Caractéristiques du mouvement harmonique simple
- Le temps nécessaire pour atteindre le même point de déplacement maximal est toujours le même.
- L' achèvement de ce mouvement des deux côtés est appelé un cycle complet .
- Le temps qu'ilfaut pour qu'un cycle complet s'écoule est appelé période T.
- Par conséquent, le mouvement harmonique simple est supposé être une oscillation périodique.
Pendant le SHM, une force appelée force de rappel est créée en raison de l'accélération du corps qui entraîne son oscillation. Cette force est proportionnelle au déplacement mais a une direction opposée, ce qui fait que l'objet revient à la position d'équilibre, comme on le voit ici.
On peut supposer qu'un objet oscille selon un mouvement harmonique simple si les conditions suivantes sont remplies :
Les oscillations sont périodiques. Cela signifie que l'objet revient à sa position initiale au même intervalle de temps pour chaque cycle.
L'accélération de l'objet oscillant dans un mouvement harmonique simple est proportionnelle à son déplacement mais a une direction opposée. (Consulte la rubrique Mouvement périodique pour plus d'informations).
Voici quelques exemples de mouvements harmoniques périodiques.
Une chaise à bascule qui se déplace d'avant en arrière en revenant à sa position initiale à intervalles de temps égaux.
Une masse sur un ressort qui oscille autour de la position d'équilibre à intervalles de temps égaux.
Un ressort qui oscille longitudinalement à intervalles de temps égaux.
Qu'est-ce que la loi de Hooke et quel est son rapport avec le mouvement harmonique simple ?
Si une masse est attachée à un ressort puis déplacée de sa position initiale de repos, elle oscillera autour de la position initiale dans un mouvement harmonique simple.
La loi de Hooke stipule que la force de rappel nécessaire pour étendre ou comprimer le ressort d'une distance x à partir de sa position initiale est proportionnelle à la constante du ressort k, qui est une caractéristique de la rigidité du ressort, comme indiqué ci-dessous où F est la force, k est la constante et x est le déplacement. Le signe négatif de la formule ci-dessous indique que la force a une direction négative par rapport au déplacement. La période d'un ressort oscillant peut également être déterminée à l'aide de l'équation ci-dessous où T est la période et m la masse du ressort.
\[\N-texte{Loi de Hooke : } F[N] = -k[N/m] \cdot [m] \qquad \text{deuxième loi de Newton : } F[N] = m[kg] A[m/s^2] \qquad T [s] = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]
La loi de Hooke a la même forme que la deuxième loi de Newton, où la masse est l'inverse de la rigidité du ressort et l'accélération est l'inverse du déplacement négatif. Par conséquent, l'accélération dans un mouvement harmonique simple est proportionnelle au déplacement et a la direction opposée (voir ci-dessous ; oùx est la distance d'une masse oscillant à partir de sa position d'équilibre).
Quelles sont les équations du mouvement harmonique simple ?
Il existe plusieurs équations utilisées pour décrire une masse effectuant un mouvement harmonique simple.
Équation de la période du mouvement harmonique simple
La période T, d'un objet effectuant un mouvement harmonique simple, est le temps qu'il faut à un système pour passer par une oscillation complète et revenir à sa position d'équilibre. On considère qu'une oscillation complète est terminée lorsqu'un objet s'est déplacé de sa position initiale, a atteint les deux points de déplacement maximum, puis est revenu à sa position initiale.
La période de temps peut être trouvée à partir de l'équation ci-dessous, où ω est le taux de variation du déplacement angulaire par rapport au temps, T est la période, et f est le nombre d'oscillations complètes effectuées en une seconde.
\[F [Hz] = \frac{1}{T} [s]\omega [rad/s] = \frac{2 \pi}{T[s]} = 2 \pi \cdot f\]
Équation de l'accélération et du déplacement d'un mouvement harmonique simple
L'accélération maximale, a, d'un objet oscillant en mouvement harmonique simple est proportionnelle au déplacement, x, et à la fréquence angulaire ⍵. La formule indique que l'accélération a une direction opposée au déplacement indiqué à partir du signe moins. Elle montre également que l'accélération atteint son maximum lorsque le déplacement est à l'amplitude maximale, c'est-à-dire le point le plus éloigné de l'équilibre.
\N- [\Nalpha_{max} [m/s^2] = -\Noméga ^2 [rad/s] \Ncdot [m]\N]
L'équation donnée est décrite ci-dessous, où un graphique de l'accélération en fonction de la position illustre que l'accélération est une fonction du déplacement. La pente du graphique donné est égale au carré négatif de la fréquence angulaire, comme le montre l'équation ci-dessous. Les déplacements maximum et minimum sont donc + x0 et -x0, comme indiqué respectivement.
\[\text{slope} = \frac{a}{x} = -\omega^2[rad/s]\N]
La position d'un objet en mouvement harmonique peut être trouvée à l'aide de l'équation ci-dessous si la fréquence angulaire et l'amplitude à un moment donné sont connues.
\[x(t) = x_0 \sin(\omega t)\]
Cette équation peut être utilisée lorsque l'objet oscille à partir de la position d'équilibre initiale. Un graphique sinusoïdal peut être utilisé pour décrire ce mouvement, comme le montre la figure ci-dessous, qui illustre l'exemple d'un pendule partant de la position d'équilibre.
Si un objet oscille à partir de sa position de déplacement maximal où l'amplitude est égale à -x0 ou x0, alors l'équation ci-dessous peut être utilisée.
height="25" id="5178005" \(x(t) = x_0 \cos(\omega t)\)
L'illustration d'un exemple de pendule commençant à osciller à sa position d'amplitude maximale peut être décrite par un graphique et une équation de cosinus, comme indiqué ci-dessous.
Ces deux graphiques représentent le même mouvement mais des positions de départ différentes.
Équation de la vitesse d'un mouvement harmonique simple
La vitesse d'un objet oscillant en mouvement harmonique simple à un moment donné peut être trouvée à l'aide de l'équation ci-dessous où Vo est la vitesse maximale, t est le temps et ω est la fréquence angulaire.
\(V(t) = V_{max} \cos (\omega t) \qquad V_{max} = \omega \cdot x_0\)
Cette équation peut également être dérivée de l'équation de position en la dérivant en termes de temps ; souviens-toi que la vitesse est la dérivée de la position en fonction du temps. Une autre équation est utilisée pour décrire le comportement de la vitesse par rapport au déplacement et à la fréquence de l'oscillateur harmonique illustré ci-dessous, où Xo est l'amplitude et X le déplacement.
\(V = \pm \omega \sqrt{x_0^2 - x^2}\)
Équation de l'accélération du mouvement harmonique simple
L'accélération d'un objet oscillant en mouvement harmonique simple à un moment donné peut être trouvée à l'aide de l'équation ci-dessous, où amax est l'accélération maximale, t est le temps, et ω est la fréquence angulaire. Cette équation peut également être dérivée de l'équation de la vitesse en dérivant en termes de temps, car l'accélération est la dérivée de la vitesse en fonction du temps.
\(a (t) = -a_{max} \cdot \cos (\comega t) \cquad a_{max} = \comega^2 \cdot x\)
Une force de 200N est nécessaire pour étendre un ressort d'une masse de 5kg de 0,5m. Trouve la constante du ressort et sa fréquence d'oscillation.
Solution :
Utilisons la loi de Hooke. Les variables données seront substituées dans l'équation.
\(F = k \cdot xk = \frac{F}{x} = \frac{200 N}{0,5 m} = 400 \frac{N}{m} = 400 \frac{kg}{s^2}\)
La fréquence peut être trouvée à l'aide de l'équation de la période. \(T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\), et la fréquence est inversement proportionnelle à la période.
\(T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{5 kg}{400 kg/s^2}} = 0,7 s \quad F = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,7 s} = 1,42 Hz\)
Une masse de 1kg oscille à partir de sa position maximale de 0,15m. Trouve le déplacement de la masse oscillante à t = 0,3s, si la masse effectue un mouvement harmonique simple avec une période de 0,5s.
Solution:
Comme la masse oscille à sa position maximale à t = 0, on utilisera l'équation du cosinus de la position.
\(x(t) = x_0 \cdot \cos (\omega t) x(t) = 0.15 \cdot \cos (\omega \cdot 0.3)\)
La fréquence angulaire est nécessaire pour trouver la position à t = 0,3s. En utilisant la relation entre la période et la fréquence angulaire, nous obtenons ce qui suit :
\(\omega = \frac{2 \pi}{t} = \frac{2 \pi}{0.5} = 12,5 rad /s \cquad x(t) = 0,15 \cdot \cos(12,56 \cdot 0,3) = -0,15 m\)
Que sont le déphasage et l'angle de phase ?
Lorsque la position initiale de la masse oscillante m à l'instant initial n'est pas égale à l'amplitude, et que la vitesse initiale n'est pas nulle, alors la fonction cosinus qui en résulte et qui représente le mouvement de la masse apparaîtra légèrement décalée vers la droite.
C'est ce qu'on appelle un déphasage et il peut être mesuré en termes d'angle de phase φ mesuré en rad. En présence d'un déphasage, les équations du mouvement harmonique simple qui ont été introduites en fonction du temps peuvent également être écrites en fonction de l'angle de phase.
\(x(t) = x_0 \cdot \cos(\omega t + \phi) \quad u(t) = V_{max} \cdot \sin (\omega t+ \phi) \quad a(t) = -a_{max} \cdot \cos(\omega t + \phi)\)
L'angle de phase peut être déterminé à partir de la position de la masse m qui oscille , ou de son graphique. Le déphasage peut être décrit comme un angle mesuré en radians à l'aide de l'équation ci-dessous où ω est la fréquence angulaire, t est le temps et \(\phi_0\) est le déphasage initial. Le tableau ci-dessous décrit le déphasage en termes d'angle et de cycle.
\(\phi = \omega t + \phi_0\)
Description du mouvement | Angle de phase (rad) | Déphasage (cycle) |
A partir de l'équilibre | 0 | 0 |
Déplacement positif maximal | π/2 | Quart de cycle |
Premier retour à la direction d'équilibre | π | Demi-cycle |
Déplacement négatif maximal | 3π /2 | Trois quarts de cycle |
Deuxième retour à l'équilibre | 2π | Cycle complet |
Mouvement harmonique simple - Points clés
Le mouvement harmonique simple est un mouvement répétitif de va-et-vient d'une masse de chaque côté d'une position d'équilibre.
Lorsqu'un objet oscille dans un mouvement harmonique simple, les oscillations sont périodiques et l'accélération est proportionnelle au déplacement.
La force de rappel d'une oscillation peut être décrite à l'aide de la loi de Hooke.
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