Équation du moment d'inertie
Mathématiquement, le moment d'inertie peut être exprimé en termes de masses individuelles comme la somme du produit de chaque masse individuelle et du carré de la distance perpendiculaire à l'axe de rotation. Tu peux le voir dans l'équation ci-dessous. I est le moment d'inertie mesuré en kilogrammes mètres carrés (kg-m2), m est la masse mesurée en kilogrammes (kg) et r est la distance perpendiculaire à l'axe de rotation mesurée en mètres (m).
\[I = \sum_i^n m \cdot r^2_i\]
Nous pouvons également utiliser l'équation ci-dessous pour un objet dont la masse est supposée être concentrée en un seul point. L'image montre la distance de l'axe de rotation r.
Fig. 1 - Diagramme montrant la distance de l'axe de rotation r
\[I = m \cdot r^2\]
D'où vient le moment d'inertie ?
La loi de Newton stipule que l'accélération linéaire d'un objet est linéairement proportionnelle à la force nette qui agit sur lui lorsque la masse est constante. Nous pouvons l'énoncer avec l'équation ci-dessous, oùFt est la force nette, m est la masse de l'objet etat est l' accélération de translation.
\[F_t = m \cdot a_t\]
De même, , nous utilisons le couple pour les mouvements de rotation, qui est égal au produit de la force de rotation et de la distance perpendiculaire à l'axe de rotation. Cependant, l'accélération de translation pour le mouvement de rotation est égale au produit de l'accélération angulaire α et du rayon r.
\[\alpha_t = r \cdot \alpha \frac{T}{r} = m \cdot r \cdot \alpha \frac{T}{r} = m \cdot r^2 \cdot \alpha\].
Le moment d'inertie est la réciproque de la masse dans la deuxième loi de Newton pour l'accélération linéaire, mais il est appliqué à l'accélération angulaire. La deuxième loi de Newton décrit le couple agissant sur un corps, qui est linéairement proportionnel au moment d'inertie de la masse d'un corps et à son accélération angulaire. Comme le montre la dérivation ci-dessus, le couple T est égal au produit du moment d'inertie I et de l'accélération angulaire \(\alpha\).
\[T = I \cdot \alpha \]Moments d'inertie pour différentes formes
Le moment d'inertie est différent et spécifique à la forme et à l'axe de chaque objet. En raison de la variation des formes géométriques, un moment d'inertie est donné pour diverses formes couramment utilisées, que tu peux voir dans l'image ci-dessous.
Fig. 2 - Moment d'inertie pour différentes formes
Nous pouvons calculer le moment d'inertie pour n'importe quelle forme en intégrant (autour de l'axe des x) le produit de l'équation, qui décrit la largeur ou l'épaisseur d, le taux de variation de y, et A multiplié par le carré de la distance à l'axe.
\[I = \int dA \cdot y^2\]
Plus l'épaisseur est importante, plus le moment d'inertie est élevé.
Exemples de calcul du moment d'inertie
Un disque mince d'un diamètre de 0,3 m et d'un moment d'inertie total de 0,45 kg-m2 tourne autour de son centre de masse. Il y a trois rochers avec des masses de 0,2 kg sur la partie extérieure du disque. Trouve le moment d'inertie total du système.
Solution
Le rayon du disque est de 0,15 m. Nous pouvons calculer le moment d'inertie de chaque pierre comme suit
\[I_{rock} = m \cdot r^2 = 0,2 kg \cdot 0,15 m^2 = 4,5 \cdot 10^{-3} kg \cdot m^2\]
Par conséquent, le moment d'inertie total sera de
\[I_{rocks} + I_{disk} = (3 \cdot I_{rock})+I_{disk} = (3 \cdot 4.5 \cdot 10^{-3} kg \cdot m^2) + 0.45 kg \cdot m^2 = 0.4635 kg \cdot m^2\]
Un athlète est assis sur une chaise rotative et tient un poids d'entraînement de 10 kg dans chaque main. À quel moment l'athlète aura-t-il plus de chances de tourner : lorsqu'il étend ses bras loin de son corps ou lorsqu'il rétracte ses bras près de son corps ?
Solution
Lorsque l'athlète étend ses bras, le moment d'inertie augmente à mesure que la distance entre le poids et son axe de rotation augmente. Lorsque l'athlète rétracte ses bras, la distance entre les poids et l'axe de rotation diminue, tout comme le moment d'inertie.
Par conséquent, l'athlète a plus de chances de tourner lorsqu'il rétracte ses mains car le moment d'inertie sera plus petit et le corps aura moins de résistance à la rotation.
Un disque très fin d'un diamètre de 5 cm tourne autour de son centre de masse, et un autre disque plus épais d'un diamètre de 2 cm tourne autour de son centre de masse. Lequel des deux disques a le plus grand moment d'inertie ?
Solution
Le disque ayant le plus grand diamètre aura un moment d'inertie plus important. Comme le suggère la formule, le moment d'inertie est proportionnel au carré de la distance à l'axe de rotation, donc plus le rayon est grand, plus le moment d'inertie est important.
Moment d'inertie - Principaux enseignements
Le moment d'inertie est une mesure de la résistance à la rotation d'un objet en rotation. Il dépend de la masse et de la répartition de sa masse autour de son axe de rotation.
Le moment d'inertie est la réciproque de la masse dans la deuxième loi de Newton appliquée à la rotation.
Le moment d'inertie est différent et spécifique à la forme et à l'axe de chaque objet.
Images
Inertie de rotation. https://web2.ph.utexas.edu/~coker2/index.files/RI.htm
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