
.
Rappelle-toi que l'unité standard de fréquence est le hertz (Hz), qui est l'inverse de la seconde.
Période du pendule - Principaux enseignements
Un pendule est un système composé d'un objet d'une certaine masse qui est suspendu par une tige ou une corde à un pivot fixe. L'objet suspendu est appelé bob. L'angle maximal de la corde avec la verticale s'appelle l'amplitude.
Un pendulesimple est un pendule dans lequel la tige ou la corde est sans masse et le pivot sans frottement.
La période d'un pendule est la durée d'une oscillation complète de la bobine.
Les seuls facteurs qui influencent la période d'un pendule sont l'accélération gravitationnelle et la longueur de la corde. Ainsi, sur Terre, seule la longueur de la corde influence la période d'un pendule.
La formule de la période d'un pendule est
.
La fréquence d'un pendule est l'inverse de la période, elle est donc donnée par
.
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