Gravit%C3%A9_sur_diff%C3%A9rentes_plan%C3%A8tes

Accélération due à la gravité sur différentes planètes

Tu es peut-être maintenant curieux de savoir si les autres planètes ont ou non une accélération gravitationnelle constante à leur surface. Pour le savoir, nous devons d'abord comprendre d'où vient cette accélération gravitationnelle.

La loi de Newton sur la gravitation universelle

Isaac Newton a compris que notre poids est la conséquence de la masse de la Terre qui tire sur nous. Selon sa troisième loi du mouvement, cela signifie que nous tirons également sur la Terre avec notre masse. Il en a conclu qu'il y a toujours une force qui agit entre deux objets ayant une masse. En utilisant les données sur les orbites planétaires présentées par Johannes Kepler et les trois lois de Kepler sur le mouvement des planètes, Newton a également conclu que la force gravitationnelle, \( F, \N) doit être proportionnelle aux deux masses, \( M, \N) et \( m, \N) et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare, \( r. \N).

Pour exprimer mathématiquement cette relation, il avait besoin d'une constante de proportionnalité :

\[G=6.67\times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2},\]

que l'on appelle aujourd'hui la constante gravitationnelle de Newton.

Accélération gravitationnelle

Fig. 1 - Les pierres détachées ne posent aucun problème, sauf qu'elles subissent une accélération gravitationnelle en direction de la route.

C'est là qu'intervient la partie la plus ingénieuse. La deuxième loi du mouvement de Newton nous apprend que

\N-[F=ma,\N]

où \(F\) est la force nette agissant sur un objet de masse \(m,\) causant une accélération \(a\) en conséquence. Ainsi, si un objet de masse \(m\) accélère en raison de la force gravitationnelle \(F\) exercée par un autre objet de masse \(M\) à une distance \(r\), alors nous pouvons écrire

\begin{aligned} \textcolor{#00b695}{F}&=ma,\\ \textcolor{#00b695}{\frac{GMm}{r^2}}&=ma. \Nend{aligned}

Ensuite, nous pouvons diviser par la masse de notre objet, \N( m, \N) des deux côtés et cela nous donne

\[a=\frac{GM}{r^2}.\]

Nous voyons que l'accélération de notre objet ne dépend effectivement pas de sa propre masse, mais seulement de la masse de l'autre objet et de sa distance par rapport à notre objet ! Cela signifie que nous avons affaire à une accélération gravitationnelle constante \(g\) en ce point de l'espace, donnée par

\[\boxed{g=\frac{GM}{r^2}.}\]

Il est important de comprendre que cette accélération gravitationnelle est une propriété de ce point particulier de l'espace, et non de l'objet lui-même : tous les objets subiront la même accélération gravitationnelle en ce point.

Vérifions immédiatement ce résultat avec quelque chose que nous connaissons !

Il est également important de noter que l'accélération gravitationnelle pointe vers le centre de masse de l'objet créant le champ gravitationnel. Ainsi, même si dans la vie quotidienne nous ne ressentons qu'une accélération gravitationnelle à peu près constante vers le bas, en réalité, elle pointe vers le centre de la Terre.

Nous avons vu comment nous pouvons utiliser une seule valeur, \N( g, \N) pour tenir compte du produit des constantes pertinentes de la formule de la force gravitationnelle, en trouvant l'accélération d'un objet due à la gravité. Mais nous pouvons suivre la même idée pour parler de la force que l'objet ressent - son poids. Voyons comment procéder.

Force du champ gravitationnel et poids

Un objet testé ressent une force gravitationnelle à proximité de tout objet astronomique, etcette force est appeléele poids de l'objet testé.

Selon la loi de la gravitation universelle de Newton, \ (F=\frac{GMm}{r^2}\), le poids est différent à différentes distances de l'objet astronomique. Cela signifie que la force gravitationnelle, \( \vec{F}, \) a une valeur qui est différente en chaque point de l'espace. Nous disons que l'objet astronomique génère un champ gravitationnel, et nous définissons l'intensité du champ gravitationnel \( \vec{g} \) comme le vecteur :

$$\vec{g}=\frac{\vec{F}}{m} .$$

Sa magnitude, \( |vec{g}| = g, \) est donnée comme suit

$$g=\frac{GM}{r^2},$$

et sa direction pointe vers le centre de masse de l'objet astronomique. Avec ces définitions, nous pouvons calculer le poids \(\vec{w}\) d'un objet simplement comme suit

$$\vec{w} = m\vec{g}.$$

Pour la Terre, l'intensité du champ gravitationnel est considérée comme constante, et sa valeur approximative est \N(\vec{g}|=9,81\N,\Nmathrm{\Nfrac{N}{kg}}. \N)

Mais pourquoi ? Pourquoi pouvons-nous la considérer comme constante si elle change en fonction de la distance ? Après tout, la force gravitationnelle ne dépend-elle pas de \( r^2\) ? Le fait est que les objets astronomiques ont une taille tellement grande que les valeurs de cette force près de leur surface ne changent pas beaucoup pour des valeurs de hauteur habituelles. Considérons que nous voulions calculer la force gravitationnelle à \N( 10\N,\Nmathrm{m} \N) au-dessus de la surface de la Terre.

\N- r &= r_\text{Earth}+h\N &= 6.37\Ntimes10^6\N,\Nmathrm{m}+10\N,\Nmathrm{m}\N &= 6\N,370\N,000\N,\Nmathrm{m}+10\N,\Nmathrm{m}\N& = 6\N,370\N,010\N,\Nmathrm{m} \N- Environ 6,37 fois10^6\N- \NMathrm{m}\N\Nimplique r&\Napproximativement r_\Ntext{Terre}. \N-END{aligned}

Nous pouvons voir qu'une telle différence de hauteur, en réalité, n'aurait pratiquement aucun effet sur nos calculs. Par conséquent, nous pouvons considérer que le champ gravitationnel près de la surface d'un objet astronomique est constant et utiliser son rayon dans la formule de l'intensité du champ gravitationnel, tout comme nous l'avons fait pour l'accélération.

Comme tu peux le constater, l'intensité du champ gravitationnel et l'accélération gravitationnelle sont étroitement liées, mais il s'agit de concepts différents : l'intensité du champ gravitationnel nous permet de connaître la force gravitationnelle qui s'exerce sur un objet - sonpoids - si nous connaissons sa masse, tandis que l'accélération gravitationnelle nous permet de connaître l'ampleur de son accélération si la gravité est la seule force qui s'exerce sur l'objet. Et, une fois de plus, lorsque le poids est la force nette agissant sur un objet, nous savons que son accélération aura la même valeur numérique que l'intensité du champ gravitationnel, mais en \( \mathrm{\frac{m}{s^2}} \) au lieu de \( \mathrm{\frac{N}{kg}} .\) Par conséquent, nous pouvons simplement parler de l'accélération gravitationnelle sans manquer d'information vitale.

La gravité sur Jupiter

Fig. 3 - Jupiter et l'une de ses lunes, appelée Europe. Sur Jupiter, tu pèserais plus lourd, et sur Europe, tu pèserais moins lourd que sur Terre.

Jupiter est la plus grande planète de notre système solaire : son diamètre est plus de dix fois supérieur à celui de la Terre. Cependant, c'est une géante gazeuse, ce qui signifie qu'elle est principalement constituée de gaz. Par conséquent, sa masse n'est pas aussi importante que tu pourrais le penser en te basant sur son rayon et sur la densité de masse de la Terre. Nous pouvons calculer l'accélération gravitationnelle à la surface de Jupiter car nous savons que sa masse est \N(M_\text{Jupiter}=1.90\\Nfois 10^{27}\N,\Nmathrm{kg}\N) et que son rayon est \N(r_\text{Jupiter}=6.99\Nfois 10^7\N,\Nmathrm{m}\N) :

\begin{align*}g_\text{Jupiter}&=\frac{GM_\text{Jupiter}}{r_\text{Jupiter}^2}=\frac{6.67\times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2} \\N- fois 1.90\N- fois 10^{27}\N,\Nmathrm{kg} }{\left(6.99\times 10^7\,\mathrm{m} \right)^2}\\&=25.9\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\end{align*}

Nous voyons que l'accélération gravitationnelle sur Jupiter est environ 2,5 fois plus importante que sur Terre. Cela signifie que ta balance indiquerait 2,5 fois plus sur Jupiter que ce qu'elle indique habituellement ici sur Terre ! Il faudrait être sacrément costaud pour pouvoir marcher dans de telles conditions : imagine que tu doives porter 1,5 fois le poids de ton corps sur ton dos et que tu te promènes !

La gravité sur Neptune

Neptune est la planète de notre système solaire la plus éloignée du Soleil. Calculons cette fois-ci l'accélération gravitationnelle à la surface de Neptune de façon légèrement différente. Son rayon comparé à celui de la Terre est donné par \(r_\text{Neptune}=3.86r_\text{Terre}\), sa masse comparée à celle de la Terre est donnée par \(M_\text{Neptune}=17.1M_\text{Terre}\). Nous pouvons alors calculer ce qui suit :

\begin{align*}g_\text{Neptune}&=\frac{GM_\text{Neptune}}{r_\text{Neptune}^2}=\frac{\frac{GM_\text{Neptune}}{r_\text{Neptune}^2}}{\frac{GM_\text{Earth}}{r_\text{Earth}^2} }\frac{GM_\text{Earth}}{r_\text{Earth}^2}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{M_\text{Neptune}}{M_\text{Earth}}\left(\frac{r_\text{Earth}}{r_\text{Neptune}}\right)^2g_\text{Earth} .\end{align*}

De cette façon, nous pouvons joliment voir comment l'accélération gravitationnelle dépend de la masse et du rayon en pratique. Mettons les chiffres dans la balance !

\[g_\text{Neptune}=17.1\left(\frac{1}{3.86}\right)^2\times 9.81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}=11.3\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\]

Nous en concluons que l'accélération gravitationnelle à la surface de Neptune n'est que légèrement plus importante que celle à la surface de la Terre. Tu ne pèserais que 13 % de plus sur Neptune que sur Terre, ce qui équivaudrait à porter ton sac à dos de lycéen.

La gravité sur Saturne

Fig. 4 - Étonnamment, sur Saturne, tu pèserais à peu près autant que sur Terre.

Saturne est la deuxième plus grande planète du système solaire et celle qui possède le plus grand ensemble d'anneaux. Étant donné que sa masse est \(M_\text{Saturne}=5.68\\\Nfois 10^{26}\N,\Nmathrm{kg}\N) et que son rayon est \N(r_\text{Saturne}=5.82\Nfois 10^7\N,\Nmathrm{m}\N), nous pouvons calculer l'accélération gravitationnelle à la surface de Saturne de la manière suivante :

\[g_\text{Saturn}=\frac{GM_\text{Saturn}}{r_\text{Saturn}^2}=11.2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\]

Cette valeur est très proche de celle de Neptune : bien que Neptune soit plus petite en masse et en rayon, les rapports par rapport à Saturne sont tels que l'accélération gravitationnelle finit par être à peu près la même.