Longueur d'onde

Grandeurs physiques associées à une onde monochromatique

Passons en revue les caractéristiques principales des ondes en travaillant avec une onde monochromatique, c'est-à-dire une onde avec une fréquence et une longueur d'onde spécifiques.

Cas d'une onde stationnaire

Prenons un exemple. Imaginons que l'on ait une corde que l'on fixe à une extrémité et qu'on la fasse osciller en l'agitant rapidement de haut en bas à l'autre extrémité. Si l'on agite à une fréquence particulière, on peut faire apparaître un motif tel que l'on voit dans la figure 1. On parle ici d'onde stationnaire, car l'onde ne se déplace pas le long de la corde, elle est comme figée et forcée d'osciller « sur place ».

L'expression de la position verticale d'un tel signal peut prendre la forme : \[y(x,t)=\sin(kx)\cos(\omega t)\]

Longueur d'onde et fréquence

Quand on parle d'une onde, très souvent, on a besoin de connaître sa longueur d'onde et sa fréquence. Ce sont ses caractéristiques principales. Mais à quoi est-ce que cela correspond concrètement ?

Longueur d'onde unité

Cette expérience permet de bien comprendre la différence entre les périodes spatiales et temporelles. La longueur d'onde, ou période spatiale, est une distance que l'on peut mesurer à la règle. C'est la distance entre deux maximums ou entre trois points fixes. Dans la figure 1, la distance horizontale totale vaut deux longueurs d'onde.

On voit que la longueur d'onde s'exprime en unité de longueur, par exemple en mètre ou en centimètres. Pour les ondes lumineuses, ça peut également être des nanomètres \((nm\)). En revanche, ça reste toujours une longueur. Pour cette raison, on parle de période spatiale. Il s'agit de la longueur du plus petit motif qui se répète tout le long de l'onde.

Période et fréquence temporelle

Voyons maintenant des grandeurs temporelles. Cette fois, il ne s'agit plus de prendre une photo à un instant donné \(t\) de la corde, mais plutôt de prendre un film de la corde. On voit clairement que les points oscillent de haut en bas. Combien de temps faut-il pour qu'un point fasse un aller-retour et revienne à la même hauteur ? Sur l'animation, c'est environ \(2\) secondes : une seconde pour descendre et une autre seconde pour remonter. C'est cela que l'on appelle la période temporelle, ou simplement période.

Qu'est-ce que la fréquence ? C'est l'inverse de la période, à savoir le nombre de fois qu'un point fait un aller-retour chaque seconde. On a \[\fbox{\(\nu = \frac{1}{T}\)}\] où la lettre grecque se prononce nu. Donc si la corde met deux secondes pour faire un aller-retour, alors chaque seconde, elle n'a fait que la moitié de l'aller-retour. Ainsi, la fréquence ici vaut \(\nu=\frac{1}{2}=0{,}5\) Hz (Hertz).

Pulsation

Cas d'une onde progressive

Imaginons cette fois-ci que la corde est très longue et libre à une extrémité. Alors, l'oscillation que l'on initie à l'autre extrémité se propage le long de la corde sans rebondir contre un point fixe. Dans ce cas, l'onde n'est plus stationnaire, mais progressive, car elle se déplace ou progresse dans une direction.

Figure 2 - Lorsqu'une corde est agitée à une extrémité et libre à l'autre, on observe une onde progressive. En plus de la longueur d'onde \(\lambda\) et de la fréquence \(\nu\), on peut définir sa célérité \(c\).

Pour l'onde progressive, l'expression de la hauteur, ou déplacement de la corde par rapport à la ligne horizontale rouge, peut prendre la forme suivante : \[y(x,t)=\cos(\omega t-kx)\]

Célérité

Lorsque l'onde est progressive, on peut alors définir la vitesse à laquelle elle se propage, ce que l'on appelle la célérité \(c\). Comme pour l'onde stationnaire, l'onde progressive a une longueur d'onde, une période et une fréquence. La célérité de l'onde est telle que l'onde met une période spatiale pour parcourir une période temporelle. Ainsi, on a : \[c = \frac{\lambda}{T} = \lambda \ \nu\]

Nombre d'onde

Cette fois, le nombre d'onde est la constante de proportionnalité entre la position \(x\) et la phase ou argument du cosinus \(\phi=kx\). L'unité du nombre d'onde est le radian par mètre \((rad/m)\).

Vecteur d'onde

Étant donné que l'onde se déplace dans une certaine direction, on peut ajouter un sens et une direction au nombre d'onde pour le transformer en vecteur d'onde \(\vec{k}\). Par exemple, si l'onde se déplace suivant les \(x\) croissants, on a \(\vec{k}=k\ \vec{u}_x\)

On peut réécrire la célérité à l'aide du nombre d'onde :\[c=\lambda\ \nu = \frac{\lambda}{2\pi} \times 2\pi \nu =\fbox{\(\frac{\omega}{k}=c\)}\]

Analogie entre le temps et l'espace

On a vu au début de cette partie la notion de période spatiale et de période temporelle. Celles-ci sont analogues, mais l'une correspond à un paramètre lié à l'espace et l'autre au temps. En fait, il y a une analogie entre le temps et l'espace. C'est précisément ce qui caractérise les ondes progressives : se déplacer sur une onde dans l'espace à un instant donné revient strictement au même que d'attendre à une position pendant une durée de temps. Dans les deux cas, on éprouve les mêmes oscillations. Ce qui permet de passer du domaine spatial au domaine temporelle (ou vis-versa) c'est la célérité. Récapitulons dans un tableau toutes les grandeurs que nous avons introduites jusqu'ici.

Pour passer d'un domaine à l'autre, on utilise la célérité : \[c=\frac{\lambda}{T}=\lambda\nu=\frac{\omega}{k}\]

Onde électromagnétique et particules

Quittons temporairement le domaine des ondes mécaniques pour entrer dans le monde de l'électromagnétisme et des particules. Comme évoqué plus haut, la longueur d'onde d'une onde électromagnétique est reliée à sa couleur. Les lumières rouges ont une plus grande longueur d'onde tandis que les lumières violettes ont une longueur d'onde plus courte. La lumière violette est également plus énergétique que la lumière rouge. Il existe une relation entre l'énergie d'un photon et sa longueur d'onde, la voici : \[E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}\]

où \(h\) est la constante de Planck qui vaut \(h=6{,}67\times10^{-34}Js\). On introduit souvent également la constante de Planck réduite \(\hbar=\frac{h}{2\pi}=2{,}12\times 10^{-34} Js\). De cette façon, on peut réécrire la relation ainsi : \[E=\hbar \omega\]

Longueur d'onde de De Broglie

Au début du 20ème siècle, la physique a pris un nouveau départ avec la naissance de deux théories fondamentales que sont la relativité restreinte et la mécanique quantique. Une des découvertes principales de cette dernière est que la matière et la lumière peuvent se comporter à la fois comme des ondes et comme des particules. C'est ce que l'on appelle la dualité onde-corpuscule. C'était sous-entendu dans le paragraphe précédent lorsque l'on a parlé du photon qui est une particule ou corpuscule de lumière, elle-même une onde. On parle également de quantum d'énergie.

De même qu'on peut décrire la lumière comme un assemblage de particules de photons, on peut décrire un ensemble de particules de matière (par exemple d'électrons) comme une onde de matière. C'est-à-dire qu'on associe aux particules une longueur d'onde. Cette idée est attribué au physicien français Louis de Broglie (prononcé de breuil), c'est pourquoi on lui a donné ce nom.

Pour commencer, décrivons la lumière comme une particule et associons-lui une quantité de mouvement. Comme en mécanique où l'on a \(\vec{p}=m\vec{v}\), pour un photon, on peut définir sa quantité de mouvement à l'aide de la formule suivante analogue à celle de l'énergie : \[\vec{p}=\hbar \vec{k}\]

Ainsi, on peut réutilser cette même formule pour faire apparaître la longueur d'onde d'une particule quantique : \[p=\frac{h}{2\pi}\times\frac{2\pi}{\lambda}\] Il reste : \[p=\frac{h}{\lambda}\] D'où, on obtient en inversant cette formule l'expression de la longueur d'onde de De Broglie : \[\fbox{\(\lambda=\frac{h}{p}\)}\] où \(h\) est la constante de Planck et \(p=mv\) est l'impulsion de la particule.

Expérience des fentes de Young

Maintenant que l'on a introduit la longueur d'onde de particules telles que les électrons, reprenons une expérience célèbre permettant de mettre en évidence le caractère ondulatoire à la fois de la lumière et des particules. Il s'agit des fentes de Young. Si un faisceau est envoyé à travers deux fentes comme dans la figure trois, alors on observe sur un écran placé derrière une figure d'interférences, à savoir une alternance de zones sombres et lumineuses. Curieusement, il y a des zones d'ombres où les électrons ne vont pas du tout. C'est que l'onde de matière passant par une fente interfère avec l'onde passant par l'autre fente, et là où les interférences sont destructives, il n'y a plus d'intensité. Cela a lieu si le décalage entre les ondes émergeant des deux fentes est tel que le maximum d'une onde se compense avec le minimum de l'autre, comme deux vagues sur la surface de l'eau qui viendraient s'annuler mutuellement.

Figure 3 - Expériences des fentes de Young permettant de mettre en évidence le caractère ondulatoire aussi bien de la lumière que de la matière. Sur l'écran on observe une figure d'interférence avec une alternance de zones brillantes et de zones d'ombre.

On peut utiliser ce phénomène pour mesurer la longueur d'onde du rayonnement. En effet, la première zone d'ombre se trouve, par rapport à la tâche centrale, à un angle de : \[\alpha=\frac{\lambda}{2d}\] où \(\lambda\) est la longueur d'onde du rayonnement et \(d\) est la distance qui sépare les deux fentes.