Fig. 1 - La balançoire à pneu est un exemple classique de pendule de torsion.
Définition du pendule de torsion
Un pendule de torsion ressemble beaucoup à un pendule normal, sauf qu'il présente un mouvement de rotation au lieu d'un mouvement de translation.
Un pendule de torsion est un fil suspendu à une ficelle qui peut tourner librement.
Voir aussi l'illustration ci-dessous. Pour mettre en mouvement un pendule de torsion, tu dois faire tourner un peu le fil et le laisser libre. La bobine commencera à tourner pour revenir à sa position d'équilibre, après quoi elle "dépassera" et tournera hors de sa position d'équilibre dans l'autre sens que celui dans lequel tu l'avais fait tourner à l'origine. Sa rotation sera à nouveau ralentie et le fil continuera à tourner de manière oscillatoire.
Théorie du pendule de torsion
La théorie qui sous-tend le fonctionnement d'un pendule de torsion se résume au fait que notre corde possède une certaine rigidité. C'est-à-dire que si nous introduisons une torsion dans notre ficelle, elle aura tendance à se détordre si nous laissons tout aller et laissons la ficelle faire son travail. En fait, la ficelle a tendance à se détordre davantage si nous la tordons plus fort, et cette relation est exactement linéaire.
La corde d'un pendule de torsion exerce un couple qui est proportionnel à l'angle par lequel l'extrémité inférieure de la corde est tournée alors que l'extrémité supérieure de la corde est restée fixe.
Maintenant, nous pouvons également voir la ressemblance avec un pendule régulier : l'équivalent rotatif de la force (couple) est proportionnel à l'équivalent rotatif du déplacement (angle). Ainsi, nous pourrions nous demander s'il présenterait ou non un mouvement harmonique simple. Voyons si c'est le cas en établissant quelques équations et en les résolvant.
Équations du pendule de torsion
Pour parler d'un pendule de torsion, nous supposons que le couple exercé par la ficelle sur le fil est proportionnel au déplacement angulaire du fil. Cela signifie que la corde a une certaine constante de torsion, \(c,\) qui est égale au couple exercé par la corde divisé par le déplacement angulaire de la bobine. Comme tu as pu le déduire de sa définition, la constante de torsion \(c\N) est mesurée en \N(\mathrm{\tfrac{N\N,m}{rad}}\N). Plus la corde est rigide, plus la constante de torsion est élevée. Nous pouvons maintenant établir l'équation suivante :
\[\vec{\tau}=-c\vec{\theta},\]
où \(\vec{\tau}\) est le couple exercé par la corde et \(\vec{\theta}\) est le déplacement angulaire du bob. Le signe moins est là pour indiquer que le couple exercé par la ficelle est dans la direction opposée au déplacement angulaire du bob : après tout, la ficelle veut se défaire d' elle-même. Par conséquent, nous pouvons dire qu'il s'agit d'un couple de rappel dans le même sens que la force dans un pendule classique est une force de rappel.
Tu te souviens peut-être de la deuxième loi de Newton sous forme angulaire, qui implique que le couple exercé sur notre bob est égal au moment d'inertie du bob \(I\) multiplié par son accélération angulaire, \( \alpha \), ce qui nous donne l'équation différentielle suivante :
\begin{aligned}I\textcolor{#00b695}{\alpha} & = \textcolor{#56369f}{\tau}\\[8pt]I\textcolor{#00b695}{\frac{\mathrm{d}^2\vec{\theta}}{\mathrm{d}t^2}} &=\textcolor{#56369f}{-c\vec{\theta}},\end{aligned}
où \(t\) est le temps.
Lorsque notre bob tourne d'avant en arrière, le sens du vecteur de déplacement angulaire du bob et du couple change. En utilisant la règle de la main droite, nous pouvons voir que la direction du déplacement angulaire est verticalement vers le haut lorsqu'il tourne vers la droite, et verticalement vers le bas lorsqu'il se détord (tourne vers la gauche). Cela nous indique la direction du couple car nous savons qu'il agit dans la direction opposée comme \( \vec{tau} = -c\vec{\theta}. \N-) Néanmoins, dans les deux cas, le couple il est orienté verticalement. Nous avons donc la garantie que le mouvement se produit dans le même plan horizontal. Puisque c'est le cas, nous pouvons laisser de côté la notation vectorielle qui est compliquée et inutile pour ce cas. À la place, nous pouvons continuer en utilisant une équation différentielle scalaire où le signe algébrique conserve toutes les informations nécessaires pour décrire le mouvement du pendule.
\[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{c}{I}\theta.\]
Cela ressemble étrangement à l'équation différentielle qui régit le mouvement harmonique simple du pendule régulier, et en effet, la solution de cette équation décrit un mouvement harmonique simple :
\[\theta(t)=\theta_\text{max}\sin\left(\sqrt{\frac{c}{I}}t\right),\]
où \(\theta_\text{max}\) est l'amplitude angulaire ou le déplacement angulaire maximal du bob.
À partir de cette équation, nous voyons que la fréquence angulaire \(\omega\) est donnée par
\[\omega=\sqrt{\frac{c}{I}}.\]
La fréquence angulaire du mouvement harmonique simple du pendule de torsion ne doit pas être confondue avec la vitesse angulaire du bob lui-même ! Cette dernière est égale à \(\tfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\) et change avec le temps, par exemple, elle est nulle lorsque le bob se tord jusqu'au déplacement angulaire maximum avant de changer de direction pour commencer à se détordre . En revanche, la fréquence angulaire est constante et indique à quelle vitesse l'argument de la fonction sinusoïdale change. Elle est directement liée à la fréquence et à la période des oscillations.
La période \(T\) du mouvement oscillatoire est donnée par
\begin{aligned}&T=\frac{2\pi}{\omega}\\[6pt]&\boxed{T=2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}}.\end{aligned}
Nous pouvons toujours faire une vérification de bon sens et voir si les unités fonctionnent dans des expressions compliquées. Le moment d'inertie est mesuré en \(\mathrm{kg\,m^2}\) et la constante de torsion est mesurée en \(\mathrm{\tfrac{N\,m}{rad}}\), donc le côté droit de l'équation pour la période est mesuré en
\[\sqrt{\frac{\mathrm{kg\,m^2\,rad}}{\mathrm{N\,m}}}=\sqrt{\mathrm{\frac{kg\,m}{N}}}=\sqrt{\mathrm{\frac{kg\,m}{\tfrac{kg\,m}{s^2}}}}=\mathrm{s}.\]
L'énergie dans un pendule de torsion
Nous pouvons trouver une expression pour l'énergie potentielle stockée dans un pendule de torsion. Nous pouvons définir l'énergie potentielle comme étant moins le travail effectué par la corde sur le fil de fer depuis sa position d'équilibre jusqu'à sa position actuelle. Le travail \(W\) effectué par un couple \(\vec{\tau}\) est égal à \(\int\vec{\tau}\cdot\mathrm{d}\vec{\tau}\) donc l'énergie potentielle \(E_\text{pot}\) dans le pendule de torsion peut être exprimée comme suit :
\begin{align*}&E_\text{pot}=-W\\ xml-ph-0000@deepl.internal &E_\text{pot}=-\int\vec{\tau}\cdot\mathrm{d}\vec{\theta}\\ xml-ph-0001@deepl.internal &E_\text{pot}=-\int(-c\vec{\theta})\cdot\mathrm{d}\vec{\theta}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &\boxed{E_\text{pot}=\frac{1}{2}c\theta^2}.\Nend{align*}
Note que l'énergie potentielle du pendule de torsion ne dépend pas du tout du moment d'inertie de la bobine ! Elle ne dépend que de la constante de torsion, \(c\) (la rigidité de la corde), et du déplacement angulaire de la bobine, \(\theta\) (le degré de torsion de la corde). En bref, l'énergie potentielle ne dépend que de la corde et non de la bobine.
Expérience du pendule de torsion
Tu peux faire toi-même une expérience avec un pendule de torsion si tu as deux choses à ta disposition : une balançoire à pneu et un jour sans vent.
Pour que le couple exercé par la corde soit réellement proportionnel au déplacement angulaire du pneu, il faut que l'amplitude angulaire initiale ne soit pas supérieure à \(270^\circ\). Cela signifie que tu ne dois pas faire tourner le pneu de plus de 3/4 de tour par rapport à sa position d'équilibre. Lâche maintenant le pneu et mesure la période d'oscillation à l'aide d'un chronomètre. Le meilleur moyen d'y parvenir est de mesurer le temps qu'il faut au pneu pour passer d'un point stationnaire au point stationnaire suivant : il s'agira bien sûr d'une demi-période.
As-tu réussi à mesurer la période de ce simple mouvement harmonique ? C'est bien ! Maintenant, si nous supposons que le moment d'inertie d'un pneu de voiture a une valeur typique de \(I_\text{tire}=0,4\\\mathrm{kg\,m^2}\), tu peux calculer la constante de torsion de la corde à l'aide de la formule de la période du mouvement ! Si tu manipules correctement cette équation, tu devrais obtenir
\[c=I\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.\]
Horloge à pendule de torsion
Fig. 3 - Une horloge anniversaire est un autre exemple typique de pendule de torsion.
L'horloge à pendule de torsion est une application du pendule de torsion et a été inventée environ 50 ans après l'invention du pendule de torsion. Une telle horloge est également appelée "horloge anniversaire" ou "horloge des 400 jours" parce qu'elle peut durer un an avec un seul remontage. Cela est possible parce qu'elles sont beaucoup plus efficaces que les horloges traditionnelles à pendule régulier : il y a moins de frottement mécanique au niveau du pivot mais aussi moins de résistance à l'air au niveau du balancier. Le revers de la médaille de ces horloges est que la constante de torsion de la corde est très dépendante des facteurs environnementaux tels que la température, de sorte que leur chronométrage est moins précis que celui des horloges à pendule traditionnelles.
Exemple de calcul du pendule de torsion
Pour terminer, voyons quelques exemples de calculs impliquant des pendules de torsion.
Supposons que nous ayons une horloge à pendule de torsion qui a une période de \(T=10.0\,\mathrm{s}\) et une corde avec une constante de torsion de \(c=4\times 10^{-4}\,\mathrm{\frac{N\,m}{rad}}\). Si le bob est composé de trois masses égales qui se trouvent à une distance de \N(d=4\N,\Nmathrm{cm}\Nde la corde, quelle est la masse \N(m\N) de l'une de ces masses ?
Solution
Nous connaissons la période et la constante de torsion, et nous savons que si nous les introduisons dans notre équation pour la période, nous pouvons trouver le moment d'inertie, qui est lié à la masse du système. La première étape consiste donc à résoudre \N( I \N) :
\begin{align*}T&=2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}\\[6pt]\implies I&=\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2c\\[6pt]&=\left(\frac{10.0\,\mathrm{s}}{2\pi}\right)^2\times 4\times 10^{-4}\,\mathrm{\frac{N\,m}{rad}}\\[6pt]&=0.001\,\mathrm{kg\,m^2}.\end{align*}
Rappelons que nous pouvons exprimer le moment d'inertie en fonction des masses
\begin{aligned} I& = \sum_i m_i (d_i)^2\\[6pt]I&=3md^2,\end{aligned}
donc la valeur de la masse de chacune de ces masses est donnée par
\[m=\frac{I}{3d^2}=\frac{0.001\,\mathrm{kg\,m^2}}{3\times (0.4\,\mathrm{m})^2}=0.2\,\mathrm{kg}.\]
Par conséquent, chacun d'entre eux a une valeur de masse de \(m=0,2\\Nmathrm{kg}\N).
Pendule de torsion - Principaux enseignements
- Un pendule de torsion est un fil suspendu à une ficelle qui peut tourner librement.
- La corde d'un pendule de torsion exerce un couple qui est proportionnel à l'angle selon lequel l'extrémité inférieure de la corde est tournée tandis que l'extrémité supérieure de la corde reste fixe. La constante de proportionnalité est la constante de torsion \(c\N) :\N[\Nvec{\Ntau}=-c\Nvec{\Ntheta}.\N].
- Parce que la torsion est proportionnelle au déplacement angulaire et dans la direction opposée, elle agit comme une torsion de résonance qui fait que le système présente un mouvement harmonique.
- Un pendule de torsion présente un mouvement harmonique simple, et nous pouvons le décrire avec l'équation \[\theta(t)=\theta_\text{max}\sin\gauche(\sqrt{\frac{c}{I}}t\ droite).\N].
- La fréquence angulaire associée est \(\oméga=\sqrt{\frac{c}{I}}\) et la période est \(T=2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}\).
- L'énergie potentielle d'un pendule de torsion est stockée dans la torsion de la corde et est donnée par \(E_\text{pot}=\frac{1}{2}c\theta^2\).
- Des exemples de pendules de torsion sont une balançoire à pneu et une horloge à pendule de torsion.
Références
- Fig. 1 - Tire Swing, Mulberry Street, Over-the-Rhine, Cincinnati, OH (47588664081) (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tire_Swing,_Mulberry_Street,_Over-the-Rhine,_Cincinnati,_OH_(47588664081).jpg) par Warren LeMay (https://www.flickr.com/people/59081381@N03) sous licence du domaine public.
- Fig. 2 - Illustration d'un pendule de torsion, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Règle de la main droite appliquée au pendule de torsion, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Horloge anniversaire à pendule de torsion Haller (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Haller_torsion_pendulum_anniversary_clock.jpg) par Graham Evans, sous licence CC BY-SA 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/deed.en).
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