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Sauter à un chapitre clé
- Définition d'un pendule
- Parties d'un pendule
- Types de pendules
- Pendules physiques
- Pendules simples
- Pendules de torsion
- Formules de pendule
- Pendules physiques
- Pendules simples
- Pendules de torsion
- Période des pendules
- L'énergie mécanique des pendules
Définition d'un pendule
Le mot "pendule" vient du mot latin pendulus, qui signifie "pendu" ou "suspendu".
Un pendule est une masse suspendue à un pivot de façon à pouvoir se balancer librement d'avant en arrière.
Dans cet article, nous supposerons qu'aucun des pendules n'a de frottement.
Les parties d'un pendule
Tu peux probablement deviner les pièces qui composent un pendule rien qu'en regardant la définition, mais passons-les rapidement en revue. Nous avons besoin d'un axe et d'un point d'attache autour duquel l'axe peut pivoter ou tourner. Selon le type de pendule, nous pouvons également avoir besoin d'une ficelle pour attacher la bobine au point d'attache. En gros, un pendule ressemble à l'image ci-dessous.
Fig. 1 - Un pendule général avec un fil (bleu), une ficelle (verte) et un point de pivot (C).
Types de pendules
Il existe plusieurs types de pendules, mais nous nous concentrerons sur trois types principaux : les pendules physiques, les pendules simples et les pendules de torsion.
Pendules physiques
Un pendule physique est le seul type de pendule qui n'a pas nécessairement besoin d'une corde. Il s'agit d'un pendule composé d'un objet rigide suspendu à un point de pivot, comme illustré ci-dessous.
Les quantités décrivant ce pendule sont le moment d'inertie \(I\) de la bobine (avec les unités \(\mathrm{kg\,m^2}\)), la distance \(d\) du pivot au centre de masse de la bobine (avec les unités \(\mathrm{m}\)), et la masse totale \(m\) de la bobine (avec les unités \(\mathrm{kg}\)).
Si tu accroches une pince à linge à un étendoir, tu crées essentiellement un pendule physique ! Le point de pivot se trouve à l'endroit où la pince à linge touche l'étendoir, la pince à linge elle-même est complètement rigide et elle peut se balancer librement d'avant en arrière, il s'agit donc bien d'un pendule physique.
Pendules simples
Un pendule simple est un pendule qui consiste en une masse ponctuelle suspendue à une ficelle qui est attachée à un point de pivot. Vois l'illustration ci-dessous.
Fig. 3 - Un pendule simple avec un axe (bleu) qui est une masse ponctuelle de masse \(m\), une ficelle (verte) et un point de pivot (C).
Les grandeurs décrivant ce pendule sont la longueur \(l\) de la corde et la masse \(m\) de la bob. La corde a une masse négligeable par rapport à la masse de la bobine, elle peut donc être ignorée.
Le pendule de Foucault est un exemple de pendule qui se rapproche d'un pendule simple. Il s'agit d'un grand pendule que l'on trouve dans de nombreux musées scientifiques et qui illustre la rotation de la Terre autour de son axe. Le fonctionnement exact de ce pendule n'entre pas dans le cadre de cet article, mais il est tout à fait intéressant de s'y intéresser !
Pendules de torsion
Un pendule de torsion est un pendule qui ne se balance pas d'avant en arrière, mais qui tourne d 'avant en arrière. Il se compose d'un corps rigide suspendu à une corde qui est attachée à un point de pivot, comme illustré ci-dessous. Lorsque le fil est tourné dans un sens, la torsion de la ficelle exerce un couple qui pousse le fil vers la position d'équilibre. Les grandeurs décrivant ce type de pendule sont le moment d'inertie (I) de la bobine et la constante de torsion (c) de la corde.
La constante de torsion d'une corde est la constante de proportionnalité entre le couple exercé par la corde et son degré de torsion : dans un certain sens, elle décrit la rigidité de la corde.
La constante de torsion décrit la quantité de couple par radian, ses unités sont donc \(\mathrm{N\,m}\).
Une balançoire à pneu est un bon exemple de pendule de torsion : lorsque tu fais tourner le pneu, la torsion de la corde fait que le pneu commence à revenir en arrière une fois que tu le lâches, et le pneu va alors "dépasser" sa position d'équilibre et tourner encore plus dans l'autre sens, et ainsi de suite jusqu'à ce que toute l'énergie du système se soit dissipée et que le pneu revienne à sa position de repos.
Formules de pendule
Bien sûr, en tant que physiciens, nous voulons examiner le comportement de ces pendules de manière quantitative, et nous cherchons donc à trouver des formules qui décrivent leur mouvement. Toutes ces formules seront dérivées dans les articles StudySmarter spécialisés respectifs sur ces sujets, mais elles seront simplement données ici à titre d'aperçu. Tous les pendules sont décrits par des équations différentielles, et ces équations différentielles décrivent tout ce qui est physiquement intéressant (c'est-à-dire la période, la fréquence angulaire et l'amplitude) concernant le pendule, comme tu le verras dans les exemples ci-dessous.
Pendules physiques
Pour de petits angles d'oscillation \(\theta<10^\circ\), l'équation différentielle régissant le mouvement d'un pendule physique est donnée par
\[\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{mgd}{I}x,\]
où \(x\) est la distance entre le centre de masse du bob et sa position d'équilibre (juste en dessous du point de pivot).
Pourquoi devons-nous supposer que les angles d'oscillation sont petits, demandes-tu ? Comme tu le sais peut-être ou comme tu le verras dans des articles plus spécialisés, l'équation différentielle réelle est la suivante
\[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{mgd}{I}\sin\theta,\]
où \(\theta\) est l'angle que fait la corde avec la verticale. Le sinus vient de la détermination des triangles dans le diagramme de corps libre de ce pendule. Pour les petits angles \(\theta_\text{small}\), nous avons \(\sin\theta_\text{small}\approx\theta_\text{small}\), donc l'équation différentielle devient, avec une bonne approximation,
\[\frac{\mathrm{d}^2\sin\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{mgd}{I}\sin\theta.\]
En multipliant les deux côtés par la longueur \(L\) de la corde et en utilisant \(L\sin\theta=x\), nous obtenons notre équation différentielle :
\[\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{mgd}{I}x.\]
Il n'y a pas vraiment de méthode systématique pour arriver à la solution d'une telle équation différentielle, et deviner les solutions est difficile sans expérience, c'est pourquoi on ne s'attend jamais à ce que tu le fasses. Par conséquent, nous allons simplement te donner la solution de l'équation différentielle :
\[x=x_\text{max}\sin\left(\sqrt{\frac{mgd}{I}}t\right).\]
Cela signifie que la fréquence angulaire \(\omega_\text{phys}\) du pendule physique est donnée par
\[\omega_\text{phys}=\sqrt{\frac{mgd}{I}},\]
et que la période \(T_\text{phys}\) du pendule physique est
\[T_\text{phys}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}.\]
N'oublie pas qu'un mouvement harmonique simple ressemble toujours à \(x=A\sin(\omega t)\), donc à partir de n'importe quelle formule concernant \(x\), nous pouvons immédiatement lire la fréquence angulaire \(\omega\) en regardant ce qui se trouve à l'intérieur de la fonction sinusoïdale. À son tour, à partir de la fréquence angulaire \(\noméga\), nous pouvons facilement calculer la période \(T\) en utilisant la formule qui les relie : \(T=\frac{2\pi}{\omega}\).
En fait, la forme générale de l'équation différentielle du mouvement harmonique simple est la suivante
\[\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^2x,\]
Il s'agit donc d'une autre façon de lire la fréquence angulaire du mouvement résultant de l'équation différentielle. Dans le cas du pendule physique, nous voyons que
\[\omega^2=\frac{mgd}{I}\]
on peut donc également conclure de cette façon que la fréquence angulaire est
\[\omega_\text{phys}=\sqrt{\frac{mgd}{I}}.\]
Étudions un exemple pour voir comment nous pouvons utiliser ces équations en pratique. Supposons que notre pince à linge qui pend librement sur l'étendoir ait un moment d'inertie de \(3,0\times 10^{-5}\N,\mathrm{kg\N,m^2}\N), une masse de \(9,0\N,\mathrm{g}\N) et que son centre de masse soit \N(3,6\N,\mathrm{cm}\N) éloigné du point de pivotement. La période de cette pince à linge est donc
\begin{align*}T_\text{clothespin}&=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=2\pi\sqrt{\frac{3.0\times 10^{-5}\,\mathrm{kg\,m}^2}{9.0\times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\times 9.8\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\times 3.6\times 10^{-2}\,\mathrm{m}}}\\&=0.61\,\mathrm{s}.\end{align*}
La fréquence angulaire de la pince à linge est donc de
\[\omega_\text{clothespin}=\frac{2\pi}{T_\text{clothespin}}=10\,\mathrm{\frac{rad}{s}}.\]
Pendules simples
Un pendule simple n'est qu'un cas particulier de pendule physique dans le sens où nous pouvons exprimer la distance entre le pivot et le centre de masse de la bobine comme \N(d=l\N) et nous pouvons exprimer le moment d'inertie de la bobine comme \N(I=ml^2\N). Cela signifie que pour de petits angles d'oscillation, nous avons
\[x=x_\text{max}\sin\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right),\]
La fréquence angulaire \(\oméga_\text{simple}\) du pendule simple est donc de
\[\omega_\text{simple}=\sqrt{\frac{g}{l}}\]
et la période \(T_\text{simple}\) du pendule simple est
\[T_\text{simple}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.\]
Pendules de torsion
Un pendule de torsion est différent dans le sens où nous mesurons le déplacement angulaire \(\theta\) de la bobine et non son déplacement translationnel \(x\). Pour des angles de rotation suffisamment petits (ce qui est tout en dessous d'un déplacement angulaire maximal d'environ \(270^\circ\)), nous avons l'équation différentielle suivante :
\[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{c}{I}\theta.\]
Note que ce moment d'inertie est maintenant autour d'un autre axe, à savoir autour de l'axe qui chevauche la corde.
La solution de cette équation différentielle est
\[\theta=\theta_\text{max}\sin\left(\sqrt{\frac{c}{I}}t\right).\]
Cela signifie que la fréquence angulaire \(\omega_\text{torsion}\) du mouvement harmonique simple du pendule de torsion est de
\[\omega_\text{torsion}=\sqrt{\frac{c}{I}}\]
et que la période \(T_\text{torsion}\) du pendule de torsion est
\[T=2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}.\]
La fréquence angulaire du mouvement harmonique simple du pendule de torsion ne doit pas être confondue avec la vitesse angulaire de la bobine elle-même ! Cette dernière varie avec le temps (et est égale à \(\tfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\)), alors que la première est constante et nous indique simplement dans quelle partie d'un cycle complet nous nous trouvons. La fréquence angulaire du pendule de torsion est simplement \(2\pi/T\), qui est effectivement constante.
Période des pendules
Pour résumer, la période \(T_\text{phys}\) d'un pendule physique est la suivante
\[T_\text{phys}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}},\]
la période \(T_\text{simple}\) d'un pendule simple est
\[T_\text{simple}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\]
et la période \(T_\text{torsion}\) d'un pendule de torsion est
\[T_\text{torsion}=2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}.\]
L'énergie mécanique des pendules
Comme les pendules sont des systèmes oscillants qui présentent un mouvement harmonique simple, nous pouvons tout simplement calculer l'énergie mécanique totale d'un pendule. Pour ce faire, nous considérons un moment où l'énergie potentielle est nulle : c'est toujours le cas à la position d'équilibre. Ainsi, l'énergie cinétique \(K\) à cet instant est égale à l'énergie mécanique totale du pendule.
L'énergie cinétique de la bobine du pendule de torsion est \(K=\frac{1}{2}I\omega^2\), où \(\omega\) est maintenant la vitesse angulaire de la bobine elle-même et non la fréquence angulaire du mouvement du pendule ! Ainsi ,
\[\omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\theta_\text{max}\sqrt{\frac{c}{I}}\cos\left(\sqrt{\frac{c}{I}}t\right).\]
A la position d'équilibre, la vitesse angulaire est maximale, donc
\[K_\text{eq}=\frac{1}{2}I\left(\theta_\text{max}\sqrt{\frac{c}{I}}\right)^2=\frac{1}{2}c\theta_\text{max}^2.\]
Nous constatons une fois de plus que toute l'énergie de ce pendule est stockée dans la corde : le moment d'inertie du bob n'a aucun effet sur l'énergie mécanique totale du pendule de torsion !
Pendule - Points clés
- Un pendule est un poids suspendu à un pivot afin qu'il puisse se balancer d'avant en arrière sous l'influence de la gravité.
- Un pendule physique est un objet étendu qui est suspendu à un point de pivot qui est déplacé du centre de masse, autour duquel l'objet est libre de tourner.
- Un pendule simple est un cas particulier de pendule physique qui se produit lorsque l'objet suspendu peut être modélisé comme une masse ponctuelle à une distance l du point de pivot.
- Pour de petites amplitudes de mouvement, la période d'un pendule physique est dérivée de l'application de la deuxième loi de Newton sous forme de rotation.
- La période d'un pendule est le temps qu'il faut au pendule pour effectuer un mouvement de va-et-vient complet.
Références
- Fig. 1 - Un pendule général, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Une pince à linge comme pendule physique, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Un pendule simple, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Un pendule à torsion, StudySmarter Originals.
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