L'oscillateur à bloc-ressort est une expérience classique de physique qui démontre les mêmes principes que ceux utilisés par la balance de l'ISS. Cet article décrit l'expérience du bloc-ressort, dérive une équation pour trouver la fréquence naturelle et la période de temps de différents oscillateurs, et présente une méthode d'analyse de l'énergie pour trouver la vitesse et le déplacement en différents points d'une oscillation.
L'expérience de l'oscillateur masse-ressort
Un modèle simple d'un système qui présente un mouvement harmonique simple (SHM) est l'oscillateur ressort-masse, également appelé oscillateur harmonique simple linéaire. Comme le montre l'illustration ci-dessous, il s'agit d'un ressort horizontal relié à une masse \( m \) qui glisse sur une surface imaginaire sans frottement. L'oscillateur est décrit comme linéaire parce que la force produite par le ressort est directement proportionnelle à \( x \).
Diagramme de l'expérience de l'oscillateur harmonique linéaire simple utilisant un ressort relié à une masse. Dans sa position d'équilibre, le déplacement du bloc est de 0. Le déplacement maximal A aux extrémités de l'oscillation est également marqué. Originaux de StudySmarter
En étudiant la cinématique du mouvement harmonique simple, nous avons des équations pour le déplacement, la vitesse et l'accélération du bloc oscillant :
$$\text{Déplacement } \quad x(t)=A\cos\left( (\omega t)+ \phi \right)$$$.
$$\text{Veloctiy} \quad v(t)=-A\omega\sin\left( (\omega t)+ \phi \right)$$
$$\texte{Accélération } \quad a(t)=-A\omega^2\cos\left( (\omega t)+ \phi \right)$$$
Dans ces équations cinématiques pour le SHM, les variables sont les suivantes :
\( A \) est l'amplitude maximale de l'oscillation en mètres \( \mathrm{(m)} \).
\( \omega \) is the angular velocity of the SHM oscillation, given in radians-per-second \( \mathrm{(rad/s)} \).
\( t \r) est le temps (l'instant auquel les valeurs doivent être calculées), mesuré en secondes \( \mathrm{(s)} \r).
\( \phi \) est la constante de phase de l'oscillation, qui est une valeur représentant la position de l'oscillation à \( t=0\;\mathrm{s} \). Elle est exprimée en radians.
Formule de l'oscillateur à masse-ressort
D'après la deuxième loi de Newton, nous savons que la force exercée sur un objet est égale à sa masse multipliée par son accélération due à la force :
$$F=ma$$
Par conséquent, la force du ressort peut être assimilée à l'accélération de la masse :
$$F=(-k)x=ma$$.
Cela nous donne des équations pour la force du ressort en termes d'accélération \( a \N) et de déplacement \N( x \N). Nous pouvons substituer les équations du déplacement et de l'accélération du SHM à ces équations de force, ce qui donne :$$F=ma=(-m)A\omega^2\cos\left( (\omega t )+\phi \right)$$$.
$$F = (-k)x=(-k) A\cos\left( (\omega t) + \phi \right)$$$
On peut ensuite les mettre en équation pour obtenir :
$$(-m)A\omega^2\cos\left( (\omega t )+\phi \right)=(-k) A\cos\left( (\omega t) + \phi \right)$$$.
Les facteurs \N- A et \N- \N- \Ncos\Nleft( (\Nomega t )+\Nphi \Nright) \N- dans cette équation s'annulent en même temps que le facteur \N- -1 \N-, ce qui nous laisse avec :
$$m\omega^2=k$$
$$\oméga = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$$$
Cette équation nous indique la fréquence angulaire naturelle d'un système d'oscillateur à bloc-ressort, qui est indépendante de l'amplitude de l'oscillation. Les unités de fréquence angulaire sont les radians par seconde, une rotation de \( 2\pi \) radians représentant une oscillation complète. Nous pouvons également l'utiliser pour trouver la fréquence et la période de temps de l'oscillation. En effet, la fréquence angulaire est directement liée à la fréquence d'oscillation et à la période de temps :
$$f= \frac{\omega}{2\pi}$$.
$$T=\frac{1}{f}=2\pi\omega$$
Où la fréquence d'oscillation \( f \N) a des unités de Hertz \N( \Nmathrm{(Hz)} \N), et la période de temps \N( T \N) est mesurée en secondes \N( \Nmathrm{(s)} \N).
Cela signifie que pour l'oscillateur à bloc-ressort :
$$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
Dans l'oscillateur harmonique linéaire simple illustré ci-dessous, le ressort a une constante de ressort de \N( 1000\N;\Nmathrm{N/m}) et le bloc a une masse de \N( 5\N;\Nmathrm{kg}). Détermine la fréquence et la période de temps des oscillations du système.
Illustration d'un oscillateur harmonique linéaire simple composé d'un ressort et d'un bloc. Originaux StudySmarter
Nous pouvons trouver la fréquence angulaire en utilisant l'équation que nous avons dérivée plus tôt :
$$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{1000;\mathrm{N/m}}{5;\mathrm{kg}}= 14.14 ; \mathrm{rad/s}$$.
Puisqu'une oscillation complète correspond à \N( 2\pi \N) radians, nous pouvons diviser la fréquence angulaire par \N( 2\pi \N ) pour trouver la fréquence en Hertz :
$$f = \frac{\omega}{2\pi}=\frac{14.14\;\mathrm{rad/s}}{2\pi}=2.25\;\mathrm{Hz}$$
Nous pouvons également calculer cette valeur directement à l'aide de l'équation de la fréquence :
$$f= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{ 1000\;\mathrm{N/m}}{5\;\mathrm{kg}}}=2.25\;\mathrm{Hz}$$
La période de temps peut également être calculée directement :
$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{5\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{N/m}}}=0.44s$$
Équation énergétique pour l'oscillation d'un bloc-ressort
Il est utile d'examiner comment l'énergie est transférée dans l'oscillateur à bloc-ressort pour bien comprendre ce qui se passe dans le système et pourquoi il présente un SHM. L'énergie potentielle d'un ressort comprimé ou étendu peut être calculée en tenant compte du travail nécessaire pour comprimer ou étendre le ressort jusqu'à cette position :
$$W = \bar{F}x$$$
Rappelle-toi que la force du ressort varie au fur et à mesure qu'il est comprimé - mais comme elle varie de façon linéaire, nous pouvons utiliser une force moyenne et obtenir le même résultat. La force moyenne \( \bar{F} \)est donnée par :
$$\bar{F}=\frac{1}{2}\left( F_1+F_0\right)$$
Où \N( F_0 \N) et \N( F_1 \N) sont la force du ressort (en Newtons) produite par le ressort non comprimé et le ressort comprimé, respectivement.
La distance \( x \r) à laquelle le ressort est comprimé (ou étiré) est la différence entre les déplacements \( x_1 \r) comprimé et \r non comprimé \( x_0 \r) :
$$x = x_1-x_0$$.
Nous pouvons substituer la loi de Hooke pour les forces du ressort( F_1 \N) et \N( F_0 \N) , ce qui nous donne :
$$W=\bar{F}s=\left[ \frac{1}{2}(F_1+F_0) \right]x =\left[ \frac{1}{2}(kx_1+kx_0) \right]x $$.
Nous pouvons simplifier cette équation en développant les termes :
$$W=-\frac{1}{2}\left( kx_1x+kx_0x \right)$$
Comme le déplacement non comprimé \( x_0=0\;\mathrm{m} \), cela implique que \( x_1=x \). Cela signifie également que tous les termes contenant \( x_0 \) se réduisent à zéro. En appliquant cela à l'équation du travail effectué pour comprimer le ressort, nous obtenons :
$$PE_{\text{spring}}=\frac{1}{2}kx^2$$
Nous savons, en étudiant la cinématique des SHM, que la vitesse d'oscillation est la plus élevée lorsqu'elle passe par le point d'équilibre et qu'elle est nulle aux points extrêmes de déplacement. Comme nous ignorons les pertes d'énergie lorsque nous étudions la SHM, nous savons que toute l'énergie potentielle stockée dans le ressort lorsqu'il est étiré ou comprimé doit être transférée dans l'énergie cinétique de l'oscillation lorsque le ressort est décomprimé, et que l'énergie totale \( PE+KE \) dans le système est constante.
$$PE_0+KE_0=PE_1+KE_1$$
$$\frac{1}{2}kx_0^2+\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}kx_1^2+\frac{1}{2}mv_1^2$$
Nous pouvons utiliser cette relation pour prédire la vitesse d'oscillation maximale lorsqu'un ressort est étiré d'une certaine quantité. Comme la vitesse \( v_1=0 \) au point de déplacement extrême \( x_1 \) , et le déplacement \( x_0=0 \) lorsque l'oscillation passe par le point d'équilibre, certains termes peuvent être supprimés, ce qui laisse :
$$\frac{1}{2}kx_1^2=\frac{1}{2}mv_0^2$$
$$kx_1^2=mv_0^2$$
$$v_0=\sqrt{\frac{kx_1^2}{m}}$$
Mettons cela en pratique.
Une expérience d'oscillateur ressort-bloc est présentée ci-dessous. Si le ressort est initialement comprimé de \( 10\;\mathrm{cm} =0.01\;\mathrm{m} \), à quelle vitesse le bloc se déplacera-t-il lorsqu'il passera par le point d'équilibre après avoir été relâché ?
Remplaçons les données connues par l'équation de la vitesse et simplifions.
$$v_0 = \sqrt{\dfrac{kx_1^2}{m}}=\sqrt{\dfrac{400\;\mathrm{N/m}\times 0.1\;\mathrm{m}^2}{2\;\mathrm{kg}}}=\sqrt{\dfrac{4}{2}}=\sqrt{2}=1.414\;\mathrm{m/s}$$
Oscillateur vertical à masse-ressort
Si nous ajustons l'expérience du bloc-ressort de façon à ce que le bloc soit maintenant suspendu verticalement au ressort, comme le montre le schéma ci-dessous, nous introduisons l'effet de la gravité. Heureusement, nous pouvons utiliser une approche similaire d'analyse énergétique pour comprendre le comportement de ce système.
L'énergie totale du système est toujours constante pour un oscillateur vertical ressort-masse. Il nous suffit donc d'ajouter un terme pour l'énergie potentielle gravitationnelle à notre équation énergétique :
$$PE_0+KE_0=PE_1+KE_1$$
$$\frac12kx_0^2+mgx_0+\frac12mv_0^2=\frac12kx_1^2+mgx_1+\frac12mv_1^2$$
Dans cet exemple, nous traitons l'accélération due à la gravité comme étant \Ng = 10 \Nmathrm{N/kg} \N.
L'expérience ci-dessous montre un bloc \( m=3\;\mathrm{kg}) suspendu à un ressort dont la rigidité (constante du ressort) est \( k=600\;\mathrm{N/m} \). Avant que le bloc ne soit fixé, le ressort n'est pas étiré et son point le plus bas s'étend jusqu'à \N( x_0=0 ; \Nmathrm{m} \N). Lorsque le bloc est fixé, le ressort s'étire jusqu'à ce que la force du ressort annule la force gravitationnelle et que le système soit en équilibre au déplacement \N( x_1 \N). Trouve la valeur de \N( x_1 \N).
Une expérience d'oscillateur à bloc-ressort vertical, montrant le ressort non étiré au déplacement \N( x_0 \N), la position d'équilibre du ressort chargé à \N( x_1 \N) et l'extension maximale du ressort à \N( x_2 \N). StudySmarter Originals
La position d'équilibre du système peut être trouvée en calculant le déplacement nécessaire pour que la gravité et la force du ressort s'équilibrent :
$$W = mg = 3;\mathrm{kg}\ fois10;\mathrm{N/kg}=10;\mathrm{N}$$$.
$$\therefore F_{\text{spring}}=-kx_1=-600\;\mathrm{N/m}\times x_1\;\mathrm{m}=30\;\mathrm{N}$$
$$x_1=\frac{ 30\;\mathrm{N}}{-600\;\mathrm{N/m}}=-0.05\;\mathrm{m}$$
Si le bloc est tiré vers le bas de façon à ce que le ressort s'étende encore de \N( 0,15\N ; \Nmathrm{m}) à \N( x_2 =-0,2\N;\Nmathrm{m} \N). Quels seront la vitesse et le déplacement maximums de l'oscillation du bloc après qu'il ait été relâché ?
À la position étirée, nous pouvons calculer l'énergie totale du système :
$$\text{Énergie totale}= \frac{ 1}{2}kx_2^2+mgx_2+\frac{ 1}{2}mv_2^2$$.
Comme il s'agit d'un point extrême, la vitesse est nulle et le terme cinétique peut être supprimé : $$\text{Énergie totale}= \frac{ 1}{2}kx_2^2+mgx_2$$.
Remplaçons maintenant les valeurs connues et simplifions.
$$\text{Total Energy at }x_2=\frac{1}{2}\times600\;\mathrm{N/m}(-0.2\;\mathrm{m})^2+3\;\mathrm{kg\times10\;\mathrm{N/kg}\times-0.2\;\mathrm{m}}$$
$$\text{Total Energy at }x_2=12 J$$
Lorsque le bloc est relâché, la force du ressort l'accélère vers le haut. Nous savons que la vitesse d'oscillation est la plus grande lorsqu'elle passe par le point d'équilibre. Nous avons déjà calculé que l'énergie totale du système est de \N12 \N 12 \N ; \Nmathrm{J} \N ; nous pouvons donc l'utiliser pour trouver la vitesse \N( v_1 \N) à \N( x_1=-0.05 \N ; \Nmathrm{m} \N) :
$$12\;\mathrm{J} = \frac{1}{2}kx_1^2+mgx_1+\frac{1}{2}mv_1^ 2$$.
$$12\;\mathrm{J} =\left(\frac12\times600\;\mathrm N/\mathrm m\times{(-0.05\;\mathrm m)}^2\right)+\left(3\;\mathrm{Kg}\times10\;\mathrm N/\mathrm{kg}\times-0.05\;\mathrm m\right)+\left(\frac12\times3\;\mathrm{kg}\times v_1^2\right)$$
$$12\;\mathrm{J} =0.75\;\mathrm{J}-1.5\mathrm{J}+1.5\;\mathrm{kg}\times v_1^2$$
$$ \sqrt{\frac{12.75;\mathrm{J}}{1.5;\mathrm{kg}}}=v_1 = 2.916;\mathrm{m/s} $$$
Nous pourrions également utiliser cette méthode énergétique pour trouver le déplacement maximal de l'oscillation, mais il existe une option plus simple - nous savons qu'une caractéristique clé du mouvement harmonique simple est que la magnitude du déplacement dans chaque direction à partir du point d'équilibre est égale !
Dans cet exemple, notre déplacement minimum se situe à \N( x_2=-0,2\;\Nmathrm{m} \N), et le point d'équilibre se situe à \N( x_1=-0,05\N;\Nmathrm{m} \N). Cela signifie que l'amplitude de l'oscillation est de \( A=0,15\;\mathrm{m} \N). Nous pouvons ajouter l'amplitude au point d'équilibre pour trouver le déplacement maximal de l'oscillation :
$$x_1+A = -0.05\;\mathrm{m}+0.15\;\mathrm{m}=0.1\;\mathrm{m}$$
L'oscillateur à bloc-ressort - Points clés à retenir
- Un oscillateur à bloc-ressort est un système comprenant un ressort attaché à un bloc/masse qui glisse sur une surface sans frottement. Le bloc oscille autour d'une position d'équilibre avec un mouvement harmonique simple. Cette expérience est également connue sous le nom d'oscillateur harmonique simple linéaire.
- Le ressort produit une force de rappel sur le bloc qui est inversement proportionnelle à son déplacement, une caractéristique clé du SHM.
- La relation entre la force du ressort et l'extension est définie par la loi de Hooke \( F=-kx \) tant que le ressort reste dans sa limite élastique.
- Nous pouvons trouver la fréquence angulaire naturelle, la fréquence et la période de temps d'un oscillateur à bloc-ressort à l'aide des équations : \( \oméga = \sqrt{\dfrac{k}{m}} \),\( f = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{k}{m}}\) & \( T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \), respectivement.
- Comme nous ignorons les pertes d'énergie lors de l'analyse du SHM, l'énergie totale du système oscillateur bloc-ressort (somme de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle du ressort et de l'énergie potentielle gravitationnelle) doit être constante en tout point : \N( PE_0+KE_0 = PE_1+KE_1 \N).
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