Suppose que tu puisses creuser un tunnel de la surface de la Terre jusqu'au centre de la Terre. Lorsque tu ramperas dans le tunnel que tu as creusé, penses-tu que ton poids augmentera, diminuera ou restera le même ? D'une part, tu as de moins en moins de masse sous toi qui te tire vers le centre de la Terre, mais d'autre part, tu te rapproches de plus en plus du centre de masse de la Terre. Une façon facile et intuitive de répondre à cette question est de penser à ce qui arriverait à ton poids une fois que tu aurais atteint le centre de la Terre : il serait nul parce que toutes les parties de l'attraction terrestre s'annuleraient les unes les autres. Ainsi, nous soupçonnons que notre poids diminuera progressivement lorsque nous ramperons dans notre propre tunnel en direction du centre de la Terre. Examinons de plus près l'accélération gravitationnelle sur la Terre et sur d'autres planètes.
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Inscris-toi gratuitementQuelle planète a l'accélération gravitationnelle la plus importante à sa surface ?
Si tu laisses tomber un marteau d'une hauteur de \(1\,\mathrm{m}\) sur Jupiter et sur Saturne en même temps, sur quelle planète le marteau atteindra-t-il la surface de la planète en premier ?
Où aurais-tu un poids nul ?
Si le rayon de la Terre reste le même, mais que la masse de la Terre double ce soir, quelle masse la balance indiquera-t-elle à une personne si elle monte sur la balance demain ?
Les satellites géostationnaires sont situés à une distance du centre de masse de la Terre qui correspond à environ 6,6 fois le rayon de la Terre. L'accélération gravitationnelle à la surface de la Terre est d'environ \(10\,\mathrm{\Nfrac{m}{s^2}}). Quelle est l'accélération d'un satellite géostationnaire ?
L'ampleur de la force gravitationnelle entre deux objets ____ à mesure que le centre de masse des deux objets augmente.
Quelle est l'accélération gravitationnelle à la surface du Soleil ? Le rayon du Soleil est environ 10 fois le rayon de Jupiter, la masse du Soleil est environ 1000 fois la masse de Jupiter, et l'accélération gravitationnelle à la surface de Jupiter est environ \(26\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\).
Le rayon de Vénus est égal à 95 % du rayon de la Terre, et la masse de Vénus est égale à 81 % de la masse de la Terre. L'accélération gravitationnelle à la surface de Vénus est ___ celle à la surface de la Terre.
La Terre et Mercure ont à peu près la même densité de masse, mais le rayon de Mercure représente environ 1/3 du rayon de la Terre. L'accélération gravitationnelle à la surface de la Terre est de \(9,81\\N,\Nmathrm{\Nfrac{m}{s^2}}\N). Quelle est approximativement l'accélération gravitationnelle à la surface de Mercure ?
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Le rayon de Vénus est égal à 95 % du rayon de la Terre, et la masse de Vénus est égale à 81 % de la masse de la Terre. L'accélération gravitationnelle à la surface de Vénus est ___ celle à la surface de la Terre.
La Terre et Mercure ont à peu près la même densité de masse, mais le rayon de Mercure représente environ 1/3 du rayon de la Terre. L'accélération gravitationnelle à la surface de la Terre est de \(9,81\\N,\Nmathrm{\Nfrac{m}{s^2}}\N). Quelle est approximativement l'accélération gravitationnelle à la surface de Mercure ?
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Sauter à un chapitre clé
À la surface de la Terre et à proximité, la valeur de l'accélération gravitationnelle est approximativement de \(g_\text{Terre}=9,81\\N,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\N). Cela signifie que tous les objets qui tombent librement près de la surface de la Terre subissent la même accélération, \(g_\text{Terre}\N). Tu en fais également l'expérience : si tu sautes vers le haut, la gravité te ralentit, et lorsque tu retombes sur Terre après avoir atteint ton altitude maximale, la gravité t'accélère vers le bas. Ce ralentissement et cette accélération se produisent tous deux avec l'accélération exacte \(g_\text{Terre}\).
L'accélération gravitationnelle en un point de l'espace est l'accélération subie par un objet situé en ce point lorsque la gravité est la force nette agissant sur l'objet.
L'accélération gravitationnelle (qui est une accélération) ne doit pas être confondue avec la force de gravité (qui est une force).
Tu es peut-être maintenant curieux de savoir si les autres planètes ont ou non une accélération gravitationnelle constante à leur surface. Pour le savoir, nous devons d'abord comprendre d'où vient cette accélération gravitationnelle.
Isaac Newton a compris que notre poids est la conséquence de la masse de la Terre qui tire sur nous. Selon sa troisième loi du mouvement, cela signifie que nous tirons également sur la Terre avec notre masse. Il en a conclu qu'il y a toujours une force qui agit entre deux objets ayant une masse. En utilisant les données sur les orbites planétaires présentées par Johannes Kepler et les trois lois de Kepler sur le mouvement des planètes, Newton a également conclu que la force gravitationnelle, \( F, \N) doit être proportionnelle aux deux masses, \( M, \N) et \( m, \N) et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare, \( r. \N).
Pour exprimer mathématiquement cette relation, il avait besoin d'une constante de proportionnalité :
\[G=6.67\times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2},\]
que l'on appelle aujourd'hui la constante gravitationnelle de Newton.
Laloi de Newton sur la gravitation universelle est donnée par la formule suivante
\[F=\frac{GMm}{r^2}.\]
Fig. 1 - Les pierres détachées ne posent aucun problème, sauf qu'elles subissent une accélération gravitationnelle en direction de la route.
C'est là qu'intervient la partie la plus ingénieuse. La deuxième loi du mouvement de Newton nous apprend que
\N-[F=ma,\N]
où \(F\) est la force nette agissant sur un objet de masse \(m,\) causant une accélération \(a\) en conséquence. Ainsi, si un objet de masse \(m\) accélère en raison de la force gravitationnelle \(F\) exercée par un autre objet de masse \(M\) à une distance \(r\), alors nous pouvons écrire
\begin{aligned} \textcolor{#00b695}{F}&=ma,\\ \textcolor{#00b695}{\frac{GMm}{r^2}}&=ma. \Nend{aligned}
Ensuite, nous pouvons diviser par la masse de notre objet, \N( m, \N) des deux côtés et cela nous donne
\[a=\frac{GM}{r^2}.\]
Nous voyons que l'accélération de notre objet ne dépend effectivement pas de sa propre masse, mais seulement de la masse de l'autre objet et de sa distance par rapport à notre objet ! Cela signifie que nous avons affaire à une accélération gravitationnelle constante \(g\) en ce point de l'espace, donnée par
\[\boxed{g=\frac{GM}{r^2}.}\]
Il est important de comprendre que cette accélération gravitationnelle est une propriété de ce point particulier de l'espace, et non de l'objet lui-même : tous les objets subiront la même accélération gravitationnelle en ce point.
En principe, nous avons seulement montré que cela est vrai pour des masses ponctuelles situées à une certaine distance les unes des autres. Cependant, il s'avère (tu peux le vérifier à l'aide du calcul) que les sphères et les boules auront le même effet sur les objets que s'il s'agissait d'une masse ponctuelle à l'endroit de leur centre de masse ! Ainsi, pour les calculs avec des sphères et des boules (les planètes, par exemple), il suffit de prendre leur centre de masse pour déterminer la distance effective par rapport aux autres objets.
Vérifions immédiatement ce résultat avec quelque chose que nous connaissons !
Calculons l'accélération due à la gravité à la surface de la Terre. La masse de la Terre est \N(M=5,97\Nfois 10^{24}\N,\Nmathrm{kg}\N) et son rayon est \N(r=6,37\Nfois 10^6\N,\Nmathrm{m}\N). Nous pouvons donc calculer l'accélération gravitationnelle en substituant ces valeurs directement dans notre formule.
\begin{align*}g_\text{Earth}&=\frac{GM_\text{Earth}}{r_{Earth}^2}=\frac{ 6.67\times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2} \N- fois 5.97\N- fois 10^{24}\N,\Nmathrm{kg} }{ \left(6.37\times 10^6\,\mathrm{m}\right)^2 }\\&=9.81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\end{align*}
Étonnamment, nous obtenons exactement la valeur que nous connaissons et aimons !
Qu'en est-il de notre expérience dans le tunnel vers le centre de la Terre que nous avons creusé nous-mêmes tout à l'heure ?
Eh bien, si chaque planète avait la même densité de masse constante \(\rho\), nous pourrions avoir une règle plus simple. La masse \(M\) de la planète pourrait alors être exprimée en fonction de cette densité constante et de son volume \(V.\) Rappelle-toi que nous définissons la densité comme le rapport entre la masse et le volume
\[\rho = \frac{M}{V} ,\]
alors
\[M=\rho \textcolor{#00b695}{V}=\rho \textcolor{#00b695}{\frac{4\pi R^3}{3}}.\]
L'accélération gravitationnelle à la surface d'une planète de rayon \(R\) serait donc la suivante
\[g=\frac{G\textcolor{#00b695}{M}}{R^2}=\frac{G}{R^2}\textcolor{#00b695}{\frac{4\pi \rho R^3}{3}} =\frac{4\pi G\rho}{3}R.\]
Nous voyons que l'accélération gravitationnelle serait linéaire dans le rayon de la planète ! Avec un peu de calcul, nous pouvons déterminer que la "coquille" de la partie de la Terre qui nous entoure n'a pas d'influence gravitationnelle nette sur nous, donc si nous sommes à mi-chemin de notre tunnel vers le centre de la Terre, nous subissons une accélération gravitationnelle qui est la moitié de celle de la surface de la Terre ! Nous ressentirions progressivement de moins en moins de gravité jusqu'à ce que nous soyons au centre même de la Terre.
Il est également important de noter que l'accélération gravitationnelle pointe vers le centre de masse de l'objet créant le champ gravitationnel. Ainsi, même si dans la vie quotidienne nous ne ressentons qu'une accélération gravitationnelle à peu près constante vers le bas, en réalité, elle pointe vers le centre de la Terre.
Nous avons vu comment nous pouvons utiliser une seule valeur, \N( g, \N) pour tenir compte du produit des constantes pertinentes de la formule de la force gravitationnelle, en trouvant l'accélération d'un objet due à la gravité. Mais nous pouvons suivre la même idée pour parler de la force que l'objet ressent - son poids. Voyons comment procéder.
Un objet testé ressent une force gravitationnelle à proximité de tout objet astronomique, etcette force est appeléele poids de l'objet testé.
Lepoids est la force qu'un objet ressent en raison de la gravité d'un objet astronomique.
Selon la loi de la gravitation universelle de Newton, \ (F=\frac{GMm}{r^2}\), le poids est différent à différentes distances de l'objet astronomique. Cela signifie que la force gravitationnelle, \( \vec{F}, \) a une valeur qui est différente en chaque point de l'espace. Nous disons que l'objet astronomique génère un champ gravitationnel, et nous définissons l'intensité du champ gravitationnel \( \vec{g} \) comme le vecteur :
$$\vec{g}=\frac{\vec{F}}{m} .$$
Sa magnitude, \( |vec{g}| = g, \) est donnée comme suit
$$g=\frac{GM}{r^2},$$
et sa direction pointe vers le centre de masse de l'objet astronomique. Avec ces définitions, nous pouvons calculer le poids \(\vec{w}\) d'un objet simplement comme suit
$$\vec{w} = m\vec{g}.$$
Pour la Terre, l'intensité du champ gravitationnel est considérée comme constante, et sa valeur approximative est \N(\vec{g}|=9,81\N,\Nmathrm{\Nfrac{N}{kg}}. \N)
Mais pourquoi ? Pourquoi pouvons-nous la considérer comme constante si elle change en fonction de la distance ? Après tout, la force gravitationnelle ne dépend-elle pas de \( r^2\) ? Le fait est que les objets astronomiques ont une taille tellement grande que les valeurs de cette force près de leur surface ne changent pas beaucoup pour des valeurs de hauteur habituelles. Considérons que nous voulions calculer la force gravitationnelle à \N( 10\N,\Nmathrm{m} \N) au-dessus de la surface de la Terre.
\N- r &= r_\text{Earth}+h\N &= 6.37\Ntimes10^6\N,\Nmathrm{m}+10\N,\Nmathrm{m}\N &= 6\N,370\N,000\N,\Nmathrm{m}+10\N,\Nmathrm{m}\N& = 6\N,370\N,010\N,\Nmathrm{m} \N- Environ 6,37 fois10^6\N- \NMathrm{m}\N\Nimplique r&\Napproximativement r_\Ntext{Terre}. \N-END{aligned}
Nous pouvons voir qu'une telle différence de hauteur, en réalité, n'aurait pratiquement aucun effet sur nos calculs. Par conséquent, nous pouvons considérer que le champ gravitationnel près de la surface d'un objet astronomique est constant et utiliser son rayon dans la formule de l'intensité du champ gravitationnel, tout comme nous l'avons fait pour l'accélération.
Comme tu peux le constater, l'intensité du champ gravitationnel et l'accélération gravitationnelle sont étroitement liées, mais il s'agit de concepts différents : l'intensité du champ gravitationnel nous permet de connaître la force gravitationnelle qui s'exerce sur un objet - sonpoids - si nous connaissons sa masse, tandis que l'accélération gravitationnelle nous permet de connaître l'ampleur de son accélération si la gravité est la seule force qui s'exerce sur l'objet. Et, une fois de plus, lorsque le poids est la force nette agissant sur un objet, nous savons que son accélération aura la même valeur numérique que l'intensité du champ gravitationnel, mais en \( \mathrm{\frac{m}{s^2}} \) au lieu de \( \mathrm{\frac{N}{kg}} .\) Par conséquent, nous pouvons simplement parler de l'accélération gravitationnelle sans manquer d'information vitale.
Fig. 3 - Jupiter et l'une de ses lunes, appelée Europe. Sur Jupiter, tu pèserais plus lourd, et sur Europe, tu pèserais moins lourd que sur Terre.
Jupiter est la plus grande planète de notre système solaire : son diamètre est plus de dix fois supérieur à celui de la Terre. Cependant, c'est une géante gazeuse, ce qui signifie qu'elle est principalement constituée de gaz. Par conséquent, sa masse n'est pas aussi importante que tu pourrais le penser en te basant sur son rayon et sur la densité de masse de la Terre. Nous pouvons calculer l'accélération gravitationnelle à la surface de Jupiter car nous savons que sa masse est \N(M_\text{Jupiter}=1.90\\Nfois 10^{27}\N,\Nmathrm{kg}\N) et que son rayon est \N(r_\text{Jupiter}=6.99\Nfois 10^7\N,\Nmathrm{m}\N) :
\begin{align*}g_\text{Jupiter}&=\frac{GM_\text{Jupiter}}{r_\text{Jupiter}^2}=\frac{6.67\times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2} \\N- fois 1.90\N- fois 10^{27}\N,\Nmathrm{kg} }{\left(6.99\times 10^7\,\mathrm{m} \right)^2}\\&=25.9\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\end{align*}
Nous voyons que l'accélération gravitationnelle sur Jupiter est environ 2,5 fois plus importante que sur Terre. Cela signifie que ta balance indiquerait 2,5 fois plus sur Jupiter que ce qu'elle indique habituellement ici sur Terre ! Il faudrait être sacrément costaud pour pouvoir marcher dans de telles conditions : imagine que tu doives porter 1,5 fois le poids de ton corps sur ton dos et que tu te promènes !
Neptune est la planète de notre système solaire la plus éloignée du Soleil. Calculons cette fois-ci l'accélération gravitationnelle à la surface de Neptune de façon légèrement différente. Son rayon comparé à celui de la Terre est donné par \(r_\text{Neptune}=3.86r_\text{Terre}\), sa masse comparée à celle de la Terre est donnée par \(M_\text{Neptune}=17.1M_\text{Terre}\). Nous pouvons alors calculer ce qui suit :
\begin{align*}g_\text{Neptune}&=\frac{GM_\text{Neptune}}{r_\text{Neptune}^2}=\frac{\frac{GM_\text{Neptune}}{r_\text{Neptune}^2}}{\frac{GM_\text{Earth}}{r_\text{Earth}^2} }\frac{GM_\text{Earth}}{r_\text{Earth}^2}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{M_\text{Neptune}}{M_\text{Earth}}\left(\frac{r_\text{Earth}}{r_\text{Neptune}}\right)^2g_\text{Earth} .\end{align*}
De cette façon, nous pouvons joliment voir comment l'accélération gravitationnelle dépend de la masse et du rayon en pratique. Mettons les chiffres dans la balance !
\[g_\text{Neptune}=17.1\left(\frac{1}{3.86}\right)^2\times 9.81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}=11.3\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\]
Nous en concluons que l'accélération gravitationnelle à la surface de Neptune n'est que légèrement plus importante que celle à la surface de la Terre. Tu ne pèserais que 13 % de plus sur Neptune que sur Terre, ce qui équivaudrait à porter ton sac à dos de lycéen.
Fig. 4 - Étonnamment, sur Saturne, tu pèserais à peu près autant que sur Terre.
Saturne est la deuxième plus grande planète du système solaire et celle qui possède le plus grand ensemble d'anneaux. Étant donné que sa masse est \(M_\text{Saturne}=5.68\\\Nfois 10^{26}\N,\Nmathrm{kg}\N) et que son rayon est \N(r_\text{Saturne}=5.82\Nfois 10^7\N,\Nmathrm{m}\N), nous pouvons calculer l'accélération gravitationnelle à la surface de Saturne de la manière suivante :
\[g_\text{Saturn}=\frac{GM_\text{Saturn}}{r_\text{Saturn}^2}=11.2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\]
Note que, comme pour les deux autres géantes gazeuses dont nous avons parlé, tu pourrais trouver des valeurs différentes ailleurs, car ces planètes ne sont pas très rondes : en raison de leur rotation et de leur non-rigidité, ce sont des ellipsoïdes, et le rayon effectif dépend donc beaucoup de l'endroit où tu te trouves à la surface de ces planètes.
Cette valeur est très proche de celle de Neptune : bien que Neptune soit plus petite en masse et en rayon, les rapports par rapport à Saturne sont tels que l'accélération gravitationnelle finit par être à peu près la même.
$$\vec{g}=\frac{\vec{F}}{m} ,$$
avec une magnitude, \( |vec{g}| = g, \) est donnée par
$$g=\frac{GM}{r^2},$$
sa direction pointe vers le centre de masse de l'objet astronomique et elle est mesurée en \(\mathrm{\frac{N}{kg}}.\N).
Pour la Terre, l'intensité du champ gravitationnel est considérée comme constante, et sa valeur approximative est \( |vec{g}|=9,81\\N,\Nmathrm{\Nfrac{N}{kg}}. \N)
Le poids est la force qu'un objet ressent en raison de la gravité d'un objet astronomique.
On peut calculer le poids \(\vec{w}\) d'un objet comme suit
$$\vec{w} = m\vec{g}.$$
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