Pendule Physique

Définition du pendule physique

Dans l'article "Pendule simple", nous définissons un pendule simple comme un pendule idéal dont toute la masse est concentrée en un seul point. Nous ne pouvons utiliser l'idée d'un pendule simple que lorsqu'un objet suspendu à une ficelle peut être modélisé comme une masse ponctuelle, et que la masse de la ficelle est négligeable. Dans la réalité, cependant, la plupart des pendules réels ne peuvent pas être modélisés avec précision comme des masses ponctuelles sur des cordes sans masse. Nous appelons ce type de pendule réel un pendule physique.

Au début de cet article, nous avons mentionné une balançoire à pneu comme exemple de pendule physique. La façon dont une balançoire à pneu tourne pendant son mouvement prouve qu'elle ne peut pas être modélisée comme un simple pendule. La modélisation de la balançoire à pneu serait plutôt compliquée si l'on considère qu'elle peut tourner non seulement autour du point de pivot, mais aussi autour de l'axe parallèle à la corde. Un exemple plus simple de pendule physique est une tige droite avec un pivot à une extrémité, comme indiqué ci-dessous. Nous ne pouvons pas ignorer la masse de la tige comme nous l'avons fait avec la corde dans un pendule simple, nous devons donc tenir compte de l'emplacement du centre de masse et du moment d'inertie lorsque nous décrivons son mouvement.

Fig. 2 - Une tige uniforme avec un pivot à une extrémité est un pendule physique.

Équation d'un pendule physique

En utilisant la deuxième loi de Newton, nous pouvons trouver l'équation du mouvement d'un pendule physique. Considère un objet non uniforme de masse \(m\) qui est suspendu à un pivot de sorte qu'il peut tourner librement autour de ce point. La distance entre le point de pivot et le centre de gravité de l'objet est \N(d.\N) Lorsque l'objet subit un déplacement angulaire de \N(\Ntheta,\N), le couple de rappel sur l'objet est donné par :

\[\tau=-mgd\sin\theta,\]

où \N(g\N) est l'accélération due à la gravité, \N(g=9,8\N,\Nmathrm{\Nfrac{m}{s^2}}.\N) Il y a un signe moins dans cette équation parce que le couple de rappel pointe dans le sens des aiguilles d'une montre lorsque le déplacement se fait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Comme le couple de rappel est proportionnel à \(\sin\theta\) au lieu de \(\theta,\) le mouvement n'est pas simplement harmonique. Cependant, pour de petites amplitudes de mouvement, nous pouvons approximer que \(\sin\theta\approx\Ntheta.\N) Dans cette approximation, la force de rappel est :

\[\tau=-mgd\sin\theta\approx-mgd\theta,\]

et le mouvement est approximativement simplement harmonique.

Maintenant, nous remplaçons la force de rappel par la deuxième loi de Newton sous la forme de rotation pour obtenir l'équation du mouvement d'un pendule physique :

\[\begin{align*}\sum\tau&=I\alpha\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal -mgd\theta&=I\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}&=-\frac{mgd}{I}\theta.\end{align*}\]

Dans cette équation, \(I\) est le moment d'inertie et \(\alpha\) est l'accélération angulaire. Nous reconnaissons le terme du côté droit de l'équation, \(\frac{mgd}{I},\) comme le carré de la fréquence angulaire, \(\omega,\) de sorte que \(\omega=\sqrt{\frac{mgd}{I}}.\) En termes de fréquence angulaire, l'équation du mouvement est donnée par :

\[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^2\theta.\]

Période d'un pendule physique

La période d'un pendule physique peut être dérivée de la fréquence angulaire trouvée dans la section ci-dessus. La période en termes de fréquence angulaire est donnée par :

\[\begin{align*}T&=\frac{1}{f}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{2\pi}{\omega}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{mgd}{I}}}\\[8pt] xml-ph-0002@deepl.internal &=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}.\end{align*}\]

Moment d'inertie d'un pendule physique

Le moment d'inertie d'un objet de forme complexe peut être calculé en trouvant d'abord sa période de mouvement. Tout d'abord, nous déterminons le centre de gravité de l'objet. Ensuite, on laisse l'objet pivoter autour d'un certain point qui se trouve à une distance \(d\) du centre de gravité. Enfin, nous mesurons la période de l'oscillation. En résolvant le moment d'inertie dans l'équation trouvée dans la section précédente, on obtient :

\[\begin{align*}T&=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal \frac{T}{2\pi}&=\sqrt{\frac{I}{mgd}}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2&=\frac{I}{mgd}\\[8pt] xml-ph-0002@deepl.internal I&=mgd\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2.\N-{align*}\N]

Nous remplaçons ensuite les valeurs mesurées pour la masse, la distance du centre de gravité et la période d'oscillation pour calculer le moment d'inertie.

Pendule simple et pendule physique

Un pendule simple est un cas particulier de pendule physique qui peut être modélisé comme une masse ponctuelle sur une corde sans masse. Dans le cas d'un pendule simple, la période ne dépend que de la longueur de la corde \(l\) et de l'accélération due à la gravité :

\[T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.\]

Bien que les calculs pour un pendule simple soient moins complexes que ceux pour un pendule physique, la plupart des pendules de la vie réelle ne peuvent pas être modélisés comme un pendule simple et doivent être traités comme un pendule physique.

Exemples de pendules physiques

Prenons quelques exemples avec des pendules physiques pour nous entraîner !