Définition de la première loi de Kirchhoff
En 1845, un étudiant en physique prussien, Gustav Kirchhoff, a étudié le comportement des courants et des différences de potentiel dans les circuits contenant de multiples boucles et nœuds ou jonctions. En appliquant la loi d'Ohm à ces circuits, il a réussi à généraliser les résultats en deux lois simples qui sont, à ce jour, incroyablement utiles dans le domaine de l'ingénierie électrique. Leur principale utilité est de réduire des schémas de circuits incroyablement complexes en des ensembles d'expressions algébriques simples.
Fig. 1 - Gustav Kirchoff (1824-1887) était un physicien prussien qui a apporté d'importantes contributions à la compréhension des circuits électriques, notamment ses deux lois.
La première de ces lois, connue sous le nom de Règle de la jonction de Kirchhoff, concerne le courant qui entre et sort de la jonction d'un circuit et sera au centre de cet article. Rappelle que le courant à l'intérieur d'un fil est simplement la vitesse à laquelle la charge circule à travers ce fil. Il est courant que les circuits comportent des jonctions, comme le montre la figure 2, où le courant dans un fil se divise en deux fils ou plus. La règle de Kirchhoff sur les jonctions garantit que le courant qui entre dans une jonction est toujours le même que celui qui en sort.
Larègle des jonctions de Kirchhoff stipule que la somme des courants qui se rencontrent à une jonction d'un circuit doit toujours être nulle.
Fig. 2 - Exemple de jonction dans un circuit. La règle de jonction de Kirchoff stipule que \(i_2+i_3=i_1+i_4\).
Équation décrivant la règle de jonction de Kirchhoff
Si un ensemble de courants \(I_1,I_2,\dots,I_k\) se rencontrent à une jonction, la règle de jonction de Kirchhoff peut être exprimée algébriquement en attribuant un signe \(\pm\) à chaque courant selon qu'il entre ou qu'il sort de la jonction. Par convention, les courants qui entrent dans une jonction reçoivent un signe \(+\), et ceux qui en sortent un signe \(-\). La règle de Kirchhoff sur les jonctions peut donc être exprimée par l'équation suivante
\[\sum_{k,\text{entering}} I_k-\sum_{l,\text{leaving}}I_l=0\,\mathrm{A}.\]
Par exemple, dans la figure 2, \N(i_2\N) et \N(i_3\N) entrent dans la jonction et \N(i_1\N) et \N(i_4\N) quittent la jonction, donc
\N- [\N-&i_2+i_3-i_1-i_4=0,\N-\N- &i_2+i_3=i_1+i_4,\Nend{align}\N].
démontrant que la somme des courants entrant dans la jonction doit être égale à la somme des courants sortant de la jonction. Inversement, si le sens d'un courant n'est pas connu, il peut être déterminé par la règle de la jonction de Kirchhoff en supposant qu'il entre ou sort de la jonction et en trouvant son signe. Si sa valeur est négative, c'est que l'hypothèse était erronée.
Pour donner un exemple simple, considère les courants dans un circuit en série comme le montre la figure 3. Nous devons faire attention à la façon dont nous définissons le signe du courant à chaque jonction, car le même courant peut avoir un signe différent selon la jonction que nous considérons. Si le courant circule dans le sens des aiguilles d'une montre, de la borne positive à la borne négative, nous pouvons attribuer un signe positif aux courants qui entrent dans la jonction et des signes négatifs à ceux qui en sortent. Dans la figure 3, nous pouvons dire que chaque coin est une jonction, donc chaque "jonction" n'a qu'un seul courant entrant et un seul courant sortant, donc la règle de Kirchhoff sur les jonctions nous dit que ce qui suit doit se produire\N-[\N-{align} &I_1-I_2=0\,\mathrm{A},\\N &I_2-I_3=0\,\mathrm{A},\N &I_3-I_4=0\,\mathrm{A},\N&I_4-I_1=0\,\mathrm{A},\N\Nimplique que &I_1=I_2=I_3=I_4.\N-END{align}\N-]
En d'autres termes, le courant dans un circuit en série est le même en tout point du circuit.
Fig. 3 - La règle de jonction de Kirchoff exige que le courant dans un circuit en série soit égal partout, c'est-à-dire \(I_1=I_2=I_3=I_4\) dans le circuit ci-dessus.
Exemples de la règle de jonction de Kirchhoff
Voyons quelques façons d'utiliser la règle de jonction de Kirchhoff pour analyser les schémas de circuit et calculer les courants manquants.
Fig. 4 - La règle de jonction de Kirchhoff nous permet de résoudre des circuits comme celui ci-dessus sans connaître la tension de la batterie.
Considère le schéma de circuit donné ci-dessus, dans lequel nous voulons trouver les courants de branche manquants \(I_1,I_2,I_3\). Chaque branche contient une résistance d'une valeur différente. Immédiatement, la règle de jonction de Kirchhoff nous dit que \(I_1=5\,\mathrm{A}\) car le courant entrant dans la batterie doit être le même que le courant sortant de la batterie (nous pouvons prendre la batterie comme jonction et voir cela directement). Ensuite, nous devons trouver les courants \(I_2\) et \(I_3\). En regardant la jonction de droite et en supposant que les deux courants \N(I_2\N) et \N(I_3\N) vont de la droite vers la gauche, la règle de jonction stipule que \N[\N-[\N-[\N-[\N-[\N]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-]].
Nous pouvons utiliser \(V=IR\), en notant que le potentiel dans les circuits en parallèle est le même entre les branches, pour trouver la proportion de courant qui circule dans chaque branche. Comme le courant est inversement proportionnel à la résistance, la résistance \(2\N,\Nmathrm{\NOmega}\N) sera traversée par deux fois plus de courant que la résistance \N(4\N,\Nmathrm{\NOmega}\N). Par conséquent, \N(I_3=2I_2\N) et donc \N[\N- Début{alignement}3I_2&=5\N,\Nmathrm{A},\N\Nimplique que I_2&=\Nfrac{5}{3}\N,\Nmathrm{A},\N\Nimplique que I_3&=\Nfrac{10}{3}\N,\Nmathrm{A}.\NFin{alignement}\N].
Comme nous obtenons des valeurs positives pour les courants inconnus, nous savons que notre hypothèse sur leur direction était correcte, et nous concluons donc que les courants vont effectivement de droite à gauche.
Fig. 5 - La règle de jonction de Kirchoff est particulièrement utile pour les schémas de circuit plus complexes où \(V=IR\) devient plus difficile à utiliser.
Si l'utilisation de \(V=IR\) pour trouver les quantités manquantes est généralement la méthode la plus simple pour résoudre les circuits, si un circuit est particulièrement complexe, comme celui de la figure 5, la règle de jonction de Kirchhoff est alors la méthode la plus efficace. Appliquons-la pour trouver les courants manquants \(I_1,I_2,I_3\).Tout d'abord, nous pouvons appliquer la règle de jonction pour trouver \(I_1\). Comme \N- I_1\N sort d'une jonction dans laquelle entrent un \N(3\N,\Nmathrm{A}\Ncourant) et un \N(6\Nmathrm{A}\Ncourant), nous savons que \N[\N- \NBegin{align}&-I_1+3\,\mathrm{A}+6\,\mathrm{A}=0\,\mathrm{A},\\ xml-ph-0000@deepl.internal \implies &I_1=9\,\mathrm{A}.\N- [Fin{align}\N]
Comme prévu, la valeur positive que nous obtenons pour \(I_1\) nous indique que notre hypothèse était correcte et que le courant \(I_1\) doit sortir de la jonction, de la droite vers la gauche.
À la jonction suivante, en appliquant le signe correct pour la direction du courant comme indiqué dans le schéma du circuit, nous trouvons\[\N-[\N-{align}I_1-I_2-2\N,\Nmathrm{A}&=0,\Nmathrm{A},\N\Nimplique que I_2=I_1-2\N,\Nmathrm{A}&=7,\Nmathrm{A}.\N-[\N-[\N-{align}]
Encore une fois, comme prévu, la valeur positive confirme que \(I_2\) s'écoule hors de la jonction, vers le bas.
Il y a deux jonctions que nous pouvons choisir pour trouver \(I_3\), choisissons la jonction inférieure. Il peut sembler que nous ne sachions pas quel est le troisième courant à cette jonction, avec \N(I_2\N) et \N(I_3\N). Cependant, note qu'il n'y a pas d'autres jonctions entre celle-ci et le courant \(3\N,\Nmathrm{A}\N) provenant de la batterie inférieure et qu'il s'agit donc du troisième courant impliqué. En appliquant la règle de la jonction, en supposant que \N(I_3\N) va de gauche à droite (comme indiqué sur l'image), on obtient\N[\N- Début{alignement}I_2+I_3-3\N,\Nmathrm{A}&=0\N,\Nmathrm{A},\N\Nimplique que I_3=3\N,\Nmathrm{A}-7\Nmathrm{A}&=4\N,\Nmathrm{A}.\N- [Fin{align}\N-]
Attends, nous avons obtenu une valeur négative ! Cela signifie que notre hypothèse sur la direction de \(I_3\) était erronée. Nous concluons que \(I_3=4\,\mathrm{A}\) mais sa direction est en fait de droite à gauche. L'image est fausse !
C'est l'une des propriétés les plus utiles des lois de Kirchhoff : elles peuvent corriger toute hypothèse initiale incorrecte concernant la direction d'un courant.
Règle de jonction de Kirchhoff : Conservation du courant
La règle de la jonction de Kirchhoff est simplement une déclaration sur la conservation du courant dans un circuit. La conservation du courant est elle-même une conséquence de la loi fondamentale de la conservation de la charge. En tant que loi fondamentale de conservation, aucun système ne peut jamais violer la conservation de la charge.
Laloi de conservation du courant stipule qu'à tension et résistance fixes, le courant ne peut être ni créé ni détruit dans le circuit.
Laloi de conservation de la charge électrique stipule que la charge électrique totale d'un système isolé, c'est-à-dire la somme de toutes les charges négatives et positives d'un système, doit toujours rester constante. Par exemple, la charge totale de l'univers est restée constante depuis le Big Bang.
Pour illustrer la relation entre la conservation de la charge et la règle de la jonction de Kirchhoff, imaginons un scénario dans lequel la règle de la jonction ne s'applique pas.
Considérons trois courants \(I_1,I_2,I_3\) qui se rencontrent à une jonction, où \(I_1,I_2\) entrent dans la jonction et \(I_3\) la quittent. Disons que
\N- [I_1+I_2-I_3=x\N,\Nmathrm{A},\Ntext{ où } x\Nneq 0\N,\Nmathrm{A}.\N]
D'après la définition du courant, cela signifie que chaque seconde, \(x\,\mathrm{C}\) de charge est spontanément détruite à la jonction. Il est clair que cela viole la loi fondamentale de la conservation de la charge, de sorte que la règle de Kirchhoff sur les jonctions doit toujours s'appliquer.
Première et deuxième loi de Kirchhoff
La deuxième loi de Kirchhoff, connue sous le nom de règle de la boucle de Kirchhoff, concerne la somme des différences de potentiel autour d'une boucle dans un circuit fermé. Lorsqu'elle est utilisée en tandem avec la règle de la jonction de Kirchhoff, elle devient un outil puissant pour analyser des circuits complexes et trouver des quantités inconnues telles que les différences de potentiel, les résistances et les courants.
Larègle de la boucle de Kirchhoff stipule que la somme des différences de potentiel autour de toute boucle d'un circuit doit être nulle :\[\sum_kV_k=0\,\rmathrm{V}.\N- \N].
La règle des boucles de Kirchhoff peut être considérée comme une conséquence de la conservation de l'énergie. Comme la plupart des circuits parallèles contiennent plusieurs boucles, il est possible de choisir la boucle la plus simple pour appliquer la règle de la boucle de Kirchhoff, ce qui simplifie souvent les problèmes de façon radicale. Pour appliquer la règle de la boucle, nous considérons les piles comme des sources de différence de potentiel positive, tandis que les composants, tels que les résistances, sont des sources de différence de potentiel négative. Examinons un exemple de problème dans lequel nous pouvons appliquer les deux règles pour trouver les quantités manquantes.
Fig. 6 - L'application des deux lois de Kirchoff est nécessaire pour résoudre le circuit ci-dessus.
Dans cet exemple, nous allons examiner un circuit quelque peu complexe, contenant des résistances et un condensateur en parallèle. Ici, le condensateur est à l'état stable, ce qui signifie qu'aucun courant ne le traverse. Il y a cependant une accumulation de charge \(Q\) sur le condensateur donnée par \[Q=CV,\]
où \(C=5\times10^{-9}\,\mathrm{F}\) est la capacité et \(V\) est la tension que nous ne connaissons pas encore.
Nous pouvons appliquer les deux lois de Kirchhoff pour trouver les différences de potentiel et les courants manquants dans le circuit ci-dessus, ce qui nous permet également de trouver la charge du condensateur.
Tout d'abord, la règle de la jonction de Kirchhoff nous dit que les courants \(I_1\) et \(I_2\) entrant et le courant \(I_3\) quittant la jonction à droite doivent satisfaire\N[\NBegin{align}I_1+I_2-I_3&=0\N,\Nmathrm{A},\N\Nimplique que I_1+I_2&=I_3.\N- [end{align}\N]
La jonction gauche est simplement le même cas, avec les signes des courants inversés, ce qui conduit à une équation équivalente.
La règle des boucles de Kirchhoff nous donne deux conditions supplémentaires, à partir desquelles nous pouvons résoudre toutes les variables inconnues. Nous pouvons choisir plusieurs boucles différentes, mais l'option la plus simple consiste à diviser le circuit en deux boucles principales, supérieure et inférieure, qui contournent toutes deux le condensateur. Nous savons que la somme des différences de potentiel autour de chaque boucle doit être nulle, ce qui donne les équations suivantes.[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N]]]]]
Nous pouvons exprimer les différences de potentiel inconnues en termes de courants et de résistances des résistances en utilisant \(V=IR\), qui, lorsqu'il est combiné avec les équations de la règle de jonction de Kirchhoff, forme un ensemble d'équations simultanées solubles.
\[\begin{align} xml-ph-0000@deepl.internal &I_1+I_2=I_3\tag{1},\\ xml-ph-0001@deepl.internal &5\,\mathrm{V}-(3\,\mathrm{\Omega})I_1-(1\,\mathrm{\Omega})I_3=0\,\mathrm{V}\tag{2},\\ xml-ph-0002@deepl.internal &3\,\mathrm{V}-(1\,\mathrm{\Omega})I_3-(4\,\mathrm{\Omega})I_2=0\,\mathrm{V}\tag{3}.\[end{align}\N-]
Si nous divisons les deux dernières équations par l'unité \(\Omega\), nous obtenons trois équations de courant :
\[\begin{align}&I_1+I_2=I_3\tag{1},\\&5\,\mathrm{A}-3I_1-I_3=0\,\mathrm{A}\tag{2},\\&3\,\mathrm{A}-I_3-4I_2=0\,\mathrm{A}\tag{3}.\end{align}\]
En substituant \(I_3\) comme indiqué dans la première équation dans les deux autres équations, on obtient\[\Begin{align}&5\,\mathrm{A}-4I_1-I_2=0\,\mathrm{A}\Ntag{4},\N&3\,\mathrm{A}-I_1-5I_2=0\N- \mathrm{A}\n- \Ntag{5}.\N- [end{align}\N]
Nous pouvons isoler \N(I_2\N) en combinant \N((4)\N) et \N((5)\N) de la manière suivante :\N[\NBegin{align}(4)-4\Nfois (5)&\Nimplique -7,\Nmathrm{A}+19I_2=0\N,\Nmathrm{A},\N{\N&\Nimplique I_2=0.4,\Nmathrm{A}.\Nend{align}\N]En substituant ceci dans \N((4)\N), on obtient\N[\Nbegin{align}I_1=1.2,\Nmathrm{A}.\Nend{align}\N].
Si l'on met tout cela dans l'équation \N((1)\N), les trois courants sont\N[I_1=1.2\N,\Nmathrm{A},\NI_2=0.4\N,\Nmathrm{A},\NI_3=1.5\N,\Nmathrm{A}.\N].
En utilisant \N(V=IR\N), nous trouvons les trois tensions à\N[V_1=3.5\N,\Nmathrm{V},\NV_2=1.5\N,\Nmathrm{V},\NV_3=1.5\N,\Nmathrm{V}.\N].
Enfin, nous voulons trouver la charge du condensateur. Pour ce faire, nous devons trouver la différence de potentiel à travers le condensateur. Là encore, la règle des boucles de Kirchhoff peut être utilisée. Considère la plus petite boucle du circuit, qui contient à la fois la résistance et le condensateur. Il n'y a que deux différences de potentiel impliquées ici, celle à travers le condensateur \(V_C\) et \(V_2\). La règle de Kirchhoff nous dit que la somme de ces différences doit être égale à zéro, et donc [V_C=V_2=1,5,\Nmathrm{V}.\N].
En multipliant la tension par la capacité, on obtient la charge accumulée sur le condensateur :\N- [Q=1,5\N,\Nmathrm{V}\cdot 5\times10^{-9}\N,\Nmathrm{F}=7,6\N,\Nmathrm{nC}.\N]
Règle des jonctions de Kirchhoff - Principaux enseignements
- Une jonction dans un circuit est un point où un courant se sépare en plusieurs branches.
- La règle de Kirchhoff sur les jonctions stipule que la somme des courants à une jonction doit toujours être nulle.
- Par convention, les courants qui entrent dans une jonction ont un signe \(+\) tandis que les courants qui sortent d'une jonction ont un signe \(-\).
- La règle de la jonction est simplement une conséquence de la conservation du courant, qui est elle-même une conséquence de la conservation de la charge.
- La règle de la boucle de Kirchhoff stipule que la somme des différences de potentiel autour de n'importe quelle boucle d'un circuit doit toujours être nulle. Elle peut être utilisée en tandem avec la règle de la jonction pour résoudre des circuits complexes.
Références
- Fig. 1 - Gustav Robert Kirchoff (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gustav_Robert_Kirchhoff.jpg) par Smithsonian Libraries est sous domaine public.
- Fig. 2 - KCL-Kirchhoff's Circuit Laws (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KCL_-_Kirchhoff%27s_circuit_laws.svg) par Pflodo est sous licence CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
- Fig. 3 - Circuit en série, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Circuit parallèle, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Circuit complexe, StudySmarter Originals.
- Fig. 6 - Circuit de condensateur, StudySmarter Originals.
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