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Fig. 1 - Un ouragan illustrant le mouvement de rotation.
Définition du mouvement de rotation
Ci-dessous, nous allons définir le mouvement de rotation et discuter de la façon dont il est divisé en différents types.
Lemouvement de rotation est défini comme un type de mouvement associé à des objets qui se déplacent sur une trajectoire circulaire.
Types de mouvements rotatifs
Les mouvements de rotation peuvent être divisés en trois types.
- Mouvement autour d'un axe fixe: Est également connu sous le nom de rotation pure et décrit la rotation d'un objet autour d'un point fixe. Quelques exemples sont la rotation des pales d'un ventilateur ou la rotation des aiguilles d'une horloge analogique qui tournent toutes deux autour d'un point fixe central.
- Une combinaison de mouvements de rotation et de translation. Ce mouvement décrit un objet dont les composants peuvent tourner autour d'un point fixe, tandis que l'objet lui-même se déplace le long d'une trajectoire linéaire. Un exemple est le roulement des roues d'une voiture. Les roues ont deux vitesses, l'une résultant de la rotation de la roue et l'autre due au mouvement de translation de la voiture.
- Rotation autour d'un axe de rotation. Ce mouvement décrit les objets qui tournent autour d'un axe tout en tournant autour d'un autre objet. Un exemple est la Terre qui tourne autour du soleil tout en tournant autour de son propre axe.
Physique du mouvement de rotation
La physique qui sous-tend le mouvement de rotation est décrite par un concept connu sous le nom de cinématique. La cinématique est un domaine de la physique qui se concentre sur le mouvement d'un objet sans faire référence aux forces qui causent le mouvement. La cinématique se concentre sur des variables telles que l'accélération, la vitesse, le déplacement et le temps, qui peuvent être écrites en termes de mouvement linéaire ou rotatif. Lorsque l'on étudie les mouvements de rotation, on utilise le concept de cinématique de rotation. La cinématique de rotation fait référence au mouvement de rotation et traite de la relation entre les variables du mouvement de rotation.
La vitesse, l'accélération et le déplacement sont des grandeurs vectorielles, c'est-à-dire qu'elles ont une magnitude et une direction.
Variables du mouvement de rotation
Les variables du mouvement de rotation sont
- la vitesse angulaire
- l'accélération angulaire
- le déplacement angulaire
- le temps
Vitesse angulaire, \(\noméga\)
La vitesse angulaire est la variation de l'angle par rapport au temps. La formule correspondante est $$ \omega = \frac{\theta}{t}$$ où la vitesse angulaire est mesurée en radians par seconde, \(\mathrm{\frac{rad}{s}}\).
La dérivée de cette équation donne l'équation suivante
$$\omega = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t},$$
qui est la définition de la vitesse angulaire instantanée.
Accélération angulaire , \(\alpha\)
L'accélération angulaire est la variation de la vitesse angulaire par rapport au temps. La formule correspondante est $$ \alpha = \frac{\omega}{t} $$ où l'accélération angulaire est mesurée en radians par seconde au carré, \(\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\).
La dérivée de cette équation donne l'équation suivante
$$\alpha = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t},$$
qui est la définition de l'accélération angulaire instantanée.
Déplacement angulaire, \(\theta\)
Le déplacement angulaire est le produit de la vitesse angulaire et du temps. La formule correspondante est $$ \theta = \omega t $$ où le déplacement angulaire est mesuré en radians, \(\mathrm{rad}\).
Le temps, \(t\)
Le temps est le temps. $$ \mathrm{time} = t $$ où le temps est mesuré en secondes, \(s\N).
Relation entre la cinématique de rotation et la cinématique linéaire
Avant de plonger plus profondément dans la cinématique de rotation, nous devons nous assurer de reconnaître et de comprendre la relation entre les variables cinématiques. On peut s'en rendre compte en examinant les variables dans le tableau ci-dessous.
| Variable | Linéaire | Linéaire Unités SI | Angulaire | Angulaire Unités SI | Relation |
| accélération | $$a$$ | $$\frac{m}{s^2}}$$ | $$\alpha$$ | $$\mathrm{\frac{rad}{s^2}}$$ | $$\begin{aligned}a &= \alpha r \\\alpha &= \frac{a}{r}\end{aligned}$$ |
| vitesse | $$v$$ | $$\frac{m}{s}$$ | \(\oméga\) | $$\mathrm{\frac{rad}{s}}$$ | $$\begin{aligned}v &= \omega r \\\omega &= \frac{v}{r}\end{aligned}$$ |
| déplacement | $$x$$ | $$m$$ | \(\theta\) | $$\mathrm{rad}$$$ | $$\begin{aligned}x &= \theta r \\\theta &= \frac{x}{r}\end{aligned}$$ |
| temps | $$t$$ | $$s$$ | \(t\) | $$\mathrm{s}$$$ | $$t = t$$ |
Note que \(r\) représente le rayon et que le temps est le même dans les mouvements linéaires et angulaires.
Par conséquent, les équations cinématiques du mouvement peuvent être écrites en termes de mouvement linéaire et de mouvement de rotation. Cependant, il est important de comprendre que même si les équations sont écrites en termes de variables différentes, elles sont de la même forme parce que le mouvement de rotation est la contrepartie équivalente du mouvement linéaire.
N'oublie pas que ces équations cinématiques ne s'appliquent que lorsque l'accélération, pour les mouvements linéaires, et l'accélération angulaire, pour les mouvements de rotation, sont constantes.
Formules pour les mouvements de rotation
La relation entre le mouvement de rotation et les variables du mouvement de rotation est exprimée par trois équations cinématiques, auxquelles il manque chacune une variable cinématique.
$$\omega=\omega_{o} + \alpha{t}$$.
$$\Delta{\theta} =\omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t$$
$$\omega^2={\omega_{o}}^2 +2{\alpha}\Delta{\theta}$$
où \(\oméga\) est l'accélération angulaire finale, \(\oméga_0\) est la vitesse angulaire initiale, \(\alpha\) est l'accélération angulaire, \(t\) est le temps, et \( \Delta{\theta} \) est le déplacement angulaire.
Ces équations cinématiques ne s'appliquent que lorsque l'accélération angulaire est constante.
Cinématique de rotation et dynamique de rotation
Comme nous avons abordé la cinématique de rotation, il est également important que nous parlions de la dynamique de rotation. La dynamique de rotation traite du mouvement d'un objet et des forces qui provoquent la rotation de l'objet. Dans le cas d'un mouvement de rotation, nous savons que cette force est un couple.
Deuxième loi de Newton pour le mouvement de rotation
Tu trouveras ci-dessous la définition du couple et la formule mathématique correspondante.
Couple
Pour formuler la deuxième loi de Newton en termes de mouvement de rotation, nous devons d'abord définir le couple.
Lecouple est représenté par \(\tau\) et est défini comme la quantité de force appliquée à un objet qui le fera tourner autour d'un axe.
L'équation du couple peut être écrite sous la même forme que la deuxième loi de Newton, \(F=ma\), et s'exprime comme $$\tau = I \alpha$$$.
où \(I\) est le moment d'inertie et \(\alpha\) l'accélération angulaire. Le couple peut être exprimé de cette façon car c'est l'équivalent rotationnel de la force.
Note que le moment d'inertie est la mesure de la résistance d'un objet à l'accélération angulaire. Les formules concernant le moment d'inertie d'un objet varient en fonction de la forme de l'objet.
Cependant, lorsque le système est au repos, on dit qu'il est en équilibre de rotation. L'équilibre de rotation est défini comme un état dans lequel ni l'état de mouvement d'un système ni son état d'énergie interne ne changent en fonction du temps. Par conséquent, pour qu'un système soit en équilibre, la somme de toutes les forces agissant sur le système doit être nulle. Dans un mouvement de rotation, cela signifie que la somme de tous les couples agissant sur un système doit être égale à zéro.
$$ \sum \tau = 0 $$
La somme de tous les couples agissant sur un système peut être nulle si les couples agissent dans des directions opposées et s'annulent donc.
Couple et accélération angulaire
La relation entre l'accélération angulaire et le couple est exprimée lorsque l'équation \( \tau={I}\alpha \) est réarrangée pour résoudre l'accélération angulaire. L'équation devient alors \( \alpha=\frac{\tau}{I} \). Ainsi, nous pouvons déterminer que l'accélération angulaire est proportionnelle au couple et inversement proportionnelle au moment d'inertie.
Exemples de mouvements de rotation
Pour résoudre les exemples de mouvement de rotation, les cinq équations cinématiques de rotation peuvent être utilisées. Comme nous avons défini le mouvement de rotation et discuté de sa relation avec la cinématique et le mouvement linéaire, travaillons sur quelques exemples pour mieux comprendre le mouvement de rotation. Note qu'avant de résoudre un problème, nous devons toujours nous rappeler ces étapes simples :
- Lis le problème et identifie toutes les variables données dans le problème.
- Détermine ce que le problème demande et quelles formules sont nécessaires.
- Applique les formules nécessaires et résous le problème.
- Fais un dessin si nécessaire pour fournir une aide visuelle.
Exemple 1
Appliquons les équations de la cinématique de rotation à une toupie.
Une toupie, initialement au repos, est mise en rotation et se déplace avec une vitesse angulaire de \(3,5\\N,\Nmathrm{\Nfrac{rad}{s}}\N). Calcule l'accélération angulaire de la toupie après \(1,5\,\mathrm{s}\).
Fig. 2 - Une toupie démontrant un mouvement de rotation.
D'après le problème, on nous donne les données suivantes :
- vitesse initiale
- vitesse finale
- temps
Par conséquent, nous pouvons identifier et utiliser l'équation, ,\( \omega=\omega_{o} + \alpha{t} \) pour résoudre ce problème. Nos calculs sont donc :
$$\begin{aligned}\omega &= \omega_{o} + \alpha{t} \\N-\Nomega-\Nomega_{o} &= \Nalpha{t} \N-\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{o}}{t} \N-\Nalpha &= \Nfrac{3.5\N,\Nfrac{rad}{s}- 0}{1.5\N,s} \N-\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-\N-{end{aligned}$$
L'accélération angulaire du sommet est \N(2,33\N,\Nmathrm{\Nfrac{rad}{s^2}}\N).
Exemple 2
Ensuite, nous allons faire la même chose pour une tornade.
Quelle est l'accélération angulaire d'une tornade, initialement au repos, si sa vitesse angulaire est donnée comme étant \(95\,\mathrm{\frac{rad}{s}}\) après \(7.5\,\mathrm{s}\) ? Quel est le déplacement angulaire de la tornade ?
Fig. 3 - Une tornade démontrant un mouvement de rotation.
D'après le problème, on nous donne les informations suivantes :
- vitesse initiale
- vitesse finale
- le temps
Par conséquent, nous pouvons identifier et utiliser l'équation, \( \omega=\omega_{o}+\alpha{t} \), pour résoudre la première partie de ce problème. Nos calculs sont donc les suivants :\begin{align}\omega &= \omega_{o} + \alpha{t} \\N-\Nomega-\Nomega_{o} &= \Nalpha{t} \N-\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{o}}{t} \N-\Nalpha &= \Nfrac{95\N,\Nmathrm{\Nfrac{rad}{s}} - 0}{7,5\Nmathrm{s}} \\N-\Nalpha &= 12.67\N- \Nmathrm{\Nfrac{rad}{s^2}}\Nend{align}
Maintenant, en utilisant cette valeur d'accélération angulaire calculée et l'équation, \( \Delta{\theta}=\omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t \), nous pouvons calculer le déplacement angulaire de la tornade comme suit :\\Delta{\theta} &= \omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t \N\Delta{\theta} &= \left(0\right) \left(7.5\N,\Nmathrm{s}\Ndroite) + \frac{1}{2}\Ngauche(12.67\N,\Nmathrm{\Nfrac{rad}{s^2}}\Ndroite)\Ngauche({7.5\N,\Nmathrm{s}\Ndroite)^2 \N\NDelta{\Ntheta} &= \frac{1}{2}\Ngauche(12.67,\mathrm{\frac{rad}{s^2}} \ndroite) ({7,5\mathrm{s}})^2 \n\nDelta{\theta} &= 356,3\nmathrm{rad}\nend{align}
Le déplacement angulaire de la tornade est \(356,3\\N,\Nmathrm{rad}\N).
Exemple 3
Pour notre dernier exemple, nous allons appliquer l'équation du couple à un objet en rotation.
Un objet, dont le moment d'inertie est \N32,\Nmathrm{\Nfrac{kg}{m^2}} \N tourne avec une accélération angulaire de \N6,8\Nmathrm{\Nfrac{rad}{s^2} \N. Calcule le couple nécessaire pour que cet objet tourne autour d'un axe.
Après avoir lu le problème, on nous donne :
- l'accélération angulaire
- le moment d'inertie
Par conséquent, en appliquant l'équation du couple exprimée sous la forme de la deuxième loi de Newton, nos calculs seront les suivants :\begin{align}\tau &= {I}\alpha \\N-\tau &= \left(32\N,\mathrm{\Nfrac{kg}{m^2}}}right)\left(6.8,\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\Ndroite) \\N\tau &= 217.6,\mathrm{N\N,m}\Nend{align}
Le couple nécessaire pour faire tourner l'objet autour d'un axe est \N( 217,6\N,\Nmathrm{N\N,m} \N).
Mouvement de rotation - Points clés
- Mouvement de rotation est défini comme un type de mouvement associé à des objets qui se déplacent sur une trajectoire circulaire.
- Les types de mouvement de rotation comprennent le mouvement autour d'un axe fixe, le mouvement autour d'un axe en rotation et une combinaison de mouvement de rotation et de mouvement de translation.
- La cinématique de rotation fait référence au mouvement de rotation et traite de la relation entre les variables du mouvement de rotation.
- Les variables du mouvement de rotation comprennent l'accélération angulaire, la vitesse angulaire, le déplacement angulaire et le temps.
- Les variables du mouvement de rotation et les équations cinématiques de rotation peuvent être écrites en termes de mouvement linéaire.
- Le mouvement de rotation est la contrepartie équivalente du mouvement linéaire.
- La dynamique de rotation traite du mouvement d'un objet et des forces qui provoquent la rotation de l'objet, c'est-à-dire le couple.
- Le couple est défini comme la quantité de force appliquée à un objet qui le fera tourner autour d'un axe et peut être écrit en termes de deuxième loi de Newton.
- Lorsque la somme de tous les couples agissant sur un système est égale à zéro, on dit que le système est en équilibre rotatif.
Références
- Fig. 1 - Œil de l'orage vu de l'espace (https://www.pexels.com/photo/eye-of-the-storm-image-from-outer-space-71116/) par pixabay (https://www.pexels.com/@pixabay/) domaine public
- Fig. 2 - Vase en céramique à rayures multicolores (https://www.pexels.com/photo/multi-color-striped-ceramic-vase-972511/) par Markus Spiske (https://www.pexels.com/@markusspiske/) domaine public
- Fig. 3 - Tornade sur un plan d'eau à l'heure dorée (https://www.pexels.com/photo/tornado-on-body-of-water-during-golden-hour-1119974/) par Johannes Plenio (https://www.pexels.com/@jplenio/) domaine public
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