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Définition de l'inertie
L'inertie est la tendance d'un objet à résister à un changement de son état de mouvement.
Fig. 1. Les objets au repos et en mouvement ont tous deux de l'inertie.
Pour qu'un objet se déplace ou s'arrête, il faut qu'une force nette agisse sur l'objet. Une force nette provoque une accélération. Les forces qui s'exercent sur un objet peuvent être facilement visualisées à l'aide d'un diagramme de corps libre, comme indiqué ci-dessous. La longueur de chaque flèche représente l'ampleur de la force. Les forces de même ampleur qui pointent dans des directions opposées s'annulent, mais si elles sont différentes, il y aura une force nette, qui provoquera une accélération ou une décélération.
Par exemple, si une voiture se déplace sur une route, elle ressent les forces suivantes :
- Poussée du moteur \( F_E \)
- Le frottement des pneus sur la route \( F_F \)
- Une force de traînée causée par la résistance de l'air \( F_D \N)
- Lagravité \N( F_G \N)
- Une force de réaction normale du sol ( F_N )
On peut considérer que toutes ces forces agissent au niveau du centre de masse de la voiture.
Fig. 2. Les forces agissant sur une voiture peuvent être représentées par un diagramme de corps libre.
La force nécessaire pour une accélération donnée est directement proportionnelle à l'inertie de l'objet. L'inertie dépend de la masse du corps. Les petits corps ayant peu d'inertie peuvent être accélérés avec une petite force. Sur terre, la plupart des objets finissent par s'arrêter de bouger en raison des forces de frottement. En l'absence de frottement, comme dans le vide de l'espace, les objets continueront à se déplacer indéfiniment en raison de leur inertie.
Une nappe peut être retirée Une nappe peut être retirée de dessous une table à manger dressée parune simple traction rapide. Cette vaisselle et ces couverts resteront dans leur position en raison de leur inertie.
Loi de l'inertie
Les objets au repos resteront au repos et les objets en mouvement continueront à bouger. Un changement de mouvement ne se produira que lorsqu'une force nette agit sur un objet. Attends ! N'avons-nous pas déjà entendu cela quelque part ? La première loi du mouvement de Newton est également appeléeloi de l'inertie.
Tout ce qui a une masse a de l'inertie, c'est pourquoi nous devons appliquer une force extérieure pour produire ou arrêter un mouvement. Il ne faut pas confondre la masse avec le poids d'un objet. Le poids est la force produite lorsque la masse est présente dans un champ gravitationnel tel que celui de la Terre. Rappelle-toi que la masse d'un corps est toujours constante, mais que le poids dépend du champ gravitationnel dans lequel il se trouve. Par exemple, les objets situés dans l'espace extra-atmosphérique qui sont très éloignés de toute autre chose (de sorte qu'ils ne sont affectés par aucun champ gravitationnel) ont une masse mais n'ont pas de poids.
Équation de l'inertie
Comme mentionné ci-dessus, l'inertie d'un objet est sa tendance à résister à un changement de mouvement. Lorsque le mouvement d'un objet change, on dit qu'il accélère. L'accélération est causée par une force nette, ce que Newton a résumé dans sa deuxième loi, qui peut être énoncée comme suit :
La loi de Newton peut également être exprimée par l'équation suivante
$$\vec F=m\vec a,$$
où \( \vec F \) est la force nette agissant sur l'objet mesurée en \( \mathrm N \), \( m \) est la masse de l'objet mesurée en \( \mathrm kg \) et \( \vec a \) est son accélération en \( \mathrm m/\mathrm s^2 \). Remarque que la force et l'accélération sont des vecteurs et que ces deux vecteurs pointent dans la même direction.
Les quantités vectorielles ont à la fois une magnitude et une direction.
Cette équation dit que l'accélération d'un objet est directement proportionnelle à la force nette qui agit sur lui, la constante de proportionnalité étant la masse. Cependant, nous pouvons considérer cette équation d'une autre manière. Si nous la réarrangeons pour trouver l'accélération en fonction de la force et de la masse comme suit
$$\vec a=\frac {\vec F}{m}.$$
Supposons que nous appliquions une force donnée à une série d'objets de masses différentes. Cette équation indique que l'accélération d'un objet est inversement proportionnelle à sa masse, de sorte que les objets ayant une masse plus importante subiront une accélération plus faible - ils auront une plus grande résistance au changement de mouvement ! Cela nous ramène à ce que nous avons dit plus tôt, à savoir que l'inertie d'un objet dépend de sa masse.
Usain Bolt est capable d'atteindre sa vitesse maximale de \N( 12\N, \Nmathrm m/\Nmathrm s \N) après \N( 7\N, \Nmathrm s \N) lorsqu'il court à partir d'un départ arrêté. Il pèse \( 94\, \mathrm{kg} \) et son accélération est approximativement constante. Quelle est la force d'accélération moyenne qu'il applique au sol avec ses pieds ?
Fig. 3. Usain Bolt accélère en repoussant le sol avec ses pieds.
L'équation de l'accélération est donnée par
$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t},$$$
où \( \Delta v \) représente le changement de vitesse et \( \Delta t \) est le changement de temps. En utilisant les valeurs de la vitesse maximale du boulon et le temps nécessaire pour atteindre cette vitesse, son accélération peut être calculée comme suit
$$a=\frac{12;\mathrm m/\mathrm s}{7;\mathrm s}=1.7;\mathrm m/\mathrm s^2.$$
Pour trouver la force moyenne qu'il exerce sur le sol, nous pouvons utiliser la deuxième loi de Newton,
$$F=ma.$$
On nous donne sa masse dans la question, la force moyenne est donc :
$$F=94\;\mathrm{kg}\ fois1,7\;\mathrm m/\mathrm s^2=160\;\mathrm{kg\,m}/\mathrm s^2=160\;\mathrm N$$.
Types d'inertie
Il existe en fait deux types d'inertie. Le type dont nous avons discuté jusqu'à présent est l'inertie du mouvement linéaire (mouvement en ligne droite). Cependant, il existe un autre type d'inertie associé aux objets en mouvement de rotation.
Le moment d'inertie
Lemoment d'inertie d'un objet est sa tendance à résister à un changement dans son mouvement de rotation autour d'un axe de rotation.
On l'appelle"moment" d' inertie parce que cette inertie agit à une certaine distance du centre de rotation. L'inertie linéaire agit à partir du centre de masse de l'objet. Tout comme nous avons découvert qu'un objet ayant une masse plus importante subira une accélération plus faible pour une force donnée, un objet ayant un moment d'inertie plus important subira une accélération angulaire plus faible pour un couple donné.
Couple est une force qui produit une rotation.
Si un objet peut tourner autour d'un axe, il subira une accélération angulaire autour de cet axe si un couple est appliqué. Un couple est dû à une force nette agissant à une certaine distance de l'axe de rotation et est donné par :
$$\tau=Fr,$$
où \( F \) est la force en \( \mathrm N \) et \( r \) est la distance perpendiculaire de la ligne d'action de la force par rapport à l'axe de rotation en \( \mathrm m \). Le couple est mesuré en unités de \( \mathrm{N\,m} \). En utilisant la deuxième loi de Newton pour la force, cette équation devient :
$$\tau=mar.$$
Un couple provoque une accélération angulaire, nous avons donc besoin de l'accélération angulaire dans l'équation pour trouver la relation entre les deux. L'accélération angulaire \( \alpha \) peut être exprimée en fonction de l'accélération linéaire d'un objet et de sa distance par rapport à l'axe de rotation comme suit :
$$\alpha=\frac ar,$$
ce qui peut être réarrangé comme suit :
$$a=\alpha r.$$
Cette équation peut ensuite être substituée à l'équation du couple ci-dessus pour trouver la relation entre le couple et l'accélération angulaire comme suit :
$$\tau=mr^2\alpha.$$
Il s'agit de l'équivalent en rotation de la deuxième loi de Newton. Dans la deuxième loi de Newton, la constante de proportionnalité est la masse de l'objet \( m \), qui décrit l'inertie linéaire de l'objet.
Pour l'équation du mouvement de rotation, la constante de proportionnalité entre le couple et l'accélération angulaire est \( mr^2 \), qui est l'équation du moment d'inertie d'un point de masse \( m \) tournant autour d'un axe à une distance \( r \). Le moment d'inertie \( I \) est mesuré en unités de \( \mathrm{N\,m^2} \).
$$I=mr^2$$
Le moment d'inertie est mesuré en unités de \N( \Nmathrm{kg\N,m}^2 \N). Si plusieurs masses ponctuelles tournent autour d'un axe, le moment d'inertie est donné par la somme de leurs moments d'inertie :
$$I=\sum mr^2.$$
Le moment d'inertie d'un objet en rotation dépend de la répartition de sa masse. Plus la masse est concentrée loin de l'axe de rotation, plus le moment d'inertie par unité de masse est important. Quelques moments d'inertie de diverses formes uniformes sont donnés dans le tableau ci-dessous.
| Numéro de forme | Forme | Moment d'inertie |
| 1 | Masse ponctuelle tournant autour d'un rayon r | \N( I=mr^2 \N) |
| 2 | Disque tournant autour de son centre | \( I=\frac{mr^2}2 \) |
| 3 | Cylindre creux tournant autour de son centre | \N( I=mr^2 \N) |
| 4 | Sphère solide autour de son centre | \( I=\frac25mr^2 \) |
| 5 | Cylindre solide autour de son centre | \( I=\frac{mr^2}2 \) |
| 6 | Tige tournant autour d'un axe perpendiculaire à elle-même passant par son centre | \( I=\frac1{12}mr^2 \) |
| 7 | Tige tournant autour d'un axe perpendiculaire à elle-même et passant par l'une de ses extrémités | \( I=\frac13mr^2 \) |
| 8 | Sphère creuse autour de son centre | \( I=\frac23mr^2 \) |
Exemples d'inertie
Deux blocs sont poussés le long d'une table sans frottement avec la même force \N( F \N). Le bloc \N( 1 \N) a une masse de \N( M \N) et le bloc \N( 2 \N) a une masse de \N( 2M \N). Si l'accélération du bloc 1 est de 1, quelle est l'accélération du bloc 2, de 2, en termes de 1 ? Quel bloc a la plus grande inertie ?
Pour cette question, nous devons utiliser l'équation de la deuxième loi de Newton,
$$F=ma.$$
On nous demande de trouver l'accélération, donc l'équation doit être réarrangée pour obtenir
$$a=\frac Fm,$$
Nous pouvons donc trouver \N( a_1 \N) comme suit
$$a_1=\frac FM$$
et \N- a_2 \Ncomme suit : $$a_2=\frac Fm$$.
$$a_2=\frac F{2M}.$$
Nous devons trouver \N( a_2 \N) en termes de \N( a_1 \N). Pour ce faire, nous pouvons d'abord exprimer \N- a_2 \Ncomme suit
$$a_2=ka_1$$
dans laquelle \( k \r) est une constante numérique. Cette expression peut être réarrangée pour trouver \N( k \N) comme suit
$$k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\displaystyle\frac F{2M}}{\displaystyle\frac FM}=\frac M{2M}=\frac12,$$
nous avons donc trouvé \N( a_2 \N) en termes de \N( a_1 \N) :
$$a_2=\frac{a_1}{2}.$$
Cela signifie que l'accélération du bloc \N( 2 \N) est la moitié de l'accélération du bloc \N( 1 \N), il a donc une plus grande résistance à un changement de mouvement et donc une plus grande inertie. C'est normal, car le bloc \N( 2 \N) a une masse plus importante.
Un frisbee tourne dans l'air lorsqu'il est lancé. Si le frisbee a une masse de 0,2 kg et un rayon de 0,2 m, quel est son moment d'inertie par rapport à son centre ? Le frisbee peut être modélisé comme un disque de masse uniforme.
Fig. 4. Un frisbee tourne autour d'un axe passant par son centre lorsqu'il est lancé
Le moment d'inertie d'un disque est
I$_d=\frac12mr^2,$$
où \( m \N) est sa masse et \N( r \N) est son rayon. La question nous donne ces deux valeurs et nous pouvons donc calculer le moment d'inertie comme suit
$$I_d=\frac12\times0.2\;\mathrm{kg}\times{(0.2\;\mathrm m)}^2=0.04\;\mathrm{kg\,m}^2.$$
Inertie - Points clés
- L'inertie est la tendance d'un objet à résister à un changement dans son état de repos ou de mouvement.
- En l'absence de frottement ou d'autres forces extérieures, les objets continueront à se déplacer en raison de leur inertie.
- Un objet ayant une masse plus importante a une inertie plus élevée.
- Pour une force donnée, l'accélération d'un objet est inversement proportionnelle à sa masse.
- Le moment d'inertie d'un objet est sa tendance à résister à un changement de son mouvement de rotation autour d'un axe de rotation.
- Le couple est une force de torsion qui produit une rotation.
- La formule pour calculer le moment d'inertie d'une masse ponctuelle tournant autour d'un axe est donnée par \( I=mr^2 \).
- Le moment d'inertie d'un objet dépend de la répartition de sa masse autour de l'axe de rotation.
Références
- Fig. 1 - 'Usain Bolt Olympics Celebration' (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Usain_Bolt_Olympics_Celebration.jpg) par Richard Giles (https://www.flickr.com/people/35034356424@N01) sous licence CC BY-SA 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0)
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