La loi de Snell sur la réfraction
La loi de Snell s'applique lorsque le phénomène de réfraction se produit.
Laréfraction est le processus par lequel les ondes changent de direction lorsqu'elles voyagent entre différents milieux dans lesquels la lumière se propage à des vitesses différentes.
Ces milieux ont des indices de réfraction différents. L'indice de réfraction d'un milieu, \N( n \N), est donné par
$$n=$n=$c}{v},$$$.
où \( c \N) est la vitesse de la lumière dans le vide et \N( v \N) est la vitesse de la lumière dans le milieu, toutes deux mesurées en mètres par seconde \N( (\Nmathrm{m/s}) \N). Comme les unités du numérateur et du dénominateur de l'équation de l'indice de réfraction sont les mêmes, la valeur de \N( n \N) doit être sans unité - c'est un rapport. Par exemple, l'indice de réf raction de l'air est approximativement de 1, et celui de l'eau de 1,33. L'indice de réfraction d'un milieu t'indique à quelle vitesse la lumière s'y déplace : plus la valeur de \( n \) est élevée, plus la lumière se déplace lentement.
Dérivation de la loi de Snell
Le diagramme ci-dessus montre la trajectoire d'un rayon lumineux qui passe d'un milieu ayant un indice de réfraction \( n_1 \N) à un milieu ayant un indice de réfraction \N( n_2 \N), où \N( n_2 > n_1 \N), et donc le rayon s'infléchit vers la normale. Tu as peut-être déjà rencontré l'équation qui relie la vitesse de la lumière à la longueur d'onde et à la fréquence d'une onde :
$$c=v\lambda,$$$
où \( c \N) et \N( v \N) représentent les mêmes quantités que dans la première équation, et \N( \Nlambda \N) est la longueur d'onde de la lumière mesurée en mètres.
Lorsqu'un rayon lumineux passe d'un matériau à un autre, sa fréquence ne change pas, mais sa vitesse change, ce qui signifie que sa longueur d'onde doit changer. Dans la situation illustrée ci-dessus, lorsque la lumière passe du premier milieu au suivant, sa vitesse diminue, et donc la longueur d'onde doit également avoir diminué. Le diagramme montre les fronts d'onde des rayons lumineux entrants et sortants. Tu peux voir qu'ils sont plus espacés après avoir traversé la frontière. Nous pouvons utiliser la trigonométrie ainsi que les équations énoncées précédemment pour prouver la loi de Snell.
Certaines des distances et des angles utiles sont indiqués sur le diagramme. \N- A et B représentent les distances que les rayons entrants et sortants parcourent en un certain temps (ils pourraient représenter les longueurs d'onde, ce qui donnerait le même résultat). Elles sont liées aux vitesses de la lumière dans les différents milieux par :
\N- A = v_1 T \N- \N]
\N- B = v_2 T \N]
Dans ces équations, \N( v_1 \N) et \N( v_2 \N) représentent les vitesses de la lumière dans les milieux \N( 1 \N) et \N( 2 \N), respectivement, et \N( T \N) est une période arbitraire mesurée en secondes.
Nous pouvons identifier deux triangles droits dans la limite. Ensuite, en utilisant la trigonométrie, nous pouvons relier les angles \N( \Ntheta_1 \N) et \N( \Ntheta_2 \N) aux côtés connus.
$$\sin(\theta_1)=\frac AC$$
$$\sin(\theta_2)=\frac BC$$
D'où :
$$\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\frac AB$$
$$\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\frac{v_1\mathrm T}{v_2\mathrm T}$$
$$\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\frac{v_1}{v_2}$$
Ensuite, nous pouvons exprimer les vitesses dans chaque milieu en fonction de leur indice de réfraction en utilisant la définition de l'indice de réfraction.
$$ v=\frac cn \Flèche droite \frac{v_1}{v_2}=\frac{\displaystyle\frac c{n_1}}{\displaystyle\frac c{n_2}}=\frac{n_2}{n_1}$$.
Cela conduit à l'expression :
$$\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\frac{n_2}{n_1},$$
ce qui peut être réarrangé pour donner la loi de Snell :
$$n_1\sin(\theta_1)=n_2\sin(\theta_2).$$
Équation de la loi de Snell
Telle qu'elle a été dérivée ci-dessus, la loi de Snell est la suivante
$$n_1\sin(\theta_1)=n_2\sin(\theta_2),$$
où \N( n_1 \N) est l'indice de réfraction du matériau du côté de la limite où le rayon lumineux commence et \N( n_2 \N) est l'indice de réfraction du second matériau. Le diagramme ci-dessous illustre ce que représentent les angles dans l'équation. La loi de Snell peut être utilisée pour trouver ces quantités lorsque la lumière est incidente sur différentes frontières. La procédure à suivre est expliquée dans la section suivante.
Le diagramme ci-dessus s'appelle un diagramme de rayons, et il présente plusieurs caractéristiques essentielles à retenir :
La ligne perpendiculaire à la surface du nouveau milieu est appelée la normale. Si le rayon incident se trouve le long de la normale, il n'y aura pas de réfraction, et le rayon réfracté se trouvera également le long de la normale.
L'angle entre le rayon lumineux entrant et la normale est appelé angle d'incidence.
L'angle entre le rayon sortant et la normale du côté opposé de la frontière est appelé angle de réfraction.
Procédure de la loi de Snell
La loi de Snell peut être utilisée dans de nombreux problèmes pour déterminer le comportement d'un rayon lumineux lorsqu'il rencontre une limite entre deux milieux d'indices de réfraction différents. Il existe un moyen utile de vérifier tes calculs lorsque tu travailles avec la loi de Snell. Prends l'exemple d'une voiture qui passe d'une route lisse à un champ boueux en traversant une frontière. La voiture se déplace plus lentement dans le champ que sur la route. Si la voiture pénètre dans le champ en biais, le côté de la voiture qui entre en premier dans le champ se déplace plus lentement que le côté qui reste sur la route, ce qui fait que la voiture tourne dans la direction du côté le plus lent jusqu'à ce que les deux côtés se déplacent à la même vitesse. Nous pouvons considérer un rayon lumineux de la même manière :
Si un rayon lumineux passe d'un milieu ayant un indice de réfraction plus faible à un milieu ayant un indice de réfraction plus élevé, la trajectoire du rayon sera courbée vers la normale (le rayon lumineux se déplace plus lentement dans le milieu ayant un indice de réfraction plus élevé, tout comme la voiture se déplace plus lentement dans le champ).
Si un rayon lumineux passe d'un milieu ayant un indice de réfraction plus élevé à un milieu ayant un indice de réfraction plus faible, la trajectoire du rayon s'éloignera de la normale.
Un rayon de lumière est incident sur un bloc de verre. L'angle d'incidence est de \( 45^\circ \). Quel est l'angle de réfraction ? Les indices de réfraction de l'air et du verre sont respectivement \N1 et \N1,5.
Avant de faire tes calculs, demande-toi si le rayon lumineux va se rapprocher ou s'éloigner de la normale.
Fig. 4. Schéma d'un rayon lumineux se réfractant à une frontière.
Il s'agit d'un problème dans lequel nous utilisons la loi de Snell :
$$n_1\sin(\theta_1)=n_2\sin(\theta_2)$$
Nous pouvons introduire les valeurs indiquées sur la figure :
$$\sin(45)=1.5\sin(x)$$
Cette expression peut être réarrangée pour trouver \( x\) :
$$x=\sin^{-1}(\frac{\sin(45)}{1.5})=28^\circ.$$
Exemple de la loi de Snell
Un rayon de lumière est incident sur un prisme de forme triangulaire, comme le montre le schéma ci-dessous. L'angle d'incidence sur la première face est de \N45( 45^\circ \N), et l'angle au sommet du prisme est de \N40( 40^\circ \N). Quel est l'angle de réfraction sur la deuxième face du prisme (lorsque le rayon sort du prisme dans l'air) ? Considère que le prisme est fait du même verre que dans l'exemple précédent.
Fig. 5. Schéma montrant un rayon de lumière diffracté de part et d'autre d'un prisme.
Ce problème peut sembler compliqué au premier abord, mais il suffit d'utiliser la trigonométrie et deux applications de la loi de Snell. Il est utile d'étiqueter les angles dont tu penses qu'ils pourraient être nécessaires, comme dans la figure ci-dessus. L'angle que nous voulons trouver est l'angle de réfraction de la deuxième face - il est indiqué par la lettre \N( y \N). L'angle \N( x \N) est en fait le même que dans le premier exemple. On peut le trouver en utilisant la loi de Snell pour le rayon lumineux incident sur la première limite entre le verre et le prisme :
$$\sin(45)=1.5\sin(x)$$
$$x=\sin^{-1}(\frac{\sin(45)}{1.5})=28^\circ$$
Les angles \N( x \N) et \N( a \N) forment l'angle droit entre la normale et la limite, ils s'additionnent donc à 90 degrés, et l'angle \N( a \N) peut être trouvé :
$$a=90-x=62^\circ.$$
L'angle au sommet du triangle, A, est \N( 40^\circ \N). On peut voir que ce sommet forme également un triangle avec les points où les rayons lumineux rencontrent les deux limites. Nous savons que la somme des angles d'un triangle est égale à \N180^circ \N ; nous venons de trouver l'angle \Na \N ; nous pouvons donc maintenant calculer l'angle \Nb \N :
$$40+a+b=180$$
$$b=140-a=78^\circuit$$$
Une fois de plus, les angles \N( b \N) et \N( c \N) s'additionnent pour former l'angle droit entre la normale et la limite sur le côté droit du prisme, donc \N( c \N) peut être trouvé :
$$90-b=c=12^\circ.$$
Enfin, la loi de Snell doit être appliquée à nouveau pour trouver l'angle \( y \c), qui est l'angle de réfraction lorsque le rayon lumineux quitte le prisme :
$$1.5\sin(12)=\sin(y)$$
$$y=\sin^{-1}(\frac{\sin(12)}{1.5})=8^\circ$$
Il existe un cas très particulier et intéressant de l'angle de réfraction que nous pouvons explorer à l'aide de la loi de Snell. Si nous augmentons l'angle d'incidence d'un rayon lumineux frappant une frontière, l'angle de réfraction augmentera également, jusqu'à ce qu'il soit supérieur à \( 90^\circ \). Alors, toute la lumière est réfléchie au lieu de sortir du premier milieu - c'est ce qu'on appelle la réflexion interne totale. Ce phénomène ne peut se produire que lorsque le rayon lumineux s'éloigne de la normale, c'est-à-dire lorsqu'il passe d'un matériau à faible indice de réfraction à un matériau à indice de réfraction plus élevé.
Laréflexion interne totale est le phénomène par lequel la lumière est complètement réfléchie par une limite lorsque son angle d'incidence est suffisamment grand.
La loi de Snell est la suivante
$$n_1\sin(\theta_1)=n_2\sin(\theta_2)$$
Elle peut être réarrangée comme suit
$$\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\frac{n_2}{n_1}$$
Nous voulons trouver l'angle selon lequel la lumière est réfractée le long de la frontière, appelé angle critique.
L'angle critique d'une frontière est l'angle d'incidence d'un rayon lumineux auquel il est réfracté le long de la ligne de démarcation.
Lorsque la lumière est réfléchie le long de la limite, l'angle réfracté est \N( 90^\circ \N), donc
$$\sin(\theta_2)=\sin(90)=1$$
et notre équation devient
$$\sin(\theta_c)=\frac{n_2}{n_1},$$
où \( \theta_c \) est l'angle critique. Ceci peut être réarrangé pour trouver l'angle critique :
$$\theta_c=\sin^{-1}(\frac{n_2}{n_1}).$$
La réflexion interne totale se produit lorsque l'angle d'incidence est supérieur à l'angle critique. Le phénomène de réflexion interne totale est utilisé dans de nombreuses applications différentes, telles que l'envoi d'informations par des fibres optiques et l'observation d'objets minuscules à l'aide de microscopes !
Fig. 6. La lumière est envoyée sur de longues distances le long des fibres optiques grâce à la réflexion interne totale, image de mammothmemory.
L'envoi d'informations à l'aide de fibres optiques est plus efficace que les fils de cuivre traditionnels, car les fibres optiques peuvent transporter plus d'informations avec moins de perte dans le signal. Ces fibres permettent de transférer environ 1 gigaoctet de données par seconde ! C'est incroyable ce que nous pouvons réaliser en comprenant la loi de Snell !
Loi de Snell - Points clés à retenir
La réfraction est le processus par lequel les ondes changent de direction lorsqu'elles voyagent entre différents milieux dans lesquels la lumière se propage à des vitesses différentes.
L'indice de réfraction d'un milieu est le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide et la vitesse de la lumière dans le milieu.
La loi de Snell relie les indices de réfraction de deux milieux de part et d'autre de leur frontière ainsi que les angles d'incidence et de réfraction.
La loi de Snell peut être dérivée en considérant la distance entre les fronts d'onde de part et d'autre d'une frontière qu'un rayon de lumière a traversée.
Si un rayon lumineux frappe une limite parallèle à la normale, aucune réfraction ne se produira et le rayon continuera le long de la normale.
Un rayon lumineux passant d'un milieu à indice de réfraction élevé à un milieu à indice de réfraction plus faible se courbera en s'éloignant de la normale.
Un rayon lumineux se déplaçant d'un milieu d'indice de réfraction inférieur vers un milieu d'indice de réfraction supérieur se courbera vers la normale.
La réflexion interne totale est le phénomène par lequel la lumière est complètement réfléchie par une limite lorsque son angle d'incidence est suffisamment grand.
L'angle critique d'une limite est l'angle d'incidence d'un rayon lumineux auquel il est réfracté le long de la ligne de démarcation.
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