Fig. 1 - L'expérience du poil de ballon est un bon exemple de l'interaction entre le champ électrique de charges opposées.
Description de la loi de Gauss
Dans les cours de physique AP précédents, nous avons abordé divers aspects de l'électrostatique et de l'électromagnétisme, y compris la façon de calculer le champ électrique total d'un groupe de particules chargées. Cependant, nous n'avons jamais vraiment expliqué l'origine de cette formule ni comment elle a été dérivée. En 1867, le physicien et mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss a élaboré une théorie permettant de calculer le champ électrique externe en fonction de la quantité de charge enfermée dans une surface. La théorie qu'il a élaborée est l'une des équations de l'électrodynamique de Maxwell.
Cette théorie a été baptisée loi de Gauss, elle nous permet de décrire le flux électrique à travers une surface gaussienne en fonction de la charge enfermée dans une surface gaussienne. Mais qu'est-ce qu'une surface gaussienne ?
Une surface gaussienne est une surface fermée tridimensionnelle où passent les lignes de champ d'un champ électrique, magnétique ou gravitationnel.
Il est important de noter qu'en vertu de la loi de Gauss, la position et l'orientation des charges enfermées dans la surface gaussienne n'ont aucune importance. Le seul facteur contribuant au champ électrique environnant est la quantité totale de charges enfermées.
Formule de la loi de Gauss
Nous allons maintenant te présenter la formule de la loi de Gauss. Elle est donnée par
\[ \Phi_{\text{E}} = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0} ,\]
où \( \Phi_{\text{E}}\) est le flux électrique à travers la surface gaussienne généré par le groupe de charges mesuré en \(\mathrm{\frac{V}{m}}\), \(q_{{text{enclosed}} \) est la charge totale enfermée par la surface gaussienne mesurée en coulombs \(\mathrm{C}\), et \(\epsilon_0\) est la permittivité du vide donnée par une valeur de \( 8.85 fois 10^{-12} \, \mathrm{\frac{F}{m}} \). Il s'agit de la forme la plus simple de la loi de Gauss pour une charge ponctuelle, mais nous pouvons également introduire la forme intégrale comme suit
\[ \oint_A \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{A} = \frac{q_{\text{enclosed}}{\epsilon_0}, \]
où \(\vec{E}\) est le vecteur de champ électrique mesuré en unités de \(\mathrm{\frac{V}{m}}\), \(\mathrm{d}\vec{A}\) est le vecteur de surface infinitésimale mesuré en \(\mathrm{m^2}\), et toutes les autres quantités sont les mêmes que précédemment. Il est également important de noter que la première équation implique le flux électrique à travers la surface \(\Phi_{\text{E}}\), tandis que la deuxième équation implique le vecteur de champ électrique \(\vec{E}\). De plus, le produit de point entre \(\vec{E}\) et \(\mathrm{d}\vec{A}\) montre que nous ne considérons que les composantes du champ électrique perpendiculaires à la surface gaussienne.
Prenons un exemple où nous appliquons la loi de Gauss sous sa forme la plus simple. En considérant l'image ci-dessous, utilise la loi de Gauss pour calculer le champ électrique.
Fig. 3 - Le champ électrique d'un groupe de charges peut être calculé à l'aide de la loi de Gauss.
Ici, nous pouvons voir que le groupe de charges a des valeurs de charge de \(-2e\), \(1e\), \(3e\), et \(-4e\) respectivement, ce qui donne une charge totale jointe de
\[ \begin{align} q_{\text{enclosed}} &= -2e + 1e + 3e + (-4e) \\ q_{\text{enclosed}} &= -2e .\end{align} \]
Enfin, nous pouvons introduire ceci dans la loi de Gauss pour trouver que
\[ \begin{align} \Phi_{\text{E}} &= \frac{q_{{text{enclosed}}}{\epsilon_0} \\ \Phi_{\text{E}} &= \frac{ -2 \times 1.6 \times 10^{-19} \N,\Nmathrm{C} }{8.85 \Nfois 10^{-12} \N- \NMathrm{\Nfrac{F}{m}}} \\N- \NPhi_{\text{E}} &= -3.6 \N- fois 10^{-8} \, \mathrm{V\,m} . \Nend{align} \]
Il est important de noter que la forme de la surface gaussienne n'a aucune importance pour le calcul. Lorsque l'on travaille avec la forme intégrale, la forme devient pertinente, ce que nous verrons plus loin.
Dérivation de la loi de Gauss
Précédemment, nous avons présenté deux formes de la loi de Gauss jusqu'à présent, mais nous avons également une troisième forme, la loi de Gauss sous forme différentielle. Pour comprendre la dérivation, nous devons d'abord couvrir rapidement le théorème de la divergence. Ce théorème, également inventé par Gauss, stipule que
\[ \int_V ( \nabla \cdot \vec{F} ) \, \mathrm{d} V = \oint_S \vec{F} \cdot \c, \mathrm{d} \vec{S} ,\N]
où \nabla \cdot \vec{F}\) est la divergence du champ de vecteurs \(\vec{F}\), \(\mathrm{d} V\) est le volume infinitésimal, et \(\mathrm{d} S\) est la surface infinitésimale. Cela montre comment nous pouvons relier l'intégrale de volume de la divergence d'un champ de vecteurs à une intégrale de surface fermée du flux du champ de vecteurs.
Pour en revenir à la loi de Gauss, commençons par la forme intégrale, en substituant le théorème de la divergence pour obtenir
\[ \begin{align} \oint_A \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{A} &= \frac{q_{\text{enclosed}}{\epsilon_0} \\N-int_V (\N-abla \Ncdot \Nvec{E} ) \N-, \Nmathrm{d} V &= \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0} . \Nend{align} \]
L'étape suivante consiste à introduire une autre forme d'intégrale qui relie la densité de charge et la charge enfermée. En prenant une intégrale de volume de la densité de charge \(\rho\), nous constatons que nous pouvons réécrire la charge totale comme suit
\[ Q = \int_V \rho \, \mathrm{d} V,\]
où \(Q\) est la charge totale mesurée en coulombs \(\mathrm{C}\) et \(\rho\) est la densité de charge mesurée en \(\mathrm{\frac{C}{m^3}}\).
Malgré le nom de densité de charge, \rho\) peut être une fonction à une ou trois dimensions. Cela signifie que, selon la fonction de densité de charge spécifiée, nous pouvons trouver la charge totale en l'intégrant sur une, deux ou trois dimensions.
Cela nous permet donc de réécrire la loi de Gauss comme suit
\[ \int_V (\nabla \cdot \vec{E} ) \, \mathrm{d} V = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \, \mathrm{d} V .\]
Nous voyons maintenant que nous avons deux intégrales de volume équivalentes de chaque côté, ce qui nous permet de les annuler. Nous obtenons donc
\[ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} .\]
Cette équation est ce que nous appelons la loi de Gauss sous sa forme différentielle. Il est important de noter que les formes intégrale et différentielle de la loi de Gauss sont valables dans tous les cas généraux, alors que la première équation que nous avons introduite ne s'applique qu'aux charges ponctuelles. En introduisant ces deux formes basées sur le calcul, nous serons en mesure de traiter des problèmes beaucoup plus délicats impliquant le calcul d'un champ électrique.
Exemples de la loi de Gauss
Prenons maintenant un exemple dans lequel nous utilisons la forme intégrale de la loi de Gauss.
Considère la figure ci-dessous d'une sphère chargée avec une valeur de charge \(q\), note que la sphère est dans un espace tridimensionnel. En utilisant la loi de Gauss sous forme intégrale, calcule le champ électrique produit par la sphère chargée.
Fig. 4 - La loi de Gauss permet de calculer le champ électrique dû à une sphère chargée.
D'après le diagramme, nous plaçons la surface gaussienne juste au bord de la sphère. Pour résoudre l'intégrale, nous pourrions utiliser les coordonnées cartésiennes, mais il existe une astuce qui rend notre calcul beaucoup plus facile, en passant aux coordonnées sphériques. Tu n'as pas encore rencontré les coordonnées sphériques, mais c'est un sujet que tu abordes dans tes cours de physique à l'université.
\[ \mathrm{d} A = r^2 \sin(\theta) \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi ,\]
où \(r\) est le rayon de notre sphère mesuré en \(\mathrm{m}\), \(\theta\) est l'angle entre la verticale et notre vecteur unitaire mesuré en radians \(\mathrm{rads}\), et \(\phi\) est l'angle autour de l'équateur mesuré en radians \(\mathrm{rads}\). En te référant à l'image ci-dessous, tu peux voir ces quantités plus clairement.
Nous pouvons maintenant écrire notre intégrale sous la forme suivante
\[ \oint_A \left(\vec{E} \cdot \hat{n} \right) r^2 \sin(\theta) \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi = \frac{q}{\epsilon_0} .\]
La substitution de nos limites intégrales pour une sphère donne alors
\[ \int^{\theta = \pi}_{\theta = 0} \int^{\phi = 2\pi}_{\phi = 0} \left(\vec{E} \cdot \hat{n} \right) r^2 \sin(\theta) \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi = \frac{q}{\epsilon_0} .\]
La symétrie sphérique du problème implique que le champ électrique ne dépend que de \(r\), nous pouvons donc déduire que \( \vec{E}). \cdot \hat{n} = E(r) \c).
Nous pouvons donc résoudre notre intégrale pour obtenir
\[ \begin{align} \int^{\theta = \pi}_{\theta = 0} \int^{\phi = 2\pi}_{\phi = 0} E(r) r^2 \sin(\theta) \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi &= \frac{q}{\epsilon_0} \\N- E(r) r^2 \Nint^{\theta = \pi}_{\theta = 0} \Nint^{\phi = 2\pi}_{\phi = 0} \sin(\theta) \Nmathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi &= \frac{q}{\epsilon_0} \\N- E(r) r^2 \Nint^{\theta = \pi}_{\theta = 0} 2\pi \sin(\theta) \mathrm{d} \theta &= \frac{q}{\epsilon_0} \N- E(r) r^2 2\Npi [ -\Ncos(\Ntheta)]^{\pi}_{0} &= \Nfrac{q}{\Nepsilon_0} \\N- E(r) r^2 2\Npi \N- fois 2 &= \Nfrac{q}{\N-epsilon_0} \N- E(r) &= \Nfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} . \Nend{align} \]
Cette équation devrait t'être familière puisqu'il s'agit du champ électrique d'une charge ponctuelle ! Nous l'avons maintenant prouvé grâce à la loi de Gauss
La loi du magnétisme de Gauss
Gauss n'a pas seulement trouvé cette équation pour les champs électriques, mais aussi une équation similaire pour les champs magnétiques. C'est également l'une des équations de Maxwell pour l'électromagnétisme.
Comme la loi de Gauss pour les champs électriques, la loi de Gauss pour les champs magnétiques a une forme différentielle et une forme intégrale. La forme différentielle est donnée par
\N[ \Nnabla \Ncdot \Nvec{B} = 0,\N]
où \nabla \cdot\n indique l'opérateur de divergence et \nvec{B}\n le vecteur de champ magnétique mesuré en unités de \nmathrm{\nfrac{A}{m}}\nde \nmathrm{\nde \nmathrm{\nde \nfrac{A}{m}}\n. D'autre part, sa forme intégrale est donnée comme suit
\[ \oint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d} S = 0,\]
où \(\mathrm{d} \vec{S}\) est le vecteur de surface infinitésimal.
En comparant la loi de Gauss pour les champs magnétiques et les champs électriques, on constate que la divergence d'un vecteur de champ magnétique est nulle, tandis que la divergence d'un vecteur de champ électrique n'est pas nulle. La signification de ces deux équations nous indique que les monopôles magnétiques n'existent pas . Un dipôle magnétique est un objet qui possède à la fois un pôle nord et un pôle sud, comme un atome avec un électron en orbite ou un barreau aimanté. Contrairement aux monopôles électriques, tels que les particules chargées, nous n'avons pas d'équivalent lorsque nous pensons aux objets magnétiques.
Loi de Gauss - Principaux enseignements
- La loi de Gauss pour les champs électriques est l'une des équations de Maxwell pour l'électromagnétisme.
- Nous utilisons la loi de Gauss en enfermant un groupe de charges dans une surface de Gauss, qui est une surface fermée tridimensionnelle où passent les lignes de champ d'un champ électrique, magnétique ou gravitationnel.
- La loi de Gauss pour une charge ponctuelle est donnée par \( \Phi_{\text{E}} = \frac{q_{\text{enclosed}}{\epsilon_0} \).
- La loi de Gauss sous forme intégrale est donnée par \(\oint \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{A} = \frac{q_{\text{enclosed}}{\epsilon_0} \).
- La loi de Gauss sous forme différentielle est donnée par \( \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \).
- La loi de Gauss pour les champs magnétiques nous indique que les monopôles magnétiques n'existent pas.
Références
- Fig. 1 - Cheveux de ballon, Wikimedia Commons (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Attractive-electric-force-between-hair-and-balloon.jpg) Licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
- Fig. 2 - Diagramme de la formule de la loi de Gauss, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Charges fermées, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Sphère chargée, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Coordonnées sphériques, StudySmarter Originals.
- Fig. 6 - Lignes de champ magnétique, StudySmarter Originals.
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