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Le moment angulaire peut être appliqué pour un mouvement circulaire, mais aussi pour un mouvement non circulaire lorsque la direction du mouvement perpendiculaire au vecteur rayon est étudiée.
La direction du moment angulaire
La direction du moment angulaire peut être déterminée à l'aide de la règle de la main droite, où quatre doigts représentent la direction du mouvement tandis que le pouce représente la direction du moment angulaire.
Figure 1. La règle de la main droite utilisée pour trouver la direction du moment angulaire. Source : Oğulcan Tezcan, StudySmarter.
Si la direction du mouvement est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, le moment angulaire est positif.
Si la direction du mouvement est dans le sens des aiguilles d'une montre, le moment angulaire est négatif.
Formule du moment angulaire
Comme le montre la figure 2, une particule ponctuelle se déplace de façon circulaire. Un plan est créé entre la vitesse linéaire v et le vecteur position r. La magnitude du moment angulaire pour une particule ponctuelle en rotation est le produit de la masse de la particule m, des vecteurs position et vitesse, et de l'angle θ entre eux.
L'angle θ créé entre les deux vecteurs r et v peut être compris entre 0 ≤ θ ≤ 180 degrés. Par conséquent, la formule du moment angulaire peut également être écrite en termes de moment cinétique, comme indiqué ci-dessous, où m est la masse et p le moment cinétique linéaire.
\[L = [kg \space m^2/s] = m \cdot u \cdot r \cdot \sin \theta = p \space r \space \sin \theta\]
Figure 2. Moment angulaire.
Cette méthode peut être modifiée pour mieux s'adapter aux cas de mouvements circulaires en utilisant la vitesse angulaire au lieu de la vitesse linéaire. Comme le montre la figure 3, le moment angulaire (L) d'une particule ponctuelle se déplaçant sur une trajectoire circulaire est perpendiculaire au plan formé par le vecteur rayon r et le vecteur vitesse linéaire v.
Par conséquent, en substituant la vitesse angulaire à la vitesse linéaire dans la formule ci-dessous, nous obtenons une équation plus appropriée, qui peut également être écrite en termes de moment d'inertie. Le moment angulaire est mesuré en kgm2/s.
L'équation ci-dessous montre que le moment angulaire a la même forme que le moment linéaire. Cependant, le moment d'inertie I est l'inverse de la masse m, tandis que la vitesse angulaire ω est l'inverse de l'accélération linéaire a dans un mouvement linéaire.
\[v = r \cdot \comega L [kg \space m^2/2] = m \cdot r \cdot v = m \cdot r \cdot (r \cdot \comega) = m \cdot r^2 \cdot \comega\]
Figure 3. Vecteurs composant le moment angulaire.
Mouvement angulaire et loisdeNewton
Ladeuxième loi de Newton sur le mouvement linéaire stipule que l'accélération αtd'un objet se déplaçant linéairement est proportionnelle à la force nette F agissant sur le corps et a une magnitude inversement proportionnelle à sa masse, comme le décrit l'équation ci-dessous.
\[ \sum F [Newtons] = m [kg] \cdot a_t [m/s^2] \qquad a_t [m/s^2] = \frac{\sum F}{m}\]
Cette loi peut également être appliquée en termes de moment angulaire, lorsqu'un objet est en rotation.
Ladeuxième loi de Newton pour le mouvement angulaire stipule que l'accélération angulaire (α) d'un objet en rotation est directement proportionnelle à la somme des couples externes (T) agissant surl'axe de rotation de l'objet.
En revanche, l'accélération angulaire est inversement proportionnelle au moment d'inertie (I) par rapport à l'axe de rotation. C'est ce que montre l'équation ci-dessous, où a est l'accélération de rotation, tandis que I est le moment d'inertie, qui est la réciproque de la masse dans un mouvement linéaire.
\[\sum T = I \cdot \alpha \qquad \alpha = \frac{\sum T}{I}\]
LoideNewton généralisée pour le mouvement angulaire
Ladeuxième loi de Newton peut être exprimée en termes de quantité de mouvement linéaire lorsque la masse est constante. De même, pour les mouvements angulaires, lorsque le moment d'inertie est constant,laloi de Newton peut également être exprimée en termes de moment angulaire.
Le taux de variation du moment angulaire d'un corps par rapport à un point de l'espace est égal à la somme des couples externes qui affectent le corps par rapport à ce point, comme indiqué ci-dessous :
\[\Delta T = \frac{\Delta L}{\Delta t}\]
Ici, le couple est le produit de la force appliquée multipliée par la distance perpendiculaire à l'axe de rotation et le sinus de l'angle qui les sépare. Le couple est mesuré en Newton mètres.
Un disque métallique tourne avec une vitesse angulaire de 18 rad/s. Le disque a un moment d'inertie de 0,05 kgm2. Calcule le moment angulaire.
En utilisant la formule du moment angulaire et en substituant les variables données pour la vitesse angulaire et le moment d'inertie, nous obtenons :
\(L = I \cdot \comega = 0,05 kg \space m^2 \cdot 18 rad/s = 0,9 kg \space m^2/s\).
Une petite balle pesant 0,3 kg tourne autour d'un axe situé à 0,2 m à une vitesse de 5 rad/s. Détermine le moment angulaire de la balle.
Le moment angulaire est le produit du moment d'inertie et de la vitesse angulaire. Cela nous donne :
\(I = m \cdot r^2 = 0,3 \cdot 0,2^2 = 0,012 kg \space m^2\)\N(I = m \Ncdot r^2 = 0,3 kg \Ncdot (0,2 m)^2 = 0,012 kg \Nspace m^2\N)
Nous substituons la vitesse angulaire donnée pour déterminer le moment angulaire.
\(L = I \cdot \comega = 0,012 kg \space m^2 \cdot 5 s^{-1} = 0,06 kg \space m^2/s\)
Conservation du moment angulaire
Comme l'indiquelaloi généralisée de Newton pour le mouvement angulaire, la somme des couples externes est égale au taux de variation du moment angulaire.
Cependant, si la somme des forces externes agissant sur un corps ou un système par rapport à un point de l'espace est nulle, la conservation du moment angulaire stipule que le moment angulaire total d'un corps par rapport à ce point est conservé et reste constant. Cela peut être exprimé mathématiquement comme suit :
\[\Delta M = \frac{\Delta L}{\Delta t} = 0 \Rightarrow \Delta L = 0 \qquad L_{initial} = L_{Final}\].Un disque avec un moment d'inertie de 0,02 kg⋅m2 tourne sans aucune force extérieure à la vitesse de 5 rad/s. Soudain, une pièce de monnaie est lâchée sur le disque, ce qui fait passer son moment d'inertie à 0,025 kg⋅m2. Détermine la vitesse angulaire après l'impact.
Nous commençons par utiliser la conservation du moment cinétique.
\[\Delta M = \frac{\Delta L}{\Delta t} = 0 \Rightarrow \Delta L = 0 \qquad L_{initial} = L_{Final}\]
Ensuite, nous devons trouver le moment angulaire avant et après l'événement.
\(L_{avant} = I_1 \cdot \omega_1 = 0.02 kg \space m^2 \cdot 5 s^{-1} = 0.1 kg \space m^2/s\)
En mettant en équation le moment angulaire initial et le moment angulaire final, nous pouvons déterminer la vitesse angulaire finale :
\(L_{avant} = L_{après} 0,1 kg \space m^2/s = I_2 \cdot \omega_2\)
Nous réarrangeons pour faire de ω2le sujet.
\(0,025 kg \space m^2 \cdot \omega_2 = 0,1 kg \space m^2/s \Rightarrow \omega_2 = \frac{0,1 kg \space m^2/s}{0,025 kg \space m^2} \NFlèche droite \NMéga_2 = 4 rad/s\N)
Moment angulaire - Principaux points à retenir
Le moment angulaire est la réciproque du moment linéaire pour un mouvement angulaire.
Le moment angulaire a la même forme que le moment linéaire, où le moment d'inertie est l'inverse de la masse, et la vitesse angulaire est l'inverse de l'accélération linéaire.
Laloi de Newton sur le mouvement peut également être exprimée en termes de moment d'inertie et généralisée pour le mouvement angulaire.
Lorsqu'aucune force extérieure n'agit sur un corps, le moment angulaire reste constant.
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