Mouvement en deux dimensions

Définition du mouvement en deux dimensions

Bien que nous observions quotidiennement des objets en mouvement, nous nous attardons rarement sur la question "dans combien de dimensions ce mouvement se produit-il ?" L'un des exemples de mouvement les plus simples est celui d'un objet qui se déplace linéairement dans une seule dimension. Revenons à l'exemple de l'autoroute. Une voiture qui se déplace le long de l'axe des x représente un mouvement dans une seule dimension.Si cette même voiture se déplace dans une direction avec unevitesseconstante tout en accélérant dans une autre direction, ils'agit d'un mouvement bidimensionnel.

De nombreux objets en mouvement que nous observons et dont nous faisons l'expérience tous les jours ne se déplacent pas en ligne droite, et leur mouvement est mieux décrit comme étant bidimensionnel. Dans une dimension, nous analysons le mouvement des objets en ligne droite en étudiant le déplacement, la vitesse et l'accélération. Maintenant, comment pouvons-nous étendre ce que nous avons appris sur le mouvement en une dimension à des situations bidimensionnelles ?

Forces et mouvements en deux dimensions

Pour faire la distinction entre la force et le mouvement sur le site , définissons exactement ce que nous entendons par force.

Les forces exercées sur les objets sont toujours dues à l'interaction de cet objet avec un autre objet, comme une poussée ou une traction. Lancer une balle de baseball est un exemple de force, car le processus peut être simplifié en un objet poussé dans l'air. De même,lorsque la friction agit entre deux surfaces, nous devons tenir compte de la force de friction parallèle à la surface et de la force normale perpendiculaire à celle-ci. La meilleure façon de décrire ces forces est d'utiliser les coordonnées x et y en deux dimensions.

Deuxgrands exemplesde mouvements bidimensionnels sont le projectile et le mouvement circulaire, pour lesquels les forces pertinentes sont respectivement la force gravitationnelle et la force centripète.

Mouvement des projectiles

Le mouvement des projectiles est un cas particulier de mouvement à deux dimensions.

Lorsque l'on analyse le mouvement d'un projectile, il est essentiel de se rappeler qu'il est toujours préférable de décomposer le mouvement en deux composantes : une le long de l'axe horizontal et une le long de l'axe vertical.

Lorsqu'un projectile est lancé à un angle, l'objet se déplace simultanément dans les directions x et y. Celles-ci peuvent être exprimées à l'aide de vecteurs, où l'addition donnera un vecteur net. Laplupart du temps, le mouvement du projectile est modélisé sans tenir compte des effets de la résistance de l'air ; on peut donc l'ignorer.

Si l'on néglige la résistance de l'air, la composante horizontale de la vitesse d'un projectile n'est soumise à aucune force nette, tandis que la composante verticale n'est affectée que par la force de gravité, ce qui signifie que le terme d'accélération \(a_y\) peut être remplacé par l'accélération due à la gravité \(g\).

Mouvement circulaire uniforme

Un autre exemple courant de mouvement bidimensionnel est le mouvement circulaire uniforme.

Même si la vitesse est constante, la vélocité ne l'est pas. En effet, la direction du vecteur vitesse change d'un point à l'autre de la trajectoire qu'il parcourt. Le fait que la vitesse change signifie que l'accélération n'est pas nulle.

Dans un mouvement circulaire, il y a toujours une accélération centripète dont la magnitude peut être exprimée par \(a_\mathrm{c}\),

\[a_\mathrm{c}=\frac{v^2}{r},\]

où \(r\) est le rayon du cercle. Il en résulte une force centripète qui pointe vers le centre du cercle défini par le mouvement de l'objet. Cette force change la direction du vecteur vitesse de l'objet, mais pas sa magnitude. Enfin, le temps nécessaire pour effectuer une révolution complète est appelé période \(T\) et est donné par l'équation suivante

\[T=\frac{2 \pi r}{v}.\]

Quelques bons exemples de mouvement circulaire sont la grande roue ou un satellite en orbite autour d'une planète.

Formules de mouvement en deux dimensions

Avant d'énumérer toutes les équations de mouvement pertinentes pour deux dimensions, rappelons les principales équations de mouvement en une dimension.

Tableau 1 - Équations cinématiques du mouvement en une dimension avec une accélération constante.

Le mouvement en deux dimensions est décrit par les mêmes équations que celles compilées dans le tableau 1 ci-dessus, la seule différence réside dans la notation. Dans un mouvement bidimensionnel, nous considérons deux directions (x et y), de sorte que la notation de la position devient :

\[ \Delta \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1,\]

où \( \vec{r}_1\) et \( \vec{r}_2\) sont des vecteurs allant de l'origine aux points \( A\) et \( B\) de la figure 2. Chacun de ces vecteurs a des composantes x et y.

Fig. 2 - Exemple de mouvement en deux dimensions.

Dans ce cas, la vitesse moyenne est le vecteur de déplacement \( \overrightarrow{A B}\) divisé par le temps qu'il faut à l'objet pour se déplacer de \( A\) à \( B\). La vitesse instantanée, quant à elle, peut être exprimée comme suit

\[\vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t},\]

où la composante x est égale à

\[v_x= \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}.\]

L'accélération instantanée est la variation de la vitesse dans le temps :

\[\vec{a}= \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}.\]

Comme il n'est pas pratique de faire des calculs avec des vecteurs, pour résoudre les problèmes de mouvement à deux dimensions, nous utilisons les composantes des vecteurs. Les équations vectorielles se transforment alors en équations algébriques, les mêmes que celles utilisées dans les mouvements à une dimension, qui sont plus faciles à résoudre à l'aide d'opérations mathématiques élémentaires. En suivant cette logique, toutes les équations du tableau 1 peuvent être divisées en composantes x et y :

\begin{align} v_x&=v_{0 x}+a_x t \\ v_y&=v_{0 y}+a_y t \end{align}

lors du calcul de la vitesse,

\begin{align} x-x_0&=v_{0 x} t+\frac{1}{2} a_x t^2 \\n-y_0&=v_{0 y} t+\frac{1}{2} a_y t^2, \end{align}

pour obtenir les composantes de la position, et

\begin{align} v_x^2&=v_{0 x}^2 +2 a_x(x-x_0) \\\Nv_y^2&=v_{0 y}^2 +2 a_y(y-y_0). \Nend{align}

La décomposition des expressions en composantes transforme un problème de mouvement bidimensionnel en un système de deux équations à deux inconnues.

Il est plus facile de comprendre ces équations en les appliquant à des problèmes d'exemple.

Exemples de mouvements en deux dimensions

Examinons un exemple de problème de mouvement de projectile en deux dimensions.

Le mouvement en trois dimensions

Tout comme la conversion d'un mouvement unidimensionnel en mouvement bidimensionnel, les objets en trois dimensions peuvent être analysés à l'aide de relations cinématiques unidimensionnelles si le mouvement est séparé en composantes. Pour y parvenir, un troisième axe est introduit, donc maintenant tout est décrit à l'aide des coordonnées x, y et z.

La notation vectorielle unitaire est appliquée pour représenter les vecteurs comme la somme de leurs composants dans chaque direction. Les coordonnées habituelles x, y et z sont représentées respectivement par \(\hat{i}\), \ (\hat{j}\) et\ (\hat{k}\) . Par exemple, un vecteur \(\vec{r}\) dans un espace à trois dimensions peut être écrit comme suit

\begin{align} \vec{r}&=(A, B, C) \\N- \vec{r}&=A\hat{i}+B\hat{j}+C\hat{k}. \n-{align}

Fig. 4 - Un gyroscope permet de visualiser clairement un mouvement en trois dimensions.

Le mouvement d'un gyroscope est un exemple de mouvement en trois dimensions. La façon de décrire qualitativement le mouvement d'une particule dans un espace tridimensionnel sera abordée plus tard dans les sujets de mécanique tels que l'électricité et le magnétisme.