Oscillations

Période et fréquence des oscillations

La fréquence est définie comme l'inverse de la période. Par exemple, une grande période implique une petite fréquence.

$$f=\frac1T$$

Où \ (f\) est la fréquence en hertz, \(\mathrm{Hz}\), et \(T\) est la période en secondes, \ (\mathrm{s}\).

La période est le temps nécessaire pour effectuer un cycle d'oscillation. La période d'un cycle d'oscillation est liée à lafréquence angulaire du mouvement de l'objet. L'expression de la fréquence angulaire dépend du type d'objet qui oscille. L'équation qui relie la fréquence angulaire désignée par \(\omega\) à la fréquence désignée par \(f\) est la suivante

$$\omega=2\pi f.$$

En substituant \(\dfrac{1}{f}\) à \(T\) et en réarrangeant pour \(T\), on obtient

$$T=\frac{2\pi}\omega.$$

Où \ (\oméga\) est la fréquence angulaire en radians par seconde, \(\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}\). Si l'on y réfléchit bien, cette expression est logique, car un objet ayant une grande fréquence angulaire mettra beaucoup moins de temps à effectuer un cycle d'oscillation complet.

Oscillateurs harmoniques

Une oscillation harmonique est un type d'oscillation dans lequel la force nette agissant sur le système est une force de rappel. Uneforce de rappel est une force qui agit contre le déplacement afin d'essayer de ramener le système à l'équilibre. Un exemple de cette force est la loi de Hooke, qui se traduit par

$$F_s=ma_x=-k\Delta x,$$

où \( m\) est la masse de l'objet à l'extrémité du ressort en kilogrammes, \ (\mathrm{kg}\), \ (a_x\) est l'accélération de l'objet sur l'axe \(\text{axe x}\) en mètres par seconde au carré, \(\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\), \( k\) est la constante du ressort qui mesure la rigidité du ressort en newtons par mètre, \ (\frac{\mathrm{N}}{\mathrm m}\), et \(\Delta x\) est le déplacement en mètres, \ (\mathrm{m}\).

S'il s'agit de la seule force agissant sur le système, on parle d'oscillateur harmonique simple. C'est l'un des cas les plus simples, comme son nom l'indique.

La plupart des oscillations se produisent dans l'air ou dans d'autres milieux, où il existe un certain type de force proportionnelle à la vitesse du système, comme la résistance de l'air ou les forces de frottement. Ces forces peuvent agir comme des forces d'amortissement. L'équation de la force d'amortissement est la suivante

$$F_{damping}=-cv, $$$

où \(c\) est une constante d'amortissement en kilogrammes par seconde, \ (\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s}\), et \(v\) est la vitesse en mètres par seconde, \ (\frac{\mathrm{m}}{\mathrm s}\).

Par conséquent, une partie de l'énergie du système est dissipée pour surmonter cette force d'amortissement, de sorte que l'amplitude de l'oscillation commencera à diminuer lorsqu'elle atteindra zéro. Ces types d'oscillateurs harmoniques sont appelés oscillateurs amortis . Nous pouvons écrire la deuxième loi de Newton dans le cas où une force de rappel et une force d'amortissement agissent sur le système,

$$ma=-cv-kx.$$.

En écrivant l'expression ci-dessus sous forme d'équation différentielle, nous obtenons

$$m\frac{\operatorname d^2x}{\operatorname dt^2}+c\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+kx=0.$$

La solution de l'équation ci-dessus est une fonction exponentielle. Le terme d'amortissement dissipera exponentiellement les oscillations jusqu'à ce que le système se désintègre.

\N-[x=A_0e^{-\gamma t}\cos\left(wt+\phi\right),\N] où \N(\gamma=\frac c{2m}\N)

$$x=A_0e^{-\frac c{2m}t}\cos\left(wt+\phi\right)$$

Nous pouvons prouver qu'il s'agit d'une solution en la différenciant et en la substituant à l'équation différentielle :

$$\begin{array}{rcl}\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}&=&-A_0\omega e^{-\frac c{2m}t}\sin(\omega t+\phi)\ ;-A_0\frac c{2m}e^{-\frac c{2m}t}\cos(\omega t+\phi)\\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}&.=&begin{array}{c}-A_0\omega^2e^{-\frac c{2m}t}\cos(\omega t+\phi)\;+A_0\omega\frac cme^{-\frac c{2m}t}\sin(\omega t+\phi)\ ;+A_0\frac{c^2}{4m^2}e^{-\frac c{2m}t}\cos(\omega t+\phi)\end{array}\end{array}.$$

Nous pouvons maintenant revenir à l'équation différentielle et prouver que nous avons trouvé une solution.

$$m\frac{\operatorname d^2x}{\operatorname dt^2}+c\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+kx=0$$$.

$$\begin{array}{rcl}\frac{A_0c^2e^{\displaystyle\frac{-bt}{2m}}\cos\left(\omega t+\phi\right)}{4m}+\cancel{A_0c\omega e^\frac{-bt}{2m}\sin\left(\omega t+\phi\right)}\;-A_0\omega^2me^\frac{-bt}{2m}\cos\left(\omega t+\phi\right)\;-\frac{A_0c^2e^{\displaystyle\frac{-bt}{2m}}\cos\left(\omega t+\phi\right)}{2m}&-\cancel{A_0c\omega e^\frac{-bt}{2m}\sin\left(\omega t+\phi\right)}+A_0ke^\frac{-bt}{2m}\cos\left(\omega t+\phi\right)=&0\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}-\frac{\cancel{A_0}c^2\cancel{e^{\displaystyle\frac{-bt}{2m}}\cos\left(\omega t+\phi\right)}}{4m}-\cancel{A_0}\omega^2m\cancel{e^\frac{-bt}{2m}\cos\left(\omega t+\phi\right)}\;+\;\cancel{A_0}k\cancel{e^\frac{-bt}{2m}\cos\left(\omega t+\phi\right)}&=&0\end{array}$$

$$-\frac{c^2}{4m^2}-\omega^2+\frac km=0$$

$$\omega=\sqrt{\frac km-\frac{c^2}{4m^2}}.$$

Les oscillateurs amortis dont les oscillations et l'amplitude diminuent avec le temps sont appelés oscillateurs sous-amortis. Tandis que ceux qui n'oscillent pas et décroissent immédiatement jusqu'à la position d'équilibre sont appelés oscillateurs sur-amortis. La limite entre le sous-amortissement et le sur-amortissement est appelée amortissement critique. Pour confirmer que l'oscillateur amorti subit un amortissement critique, nous vérifions que le coefficient d'amortissement \(\gamma\) est égal à la fréquence angulaire naturelle du système \(\omega_0\). Le coefficient d'amortissement \(\gamma\) peut être déterminé à l'aide de l'équation suivante :

$$\gamma=\frac c{2m},$$

où \(c\) est une constante d'amortissement mesurée en unités de kilogrammes par seconde, \(\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s}\), et \ (m\) est la masse du système en kilogrammes, \ (\mathrm{m}\).

La fréquence angulaire de l'oscillateur amorti peut être définie en fonction du coefficient d'amortissement et de la fréquence angulaire naturelle.

$$\begin{array}{rcl}\omega&=&\sqrt{\frac km-\frac{c^2}{2m}}\\\omega&=&\sqrt{\omega_0-\gamma}\end{array}$$

Ces 3 cas peuvent être résumés comme suit :

• Underdamping: ______________________________________________________________________________.
• Critical damping: ____ __________________________________________________________________________.
• Overdamping: ____ __________________________________________________________________________.

Il existe également un autre type d'oscillateur appelé oscillateurs forcés. Dans ceux-ci, les oscillations sont provoquées par une force extérieure qui est une force périodique. Si la fréquence de cette force est égale à la fréquence naturelle du système, cela provoque un pic dans l'amplitude de l'oscillation. La fréquence naturelle est la fréquence à laquelle un objet oscille lorsqu'il est déplacé hors de l'équilibre.

Oscillations dans un système masse-ressort

Nous allons considérer le cas le plus simple de mouvement harmonique simple pour comprendre les oscillations dans un système ressort-masse. Pour un ressort, nous connaissons déjà l'équation de la deuxième loi de Newton :

$$F_s=ma_x=-k\Delta x.$$

En réarrangeant pour l'accélération, nous obtenons

$$a_x=-\frac km\Delta x.$$

En comparant l'équation d'un ressort avec l'équation générale du mouvement harmonique \(a=-\omega_0^2x\), nous pouvons déduire la fréquence angulaire \(\omega\) d'un ressort, qui est donnée par l'équation suivante

$$\oméga_0^2=\frac km,$$

exprimée plus explicitement par

$$\oméga_0=\sqrt{\frac km}.$$

Où \( m\) est la masse de l'objet à l'extrémité du ressort en kilogrammes, \(\mathrm{kg}\), et \ (k\) est la constante du ressort qui mesure la rigidité du ressort en newtons par mètre, \(\frac{\mathrm N}{\mathrm m}\).

La formule de la période de temps d'un système masse-ressort oscillant est la suivante

$$T_s=2\pi\sqrt{\frac mk}.$$

Représentation graphique des oscillations

Si nous traçons le déplacement en fonction du temps pour un objet soumis à un mouvement harmonique simple, nous identifierons la période comme étant le temps entre deux pics consécutifs ou deux points analogues sur deux ondes ayant la même phase. Pour localiser l'amplitude, nous regardons le pic le plus élevé en distance.

Nous pouvons également représenter graphiquement le déplacement en fonction du temps pour les oscillateurs amortis, afin de comprendre et de comparer visuellement leurs caractéristiques. L'amortissement critique fournit le moyen le plus rapide pour que l'amplitude atteigne zéro. Le suramortissementte permet d'atteindre plus rapidement la position zéro, mais des oscillations décroissantes se produisent toujours. Les oscillations sous-amortiesprennent plus de temps pour atteindre une amplitude nulle.