Le modèle du gaz parfait

Signification du modèle des gaz idéaux

Le modèle des gaz idéaux nous permet de comprendre le comportement des gaz. Même si aucun gaz n'est idéal dans le monde réel, la simplification du concept permet d'obtenir de bonnes approximations du comportement des gaz réels dans la plupart des conditions. L'étude du comportement des gaz a permis de faire certaines généralisations. Ces généralisations sont appelées lois des gaz. Ces lois sur les gaz donnent des relations quantitatives entre deux variables quelconques lorsque les deux autres sont maintenues constantes. Discutons des différentes lois sur les gaz en détail.

Hypothèses du modèle des gaz idéaux

Si l'on considère que le modèle des gaz idéaux se réfère à un système hypothétique, certaines hypothèses doivent être respectées pour assurer la cohérence. Les quatre principales hypothèses sont :

• Un gaz idéal est composé de nombreuses molécules identiques en forme de points, réparties vraiment très loin les unes des autres, de sorte que les forces intermoléculaires sont négligeables ;

• Les molécules de gaz idéal subissent des mouvements aléatoires et obéissent aux lois du mouvement de Newton ;

• Les molécules de gaz idéal subissent des collisions élastiques avec les parois du récipient dans lequel elles se trouvent ;

• Les molécules de gaz idéal ne subissent que des collisions complètement élastiques entre elles.

La première loi du modèle des gaz idéaux

La première loi du modèle des gaz idéaux a été définie par le physicien anglo-irlandais Robert Boyle. Boyle a étudié la relation entre la pression et le volume d'une masse donnée d'un gaz à une température constante. Cette relation est connue sous le nom de Loi de Boyle.

Le modèle des gaz idéaux Deuxième loi

La deuxième loi du modèle du gaz idéal est la loi de Charles. Charles a étudié l'effet de la température sur le volume des gaz à pression constante. Il a observé la généralisation suivante sur la relation entre le volume et la température du gaz, connue sous le nom de loi de Charles.

Loi de Charles en degrés Kelvin

En 1848, un scientifique britannique, Lord Kelvin, a proposé une nouvelle échelle de température connue sous le nom d'échelle absolue de température. Elle commence au zéro absolu, \(0^\circircmathrm{K}\), où les particules ont une énergie cinétique nulle. L'incrément est le même que pour l'échelle Celsius, donc \(1^ircc\mathrm{K}=1^ircc\mathrm{C}.\NLa température Kelvin est également appelée l'échelle thermodynamique de la température et est utilisée dans toutes les mesures scientifiques. Cela a permis de simplifier la relation entre la température et le volume gazeux.

Le zéro absolu, ou \(0^\circircmathrm{K} \), est équivalent à \(-273,15^\circmathrm{K} \circmathrm{K}). Par conséquent, pour convertir une température en degrés Celcius, \(T_\mathrm{C}\) en degrés Kelvin \(T_\mathrm{K}\), nous pouvons utiliser la formule :

$$T_K=T_C+273.15$$.

La loi de Charles peut être exprimée en degrés Kelvin. Supposons que

$$T_0=0^\circ\mathrm{C}=273.15^\circ\mathrm{K}$$

où \(T_0\) est la température initiale, et donc \(V_0\) est le volume initial d'un gaz donné à cette température initiale. D'après la définition de la loi de Charles, si la température augmente de \(1 \, ^\circ\mathrm{K} \), le volume augmentera proportionnellement de :

$$ V_0 \cdot \frac{1}{T_0}$$.

Par conséquent, si la température augmente de \(t\), le volume augmentera de

$$ \Delta V = V_0 \cdot \frac{1}{T_0} \cdot t.$$

Disons que \(V_\mathrm{T}\) est le volume à n'importe quelle température \(T\), et \(t\) est la différence entre la température initiale \(T_0\) et la température finale \(T\), donc :

$$t=T-T_0$$.

Le volume final \(V_\mathrm{T}\) est la somme du volume initial et de l'augmentation de volume, on obtient donc :

$$V_\mathrm{T} = V_0 + \frac{V_0 \cdot t}{T_0} = V_0 \left [ 1+\frac{t}{T_0} \right ] $$.

où le terme entre crochets peut être développé et exprimé en degrés Kelvin

$$ \left [ 1+\frac{t}{T_0} \right ] = \frac{T_0 + t}{T_0}=\frac{T_0 + (T-T_0)}{T_0}= \frac{T}{T_0} $$

Les volumes et les températures peuvent maintenant être combinés dans l'expression suivante

$$V_\mathrm{T}=\frac{V_0 \, T}{T_0}$$$

$$ \frac{V_\mathrm{T}}{V_0} = \frac{T}{T_0}$$$

$$\frac{V_\mathrm{T}}{T} = \frac{V_0}{T_0}$$.

Ainsi ,

$$\frac{V}{T} = \mathrm{constante} = k_2$$

où \(k_2\) est une constante qui dépend de la pression et de la masse du gaz, ainsi que des unités de volume. L'expression ci-dessus peut être réécrite comme suit

$$ V = k_2 \, T $$$

$$ V \propto T $$

et est visualisée dans la figure ci-dessous.

Fig 2 - Un exemple pratique de la loi de Charles. Lorsque la température du gaz dans le récipient augmente, le volume augmente également, ce qui prouve la proportionnalité directe, Wikimedia Commons.

La loi de Charles peut également être exprimée comme le volume d'une masse fixe d'un gaz étant directement proportionnel à la température absolue, tandis que la pression reste constante . La formule de travail de la loi de Charles est la suivante :

$$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} = \mathrm{constante}. $$

Le modèle des gaz idéaux Troisième loi

La troisième loi du modèle des gaz idéaux est la loi de Gay-Lussac. Elle définit la relation entre la pression et la température et a été découverte par Joseph Gay-Lussac.

Mathématiquement, elle peut être exprimée comme suit ,

$$p \propto T $$

où la pression \(p\) est directement proportionnelle à la température \(T\). À partir des conditions de proportionnalité, nous pouvons arriver à la conclusion que,

$$ \frac{p}{T} = \mathrm{constante} = k_3 $$

$$ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}. $$

L'équation ci-dessus a été obtenue en combinant la loi de Boyle et la loi de Charles.

Quatrième loi du modèle des gaz idéaux

La quatrième loi du modèle des gaz idéaux est la loi d'Avogadro. Amadeo Avogadro a étudié la relation entre le volume d'un gaz et le nombre de molécules à température et pression constantes. Cette relation a été acceptée comme une loi et est connue sous le nom de loi d'Avogadro.

Mathématiquement, la loi d'Avogadro peut être exprimée comme suit, où \((V)\) représente le volume et \((n)\) le nombre de moles.

$$V \propto n. $$

En d'autres termes, le volume est directement proportionnel au nombre de moles alors que la température et la pression restent constantes, ce qui implique :

$$V = k_4 \cdot n$$.

$$\frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} = \mathrm{constante} = k_4.$$

A partir de cette expression, on obtient l'équation finale

$$ \frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} $$

La loi des gaz idéaux

Toutes les lois mentionnées ci-dessus peuvent être combinées sous la forme d'une loi singulière. Les propriétés macroscopiques d'un gaz idéal sont liées par la loi des gaz idéaux.

Mathématiquement, elle peut être exprimée comme suit

$$ pV = nRT $$

où le volume \(V\) d'un gaz dépend du nombre de moles \(n\), de la pression \(p\) et de la température \(T\). Ici, \(R\) est la constante universelle des gaz égale à \(8,314 \, \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol \cdot K}}\).

Le modèle des gaz idéaux Thermodynamique

La loi des gaz idéaux définit le comportement des gaz idéaux en fonction de leur pression, de leur volume et de leur température. Tu sais peut-être que la thermodynamique est l'étude de la relation entre la chaleur et les autres formes d'énergie. L'un des fondateurs de la thermodynamique, le physicien allemand Julius von Mayer, a découvert que la chaleur ajoutée à un gaz a une équivalence en travail mécanique. En d'autres termes, on peut définir une relation entre la quantité d'énergie transférée à un gaz et le changement de température correspondant en utilisant la capacité thermique spécifique du gaz.

Selon que le gaz est maintenu à un volume constant ou que le récipient est autorisé à se dilater et que le gaz reste à une pression constante, la capacité calorifique spécifique a des valeurs différentes :

$$C_p=\mathrm{Spécifique}\;\mathrm{chaleur}\;\mathrm{capacité}\;\mathrm{at}\;\mathrm{constant}\;\mathrm{pression}$$$.

$$C_v=\mathrm{Spécifique}\\N;\mathrm{chaleur}\N;\mathrm{capacité}\N;\mathrm{at}\N;\mathrm{constante}\N;\mathrm{volume}$$

La quantité d'énergie thermique transférée au gaz en joules \((\mathrm{J})\) est alors donnée par \(Q_p\) (à pression constante) ou \(Q_v\) (à volume constant).

$$Q_p=mC_p\NDelta T$$

Q_v=mC_v\Delta T

Où \(m\) est la masse de gaz en \(\mathrm{kg}\) et \(\Delta T\) est le changement de température en \(^\circ \mathrm{K}.\).

La loi des gaz idéaux peut être utilisée pour représenter le changement de température en termes de changements de pression ou de volume, ce qui est utile pour analyser les cycles thermodynamiques tels que le cycle d'Otto ou le cycle diesel.

Les équations du modèle des gaz idéaux

Le modèle des gaz idéaux comporte un ensemble de quatre équations principales qui sont largement utilisées pour tout type de calculs et de mesures. L'ensemble de ces équations constitue la loi des gaz idéaux. Toutes ces équations sont dérivées et expliquées ci-dessus et sont compilées ici pour en faciliter l'accès et la compréhension.

1. Loi des gaz idéaux (pV=nRT\)
2. Loi de Boyle (relation pression-volume) : \N(p_1 \N, V_1 = p_2 \N, V_2 \N)
3. Loi de Charles (relation volume-température) : \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\)
4. Loi de Gay Lussac (relation pression-température) : \(\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\)
5. Loi d'Avogadro (relation entre le volume et la quantité) : \(\frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2}\)

Fig 3 - Toutes les relations du modèle des gaz idéaux sont liées entre elles, car elles décrivent toutes le comportement des gaz en fonction de paramètres variables.