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Force sur une particule chargée dans un champ uniforme
Pour comprendre le mouvement d'une particule chargée dans un champ uniforme, nous devons d'abord examiner comment un champ uniforme peut apparaître et la géométrie des lignes de champ. Comme nous l'avons vu, un champ uniforme est un champ dont l'intensité \(|E|\) ne varie pas d'un endroit à l'autre. Cela signifie que les lignes de champ d'un champ uniforme doivent toutes être parallèles et également espacées, comme le montre la figure ci-dessous.
Fig. 1 - Les lignes de champ d'un champ électrique uniforme sont parallèles et également espacées.
Un exemple courant d'un tel champ se trouve entre deux plaques parallèles chargées de manière opposée. Pour voir comment deux plaques parallèles peuvent produire un champ électrique uniforme, considère les plaques formées d'une rangée de charges ponctuelles. Le champ électrique autour d'une charge ponctuelle \(q\) est donné par la formule suivante
\[|E|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{r^2}\]
\(\epsilon_0\) est une constante physique connue comme la permittivité de l'espace libre, elle a une valeur de \(\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}\).
Cela signifie que les lignes de champ électrique autour d'une charge ponctuelle pointent radialement vers l'intérieur ou vers l'extérieur en fonction de la charge de la particule. Le champ électrique global d'une collection de charges ponctuelles est alors obtenu en additionnant toutes ces lignes de champ radiales. Dans le cas d'une rangée de charges ponctuelles à l'intérieur d'une plaque, toutes les composantes du champ qui pointent parallèlement à la plaque s'annulent, laissant un champ qui pointe perpendiculairement à la surface de la plaque. Cela donne lieu aux lignes de champ parallèles régulièrement espacées entre les deux plaques. L'intensité d'un champ électrique uniforme entre deux plaques ayant une charge uniforme par unité de surface \(\sigma=\frac{Q}{A}\) est définie comme suit
\[E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\]
Fig. 2 - Les composantes verticales des champs électriques des charges ponctuelles s'annulent toutes, de sorte qu'il ne reste que des lignes de champ horizontales parallèles.
Ce champ électrique \(E\) est produit parce qu'il existe une différence de potentiel \(V\) entre les deux plaques, en raison de l'accumulation de charges opposées sur chaque plaque. Cela s'exprime par l'équation suivante
\[E=\frac{V}{d}\]
où \(d\) est la distance entre les deux plaques.
Par convention, la différence de potentiel est mesurée à partir de la plaque positive, et augmente à mesure que tu te rapproches de la plaque négative. La différence de potentiel est donc parallèle au champ électrique, ce qui signifie que les isolignes de potentiel sont des surfaces perpendiculaires aux lignes du champ électrique et qu'il n'y a pas de composante du champ le long de ces isolignes. Comme le champ électrique est uniforme, ces isolignes sont régulièrement espacées car la variation de la différence de potentiel sur la distance reste constante.
Lesisolignes de potentiel sont des surfaces le long desquelles le potentiel électrique reste constant, un peu comme les courbes de niveau sur une carte où l'altitude reste constante .
Fig. 3 - Les isolignes de potentiel entre deux plaques parallèles sont représentées en violet. Aucun travail n'est effectué par le champ électrique lorsqu'une charge est déplacée le long de ces isolignes, qui sont donc perpendiculaires aux lignes de champ.
La force subie par une particule de charge \(q\) lorsqu'elle se déplace sur une distance \(\Delta r\) entre ces deux plaques est donnée par
\[F=q\frac{\Delta V}{\Delta r}\]
où \(\Delta V\) est le changement de potentiel sur une distance de \(\Delta r\). Notez que la force exercée sur une particule chargée dans un champ électrique peut également être donnée par\[\N- Début{alignement}F&=qE\N\NFlèche droite E&=\Nfrac{\NDelta V}{\NDelta r}\NFin{alignement}\N].
Comme \(E\) est une constante dans un champ uniforme, nous voyons que la force exercée sur une particule chargée dans un champ électrique uniforme est également une constante. Par exemple, un électron se déplaçant entre les plaques subit une force constante vers la plaque positive. Cette force agit toujours perpendiculairement à la surface des plaques, il n'y a jamais de force le long des isolignes de potentiel car s'il n'y a pas de changement de potentiel, il ne peut y avoir de force.
Calcule la force exercée sur un électron s'il se déplace entre deux plaques parallèles présentant une différence de potentiel de \(150,\mathrm{V}\) séparées par une distance de \(0,5,\mathrm{m}\).
Tout d'abord, nous devons trouver l'intensité du champ électrique entre les deux plaques.
\[E=\frac{V}{d}=\frac{150\,\mathrm{V}}{0.5\,\mathrm{m}}=300\,\mathrm{N}/\mathrm{C}\]
Pour trouver la force, il suffit de multiplier l'intensité du champ électrique par la charge d'un électron \(q_{\mathrm{e}}=-1.6\times10^{-19}\N,\mathrm{C}\N).
\[F=q_eE=-1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot300\,\mathrm{N}/\mathrm{C}=-4.8\times10^{-17}\,\mathrm{N}\]
Accélération d'une particule chargée dans un champ uniforme
La force exercée sur une particule chargée dans un champ uniforme étant établie, l'accélération d'une particule peut être facilement établie à partir de la deuxième loi de Newton.
\[\N-F=&ma\N\NFlèche droite \Nfrac{qV}{d}=&ma\N\NFlèche droite a=&\Nfrac{qV}{dm}\Nend{align}\N]
Comme la direction de l'accélération est parallèle à la force, nous constatons que les particules chargées accélèrent vers la plaque de charge opposée.
Quelle est l'accélération d'un proton se déplaçant dans un champ électrique uniforme produit par deux plaques parallèles ayant une différence de potentiel de \(120\N,\Nmathrm{V}\N) et séparées par \N(0.15\N,\Nmathrm{m}\N) ?
En utilisant l'équation donnée ci-dessus, la masse et la charge d'un proton [m_\mathrm{p}=1.67\times10^{-27}\N,\mathrm{kg},\N q_\mathrm{p}=1.6\times10^{-19}\N,\mathrm{C},\N], nous trouvons l'accélération suivante
\[a=\frac{1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot120\,\mathrm{V}}{0.15\,\mathrm{m}\cdot1.67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}}=7.6\times10^{10}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\]
Le mouvement d'une particule chargée dans un champ uniforme
Après avoir trouvé la force et l'accélération d'une particule chargée dans un champ uniforme, nous pouvons maintenant examiner comment ces forces affectent le mouvement d'une particule entre deux plaques parallèles. Le mouvement d'une particule chargée initialement immobile dans un champ uniforme est particulièrement simple, la particule sera accélérée vers la plaque de charge opposée en ligne droite le long d'une ligne de champ.
Fig. 4 - Si une particule positive est initialement immobile, elle sera accélérée par le champ uniforme et se déplacera vers la plaque négative le long d'une ligne de champ.
Considère maintenant le cas où une particule se déplace à vitesse constante entre les plaques, perpendiculairement à la direction du champ électrique. Cette fois, il y a deux composantes du mouvement, l'une parallèle à la surface de la plaque due à la vitesse initiale (notée \(x\)), et l'autre perpendiculaire à la surface de la plaque due à la force du champ électrique (notée \(y\)). Nous pouvons utiliser les équations cinématiques pour trouver le mouvement de la particule, avec \(x,v_0,a\) représentant le déplacement, la vitesse initiale et l'accélération le long de chaque composante,
\[\N-x=&v_{x0}t+\frac{1}{2}a_xt^2\N-y=&u_{y0}t+\frac{1}{2}a_yt^2\N- end{align}\N]
Si la particule a une vitesse initiale constante parallèle à la surface de la plaque, alors \(a_x=0\) et \(u_y=0\). En utilisant l'équation de l'accélération que nous avons trouvée dans la section précédente, nous trouvons que
\[\N-x=&v_{x0}t\N-y=&\Nfrac{1}{2}\Nfrac{qV}{dm}t^2\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-]
Comme \(v_{x0}\) et \(\frac{1}{2}\frac{qV}{dm}\) sont tous deux constants, nous constatons que \[y\propto x^2\], ce qui démontre qu'une particule chargée suivra une trajectoire parabolique à travers un champ électrique uniforme. Cela ressemble beaucoup au cas d'une balle lancée horizontalement, où la force de gravité l'attire vers la terre, ce qui fait que la balle suit une trajectoire parabolique. Une telle trajectoire se produit toujours lorsqu'un objet subit une force constante perpendiculaire à sa vitesse constante.
Fig. 5 - Une particule chargée positivement se déplaçant à vitesse constante dans un champ électrique uniforme suivra une trajectoire parabolique comme indiqué en violet.
Énergie cinétique d'une particule chargée dans un champ uniforme
L'énergie cinétique d'une particule chargée dans un champ uniforme peut être calculée de plusieurs façons. Nous pourrions utiliser les équations cinématiques et l'expression de l'accélération de la particule dans le champ pour trouver sa vitesse, à partir de laquelle l'énergie cinétique peut être facilement trouvée. Cependant, il est beaucoup plus simple de trouver l'énergie cinétique de la particule en appliquant le théorème de l'énergie de travail.
Ce théorème stipule que le travail net effectué par le champ électrique sur la particule est égal à la variation de l'énergie cinétique de la particule.
\[W_{\mathrm{net}}=\Delta K\]
Le travail effectué par un champ électrique uniforme pour déplacer une particule de charge \(q\N) de la position \N(\Nmathrm{A}\N) à la position \N(\Nmathrm{B}\N) peut être trouvé en multipliant la charge par le changement de potentiel entre ces deux positions.\N[W_{mathrm{AB}}=q\NDelta V_{mathrm{AB}}\N]
Cela signifie que le changement d'énergie cinétique d'une particule dans un champ uniforme lorsqu'elle se déplace de \(A\) à \(B\) est donné par\[\Delta K_{\mathrm{AB}}=q\Delta V_{\mathrm{AB}}\].
Mouvement d'une particule chargée dans un champ uniforme : Problèmes
Jetons un coup d'œil à quelques problèmes pratiques.
Q: Considérons deux plaques parallèles distantes de \(0,6\,\mathrm{m}\). Quelle devrait être la tension entre les deux plaques parallèles pour qu'un électron subisse une force de \(500,\mathrm{N}\) ?
R: Réorganise d'abord l'équation de la force exercée sur une particule chargée dans un champ uniforme afin de trouver une expression pour la tension.\[\N- Début{alignement}F=&q_\mathrm{e}\frac{V}{d}\\N-\NFlèche droite V=&\frac{Fd}{q_\mathrm{e}}\NFin{alignement}\N]. En branchant les valeurs de la question, on obtient la tension suivante :[V=\frac{500\N,\mathrm{N}\cdot0.6\N,\mathrm{m}}{-1.6\times10^{-19}\N,\mathrm{C}}=-1.88\times10^{21}\N,\mathrm{V}\N].
Q : Deux plaques parallèles distantes de \(0,3\\N,\Nmathrm{m}\N) produisent un champ électrique uniforme de magnitude \N(300\N,\Nmathrm{N}\N,\Nmathrm{C}^{-1}\N). Si un proton commence au repos sur la plaque positive et est accéléré vers la plaque positive, quelle sera son énergie cinétique juste avant qu'il n'atteigne la plaque positive ?
R : Le théorème travail-énergie cinétique dit que le travail effectué par le champ électrique est égal à la valeur négative du changement d'énergie cinétique de la particule. \[W_{\text{champ}}=-\Delta K_{\text{particule}}\] Nous devonsdonc d'abord calculer le travail effectué sur le champ pour accélérer la particule, car il sera égal à l'énergie cinétique finale de la particule si elle commence au repos. Le travail effectué par un champ électrique uniforme, en déplaçant la particule d'une plaque à l'autre, est équivalent au négatif de la différence de potentiel multiplié par la charge de la particule.\[W=-q_\mathrm{e}V\]Si nous choisissons la plaque négative pour avoir un potentiel nul, alors la différence de potentiel sera positive car un travail négatif est effectué pour déplacer la particule positive vers la plaque négative.
Nous pouvons trouver la différence de potentiel entre les deux plaques à partir de la définition d'un champ électrique uniforme\[\N- Début{alignement}E&=\frac{V}{d}\\N-\NFlèche droite V&=Ed\N-&=300,\Nmathrm{N}\N,\Nmathrm{C}^{-1}\Ncdot0.3\N-&=90\N-\NFlèche droite W&=-1.6\N-times10^{-19}\N-\N- \NMathrm{C}\Ncdot 90\N-&=-14.4\N-times10^{-18}\N- \NMathrm{J}\Nend{align}\N]
Par conséquent, en utilisant le théorème de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique finale est\[\N-\NDelta K&=K_\mathrm{f}-K_\mathrm{i}\N-&=K_\mathrm{f}=-W=14.4\Nfois10^{-18}\N,\Nmathrm{J}\Nend{align}\N].
Q : Considérons un proton se déplaçant directement au milieu de deux plaques parallèles, parallèlement à leurs surfaces. Les plaques sont distantes de \(1\mathrm{m}\) avec une différence de potentiel de \(0.01\,\mathrm{V}\) entre elles. Si chaque plaque a une longueur de \(0,5\Nmathrm{m}\N), à quelle vitesse le proton doit-il se déplacer initialement pour s'assurer qu'il passe de l'autre côté des plaques sans être d'abord attiré en contact avec la plaque négative ?
R : Pour résoudre ce problème, nous devons diviser le mouvement de la particule en deux composantes. Une composante \(x\) est parallèle à la surface de la plaque, et l'autre \(y\) est perpendiculaire à la surface de la plaque. Nous trouvons ensuite le temps qu'il faudra à la particule pour tomber de \(0,5\N,\Nmathrm{m}\Ndans la direction \N(y\N). En utilisant ce temps, nous pouvons ensuite déterminer la vitesse à laquelle l'article doit se déplacer dans la direction \N(x) afin de franchir la longueur \N(0,5\N,\Nmathrm{m}\N) des plaques.Cela nécessite l'équation cinématique suivante\[x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\]où \(x\) est le déplacement de la particule, \(v_0\) est la vitesse initiale, et \(a\) est l'accélération de la particule.Applique d'abord l'équation à la direction \(y\), en notant qu'il n'y a pas de vitesse initiale dans cette direction.\N- [\N- Début{alignement}y&=\frac{1}{2}at^2\N-\NFlèche droite t&].=\sqrt{\frac{2y}{a}}\end{align}\]Nous savons que l'accélération due au champ électrique est donnée par\\N-[\Begin{align}a=&\frac{q_\mathrm{e}V}{dm}\N-[\Begin{align}a=&\frac{1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot0.01\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{m}\cdot1.67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}}\\ xml-ph-0000@deepl.internal =&0.95\time10^{6},\mathrm{m}\\N- \Nmathrm{s}^{-2}\end{align}\N]Le temps nécessaire avant que le proton ne soit attiré vers la plaque est donc\N[\N- Début{align}t&=\sqrt{\frac{2y}{a}}=\sqrt{\frac{2\N- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \cdot0.5\,\mathrm{m}}{0.95\times10^{6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\sqrt{0.95\times10^{-6}\,\mathrm{s}}=0.97\times10^{-3}\\N,\Nmathrm{s}\Nend{align}\N]En examinant maintenant la même équation cinématique dans la composante \N(x\N), en notant qu'il n'y a pas d'accélération dans cette direction, nous pouvons introduire le temps trouvé ci-dessus pour obtenir la vitesse minimale requise pour que la particule puisse franchir la longueur des plaques.\N- [\N-x&=v_{x0}t\N-\N-flèche droite v_0&=\Nfrac{x}{t}\N-&=frac{1\N,\Nmathrm{m}}{0.97\Nfois10^{-3}\Nmathrm{s}}\N-&=0.97\Nfois10^{3}\Nmathrm{m}\Nmathrm{s}^{-1}\N- [\N-]\N- [\N-]Particule dans un champ électrique uniforme - Principaux enseignements
- Les champs électriques uniformes sont des champs électriques dont l'intensité est la même partout à l'intérieur du champ.
- Les champs électriques uniformes apparaissent entre des plaques parallèles chargées de façon opposée, dont la géométrie garantit que les lignes de champ sont parallèles et régulièrement espacées.
- L'intensité d'un champ électrique uniforme est donnée par\[E=\frac{V}{d},\]où \(V\) est la différence de potentiel entre les plaques parallèles et \(d\) est la distance qui les sépare.
- Nous pouvons utiliser les équations cinématiques pour analyser le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme, alors qu'elle subit une accélération constante.
- La variation de l'énergie cinétique d'une particule chargée qui se déplace entre deux points \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) est égale au travail effectué par le champ électrique sur la particule, donné par\[\Delta K=W_{mathrm{AB}}=q\Delta V_{mathrm{AB}}\].
Références
- Fig. 1 - Champ électrique uniforme, StudySmarter Originals
- Fig. 2 - Champ uniforme avec des particules ponctuelles, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Champ électrique uniforme avec des isolignes, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Particule positive dans un champ uniforme, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Mouvement parabolique d'une charge dans un champ uniforme, StudySmarter Originals.
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