Définition de la loi d'Ampère
En 1861, André-Marie Ampère a proposé une équation générale qui reliait le phénomène des courants électriques aux champs magnétiques. L'équation ne prenait en compte que les courants se déplaçant à l'état stable, et n'était pas en mesure de traiter les courants électriques variant dans le temps. Quatre ans plus tard, en 1865, James Clerk Maxwell s'est mis en tête de généraliser l'équation de façon à ce qu'elle puisse traiter tous les cas concernant les courants électriques. L'équation qui en résulte, parfois appelée équation d'Ampère-Maxwell, comprend un terme appelé courant de déplacement, qui tient compte des courants variables dans le temps.
La loi est basée sur le calcul, entourant le courant électrique d'une boucle ampérienne théorique. Mais qu'est-ce qu'une boucle ampérienne ?
Une boucle amp érienne est un chemin fermé autour d'un conducteur porteur de courant.
Comprenons maintenant comment appliquer ce concept théorique dans les intégrales de lignes pour trouver le champ magnétique dû à un fil conducteur de courant.
Formule de la loi d'Ampère
Dans cette section, nous expliquerons la forme originale de la loi d'Ampère, ainsi que l'ajout de Maxwell, en comprenant les motivations derrière les deux versions.
La loi d'Ampère
L'équation de la loi d'Ampère est donnée par la formule suivante
\[ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \mu_0 I_{text{enclosed}} ,\]
où \(\vec{B}\) est le champ vectoriel magnétique autour du courant électrique mesuré en \(\mathrm{\frac{A}{m}}\), \(\mathrm{d} \vec{l}\) est le vecteur élément de ligne infinitésimal mesuré en \(\mathrm{m}\), \(\mu_0\) est la perméabilité du vide donnée par une valeur de \(4\pi \times 10^{-7} \, \mathrm{\frac{H}{m}} \), et \( I_{text{enclosed}}\) est le courant enfermé par la boucle ampérienne mesuré en ampères \(\mathrm{A}\). Tu devrais être familiarisé avec ce principe grâce aux cours de calcul précédents, mais pour rappel, \(\oint\) représente l'intégrale de ligne unidimensionnelle en boucle fermée.
Loi d'Ampère-Maxwell
Passons maintenant à la correction que Maxwell a apportée à la loi d'Ampère. L'une des règles fondamentales de la physique à laquelle toutes les équations doivent obéir est la conservation . Dans les systèmes impliquant des pièces en mouvement, tous les objets doivent obéir à la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement. De même, dans les systèmes électriques et magnétiques, le système doit obéir à la conservation de la charge. Maxwell a découvert que la loi d'Ampère n'obéit pas à la conservation de la charge, et qu'il doit donc y avoir un terme manquant dans cette équation.
La nouvelle loi que Maxwell a modifiée est donc la suivante
\[ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\mathrm{d} \Phi_{\text{E}}{\mathrm{d} t} ,\]
où le nouveau terme supplémentaire inclut la permittivité du vide \( \epsilon_0\) donnée par une valeur de \( 8.85 \ctimes 10^{-12} \cathrm{\frac{F}{m}} \c), \c(\cPhi_{\text{E}}\c) est le flux du champ électrique mesuré en \c(\cathrm{V \c, m} \c), et \c(t\c) est la variable temporelle mesurée en \c(\cathrm{s}\c).
Loi de Biot-Savart et loi d'Ampère
La loi de Biot Savart est une autre équation qui nous permet de calculer le champ magnétique généré par un courant électrique. Elle permet de calculer le champ magnétique dans une situation plus complexe et moins symétrique. L'équation est donnée par
\[ \vec{B}(r) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_C \frac{I \, \mathrm{d} \vec{l} \times \vec{r} }{| \vec{r} |^3} ,\]
où notre intégrale contient maintenant l'élément de ligne infinitésimal \(\mathrm{d} \vec{l}\) le long du chemin intégral \(C\) et \(\vec{r}\) est la distance vectorielle entre le point sur le fil et le point où le champ magnétique est calculé.
Un point important à noter à propos de cette équation est le produit en croix entre \(\mathrm{d} \vec{l}\) et \(\vec{r}\), cela souligne pour nous que la direction du champ magnétique résultant est orthogonale à celle de l'élément de courant.
La loi de Biot-Savart nous offre plus de souplesse dans le calcul du champ magnétique dû à un fil conducteur. Lorsque nous utilisons la loi d'Ampère, nous sommes limités aux situations où nous pouvons exploiter la symétrie du champ magnétique, par exemple, les fils droits porteurs de courant, les solénoïdes ou les dalles conductrices. En théorie, la loi de Biot Savart pourrait s'appliquer à un courant de n'importe quelle forme, à condition que l'intégrale puisse être résolue.
Exemples de la loi d'Ampère
Examinons maintenant quelques questions auxquelles nous pouvons appliquer la loi d'Ampère.
En nous référant à la figure ci-dessous, nous avons trois courants enfermés dans une boucle circulaire ampérienne de rayon \(r = 1,5 \, \mathrm{cm}\).
Fig. 1 - Trois fils parcourus par des courants électriques enfermés dans une boucle ampérienne.
Les courants enfermés dans la boucle sont donnés par les valeurs de \( I_1 = 1,2 \, \mathrm{mA}\), \(I_2 = 7,5 \, \mathrm{mA}\), et \(-5,0 \, \mathrm{mA}\). En utilisant ces valeurs et la loi d'Ampère, nous pouvons calculer le champ magnétique dû à tous les fils porteurs de courant combinés. Tout d'abord, nous devons trouver le courant net enfermé dans la boucle, ce qui est donné par
\[\N- Début{alignement} I_{{text{net}} &= I_1 + I_2 + I_3 \N- I_{text{net}} &= 1.2 \N- fois 10^{-3} \N-, \Nmathrm{A} + 7.5 \N- fois 10^{-3} \, \mathrm{A} + (- 5.0 \times 10^{-3} \, \mathrm{A} ) \\ I_{\text{net}} &= 3.7 \times 10^{-3} \, \mathrm{A} . \Nend{align} \]
Nous pouvons maintenant utiliser ceci pour résoudre notre intégrale comme suit
\[ \begin{align} \Npoint \Nvec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} &= \mu_0 I_{{text{enclosed}} \\ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} &= \mu_0 \times 3.7 \times 10^{-3} \, \mathrm{A} . \Nend{align} \]
Nous pourrions effectuer l'intégration pour résoudre \(\vec{B}\), cependant, puisque notre boucle ampérienne est un cercle, nous pouvons écrire que l'intégrale de ligne d'un cercle est égale à \(2\pi r\), où \(r\) est le rayon du cercle. Nous pouvons donc résoudre \N(B\N) comme suit
\[ \begin{align} B \time 2 \pi r &= \mu_0 \times 3.7 \times 10^{-3} \, \mathrm{A} \N- B &= \frac{ 4\pi \Nfois 10^{-7} \, \mathrm{\frac{H}{m}} \n- fois 3.7 \n- fois 10^{-3} \N- \NMathrm{A} }{2 \pi \time 1.5 \times 10^{-2} \, \mathrm{m} } \N- B &= 4.9 \N- fois 10^{-8} \, \mathrm{T}, \end{align} \]
où nous avons utilisé le fait que \( 1 \N, \Nmathrm{T} = 1 \N, \Nmathrm{\Nfrac{kg}{s^2 \N, A}} \N) et \N(1 \N, \Nmathrm{H} = 1 \N, \Nmathrm{\Nfrac{kg \N, m^2}{s^2 \N, A^2}) \N).
Nous pouvons également considérer un deuxième exemple dans lequel nous trouvons le champ magnétique à l'intérieur d'un fil conducteur de courant.
Nous pouvons maintenant utiliser la loi d'Ampère pour calculer le champ magnétique à l'intérieur d'un long fil conducteur de courant. En te référant à la figure ci-dessous, nous avons un fil droit, tridimensionnel et porteur de courant.
En chaque point du fil, nous avons une densité de courant \(J\), la quantité de courant par unité de surface dans la section transversale du fil. Si le courant traversant l'ensemble du fil est \N(I\N), nous pouvons définir la densité de courant comme suit
\[ J = \frac{I}{\pi R^2} ,\]
où \(J\) est la densité de courant mesurée en unités de \(\mathrm{\frac{A}{m^2}}\), \(I\) est le courant mesuré en \(\mathrm{A}\), et \(R\) est le rayon du fil mesuré en \(\mathrm{m}\). Essayons maintenant d'appliquer la loi d'Ampère en dessinant la boucle ampérienne de telle sorte qu'elle ait un rayon \(r\), plus grand que le rayon du fil \(R\).
Pour trouver le courant enfermé par cette boucle, nous multiplions la densité de courant \(J\) par la surface de la boucle, ce qui donne
\N- [\N- Début{align} I_{{text{enclosed}} &= J \pi r^2 \\N- I_{text{enclosed}} &= I \frac{\bcancel{\pi} r^2 }{ \bcancel{\pi} R^2} \\N- I_{{text{enclosed}} &= I \frac{r^2}{R^2} . \N-END{align} \]
En substituant ceci à la loi d'Ampère, nous trouvons que
\[ \begin{align} \Npoint \Nvec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} &= \mu_0 I_{{text{enclosed}} \ B 2 \pi r &= \mu_0 I \frac{r^2}{R^2} \ B &= \mu_0 \frac{Ir}{ 2 \pi R^2 } . \Nend{align} \]
Voici donc l'expression du champ magnétique à l'intérieur d'un fil conducteur de courant.
Application de la loi d'Ampère
Jusqu'à présent dans l'article, nous n'avons abordé que les applications de la loi d'Ampère dans les fils droits, porteurs de courant, mais la loi d'Ampère peut également s'appliquer à d'autres formes porteuses de courant, comme un solénoïde. Dans les discussions précédentes sur l'électromagnétisme, nous avons déjà rencontré l'équation du champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde, qui est la suivante
\[ B = \mu_0 \frac{N I}{L} ,\]
où \(N\) est le nombre de tours dans la bobine du solénoïde, \(L\) est la longueur de la bobine mesurée en \(\mathrm{m}\), et tous les autres symboles sont les mêmes que dans les équations précédentes. Pour dériver cette équation à l'aide de la loi d'Ampère, considérons une boucle ampérienne carrée contenant un côté de la bobine du solénoïde.
Pour résoudre le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde, nous devons calculer l'intégrale de ligne. En nous référant à la figure, nous pouvons décomposer l'intégrale de ligne en quatre composantes représentant les quatre bords de la boucle rectangulaire. Il en résulte
\[ \N- \Noint \N- \Nvec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \int_A^B \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} + \int_B^C \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} + \int_C^D \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} + \int_D^A \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} ,\]
où \(A, B, C\) et \(D\) représentent les bords étiquetés de la boucle rectangulaire. Nous pouvons maintenant simplifier et annuler certaines composantes en analysant le produit de points. En considérant d'abord l'intégrale entre les bords \N(B\N) et \N(C\N) et \N(D\N) et \N(A\N), nous pouvons voir que le champ magnétique est perpendiculaire à la boucle, ce qui rend le produit de point nul. D'autre part, l'intégrale entre le point \(C\) et \(D\) est également nulle en raison du fait que le champ magnétique juste à l'extérieur du solénoïde est nul.
Cela nous laisse avec l'intégrale finale entre le point \N(A\N) et \N(B\N) ; en supposant que la section de la courbe est de longueur \N(L\N), nous pouvons la simplifier comme suit
\[ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = BL .\]
Enfin, pour combiner ce résultat avec la loi d'Ampère, nous devons encore calculer la quantité de courant contenue dans la boucle. Le courant contenu dans \(N\) tours du solénoïde est donné par
\[ I_{\text{enclosed}} = NI,\]
où \(I\) est le courant dans la bobine et \(N\) est le nombre de tours enfermés par la boucle ampérienne.
Nous pouvons donc introduire tous ces résultats dans la loi d'Ampère pour trouver que
\[ \begin{align} \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} &= \mu_0 I_{text{enclosed}} \N- BL &= \Nmu_0 NI \N- B &= \Nfrac{\Nmu_0 NI}{L} . \n-{align} \]
Loi d'Ampère - Principaux enseignements
- Une boucle ampérienne est un chemin fermé autour d'un conducteur porteur de courant.
- La loi originale d'Ampère est donnée par \( \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \mu_0 I_{text{enclosed}} \).
- Plus tard, Maxwell a adapté la loi d'Ampère pour tenir compte des courants variables dans le temps, ce qui a donné \( \oint \vec{B}) \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\mathrm{d} \Phi_{\text{E}}{\mathrm{d} t} \).
- La loi de Biot-Savart est une loi similaire mais plus compliquée à calculer. Elle est donnée par \( \vec{B}(r) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_C \frac{I \, \mathrm{d} \vec{l} \times \vec{r} }{| \vec{r} |^3} \).
Références
- Fig. 1 - Courants fermés, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Courant dans un fil, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Boucle ampérienne pour un solénoïde, StudySmarter Originals.
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