Et quelle est la façon la plus amusante de montrer la relation entre deux principes physiques de la nature, tels que la force et la position ? Oui, tu l'as deviné : les graphiques ! À la fin de cet article, tu n'en auras pas fini avec les merveilles qu'offrent les graphiques de force et de position.
Relation entre la force et la position
Avant de nous plonger dans le plaisir des graphiques (je sens ton excitation), nous devons revoir une définition clé : les relations directement proportionnelles.
Pour que deux choses aient une relation directement proportionnelle, leur rapport doit être égal à une valeur constante.
Cette définition te sera utile tout au long de ta lecture, en particulier lorsque tu parleras des constantes du ressort. À ce moment-là, réfléchis à ce que signifie une relation directement proportionnelle entre la force et la position. Si \(k\) est la pente de notre graphique de la force par rapport à la position et qu'il s'agit également d'une constante, qu'est-ce que cela signifie pour la relation entre la force et la position ?
Interprétation de la force et de la position
L'une des compétences essentielles à développer en physique est de trouver des relations. La physique consiste à déterminer comment une chose est liée à une autre. C'est ainsi que nous obtenons toutes nos équations ; c'est pourquoi la modélisation des relations à l'aide de graphiques a un sens. Le fait d'être attentif aux relations et de se demander comment les concepts que tu apprends sont liés les uns aux autres accélérera ta compréhension de la physique.
Graphique de l'aire sous une force en fonction de la position
L'aire sous un graphique de force en fonction de la position est égale au travail effectué par la force sur l'objet déplacé. Rappelle-toi l'équation
$$W = F \Delta x$$$
qui décrit le travail effectué, que tu as apprise dans AP Physics 1.
Remarque que le travail est simplement le produit de la force et de la position. Le fait de reconnaître cette relation facilite la compréhension de l'aire d'un graphique de la force par rapport à la position. L'aire sous la courbe est égale au travail parce que l'intégrale du graphique relie la force à la position de l'objet. Par conséquent, une équation plus avancée pour le travail peut être obtenue en appliquant l'intégration comme suit :
$$W = \int_{\vec a}^{\vec b} \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}$$$.
où \(W\) est le travail effectué, \(\vec a\) et \(\vec b\) sont vos positions initiale et finale, et \(\vec F\) est la force en fonction de la position \(\vec r\).
Fig. 1 - Ici, l'aire sous la courbe d'un graphique de la force en fonction de la position est ombrée et désignée comme le travail.
Remarque que l'équation du travail implique l'évaluation du produit en points de deux vecteurs.
Le produit de points est une opération utilisée pour les vecteurs qui est égale au produit des magnitudes des vecteurs multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare.
Exprimé mathématiquement, le produit de points est le suivant
$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A B \cos{\theta}, $$
où \(\vec A\) et \(\vec B\) sont nos deux vecteurs, \(A\) et \(B\) sont leurs grandeurs, et \(\theta\) est l'angle entre eux.
La figure 1 ci-dessus montre un graphique de la force en fonction du déplacement avec une pente constante. Que se passe-t-il lorsque la force n'est pas constante et que la pente est variable ? Illustrons cette possibilité et incorporons notre scénario de la poubelle et du crayon.
Ta mère te demande de sortir la poubelle. Après quelques secondes passées à essayer de déplacer l'énorme poubelle en fer blanc, tu abandonnes sans la déplacer du tout. Tu te rends alors dans la chambre de ta mère et lui avoue que tu n'as pas pu accomplir ta corvée.
"Tu te relâches toujours quand il s'agit de faire du travail", dit-elle.
"En fait, réponds-tu en soulevant un crayon, je travaille plus sur ce crayon maintenant que sur cette poubelle."
As-tu raison ?
Rappelle-toi que l'intégrale d'une courbe de force en fonction du déplacement est égale au travail effectué par cette force. Par conséquent, puisque tu n'as pas du tout déplacé la poubelle, bien que tu l'aies poussée de toutes tes forces, le déplacement total de la poubelle est \(0,\rmathrm{m}\r). Pas de déplacement signifie qu'il n'y a pas de courbe de force en fonction du déplacement, ce qui signifie que tu n'as pas travaillé sur la poubelle. Pour le crayon, c'est une autre histoire. Disons que tu as soulevé le crayon avec une force variable qui peut être décrite par l'équation suivante
$$F(x)=ax^2+\frac{1}{2}bx+1.00\,\mathrm{N},$$
où \(a=1.00\,\mathrm{\tfrac{N}{m^2}}\) et \(b=1.00\,\mathrm{\tfrac{N}{m}}\). Quelle est la quantité de travail effectuée sur le crayon si tu le soulèves de \(0,750\,\mathrm{m}\) par rapport à l'endroit où il se trouve au repos, par rapport à la quantité de travail que tu as effectuée sur la poubelle ?
Commençons par tracer un graphique de la force en fonction de la position de notre crayon.
Fig. 2 - La surface (bleue) sous cette courbe entre \(0,000\\N,\Nmathrm{m}\N) et \N(0,750\N\N,\Nmathrm{m}\N) nous donne le travail total que tu as effectué sur le crayon.
Ok, maintenant que nous avons une meilleure vision de ce qui se passe dans ce problème, nous allons nous plonger dans notre solution.
Rappelle la formule du travail :
$$W = \int_{\vec a}^{\vec b} \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}.$$
Dans ce scénario, nous ne considérons qu'une seule dimension, ce qui nous permet d'isoler les vecteurs, et nous savons que \(a=0,000\,\mathrm{m}\) et \(b=0,750\,\mathrm{m}\) parce que c'est la quantité de déplacement du crayon (nos limites d'intégration). Nous devons ensuite intégrer notre fonction \(F(x)\) sur ces limites par rapport à notre déplacement \(x\) :
$$\begin{align*} W &= \int_{0.000\\N,\mathrm{m}}^{0.750\N,\mathrm{m}} F(x)\cdot \mathrm{d}x \\c= \int_{0.000\N;\mathrm{m}}^{0.750\N;\mathrm{m}} \left(ax^2+\frac{1}{2}bx+1,00\N\N{right)\N \mathrm{d}x \N &= \left.\left(\frac{1}{3}ax^3 + \frac{1}{4}bx^2 +(1,00\N\N})x\N{right) \right|_{0,000\N \mathrm{m}}^{0,750\N\N \mathrm{m}} \N- &= \frac{1}{3}\Nà gauche(1.00\N,\mathrm{\tfrac{N}{m^2}\Nà droite)(0.750\N,\mathrm{m})^3 + \frac{1}{4}\Nà gauche(1.00,\mathrm{\rfrac{N}{m}}\r droite) (0,750\mathrm{m})^2 \N &+1,00,\mathrm{N}(0,750\mathrm{m}) - 0,\mathrm{J} \N- &= 1.03\N,\Nmathrm{J}. \N- \N- \N- \NFin{align*}$$$
Par conséquent, nous faisons \(1,03\N,\Nmathrm{J}\Nplus de travail sur le crayon que sur la poubelle. Nous concluons également que l'aire sous la courbe de la figure ci-dessus est \(1,03\,\mathrm{J}\).
Pente de la force par rapport à la position
Tu te souviens que nous avons dit que la physique consiste à trouver des relations ? Voyons si nous pouvons trouver une relation entre la force et la position qui expliquerait la pente d'un graphique de la force par rapport à la position.
Signification de la pente du graphique de la force par rapport à la position
La pente est égale à l'augmentation de la course ; par conséquent, la pente de notre graphique ressemblerait à ceci :
$$\frac{F}{\Delta x}\\\mathrm{.}$$
Cette équation te dit quelque chose ? C'est la formule de la constante du ressort \(k\) qui apparaît dans la loi de Hooke.
Laloi de Hooke relie la force exercée par un ressort à son déplacement multiplié par une constante qui quantifie l'élasticité de ce ressort particulier \(k\).
Écrite mathématiquement, la loi de Hooke ressemble à ceci
$$F_\text{spring}=-kx,$$
où \(F_\text{spring}\) est l'ampleur de la force du ressort et \(x\) est la distance du ressort par rapport à l'équilibre.
Cela signifie qu'un graphique de la force en fonction de la position qui se réfère à l'effet du déplacement sur la force d'un ressort aurait une constante de ressort qui pourrait être calculée à l'aide de la formule suivante
$$k = \frac{F}{\Delta x}\\\mathrm{.}$$$
Fig. 3 - Note que la variable \(k\) est multipliée par \(x\) pour montrer que \(k\) est la pente. Puisque \(k\) est une valeur constante, la force et le déplacement ci-dessus ont une relation directement proportionnelle.
La pente d'un graphique de force en fonction de la position est constante, comme le montre la figure 2 ci-dessus lorsque nous nous référons aux ressorts et à la loi de Hooke : dans ce cas précis, la pente de notre graphique de force-déplacement est constante et égale à la constante du ressort \(k\). Cependant, lorsque l'on généralise la pente d'un graphique force-déplacement, la pente n'a pas besoin d'être constante. Par exemple, \(F(x)\) pourrait, peut-être, être une force variable décrite par une équation d'ordre supérieur, ce qui signifie que la pente de notre graphique pourrait suivre une trajectoire plus parabolique ou cubique. Par conséquent, d'une manière générale, nous devons dire que la pente d'un graphique de force en fonction de la position est sa dérivée, ce qui peut s'appliquer à de nombreux autres scénarios physiques : la constante de ressort \(k\) n'est qu'un exemple dans le cas où la force est directement proportionnelle au déplacement.
Par conséquent, nous pouvons réécrire notre équation pour une "constante de ressort variable" \(k_\text{variable}\) sous un nouvel angle, en faisant appel à notre connaissance des dérivées :
$$k_\text{variable}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x).$$
L'équation ci-dessus se traduit par "\(k_\text{variable}\) est égale à la dérivée de notre force faisant le travail pris par rapport à notre déplacement \(x\)."
Un regard plus attentif sur \(k\)
Pour les ressorts idéaux, \(k\) n'est pas variable et est une constante qui dépend des caractéristiques inhérentes au ressort.
Fig. 4 - Lorsque le ressort se dilate ou se contracte (il se déplace d'une certaine quantité \(x\) par rapport à l'équilibre), la force exercée change ; la constante \(k\) quantifie l'élasticité du ressort.
Le graphique de la figure 4 examine de plus près la signification de la constante du ressort \(k\). Lorsque le ressort s'éloigne d'une certaine quantité \(x\) de l'équilibre, la force de rappel essaie de le ramener (représentée par la flèche verte \(F_\text{s}\)). La force exercée sur le ressort, qui provoque son déplacement, est représentée par la flèche violette \(F\). La constante du ressort \(k\N) est l'élasticité du ressort, elle quantifie la difficulté qu'ont nos deux forces à déplacer le ressort, ou en d'autres termes, à changer \N(x\N).
Unités de la pente de la force par rapport à celle de la position
En suivant un processus similaire, on peut trouver les unités de la pente d'un graphique de force en fonction de la position. Commence par notre équation de travail,
$$\frac{F}{\Delta x}\\\mathrm{,}$$
et reconnais que les unités pour la force sont les newtons et pour la position, les mètres :
$$\mathrm{\frac{N}{m}\\}\mathrm{.}$$
Ces unités sont très logiques. Comme \(k\) est la constante du ressort, le fait que ses unités soient les newtons sur les mètres montre qu'on peut la trouver en calculant la force par unité de longueur. Cela donne l'élasticité du ressort. Rappelle-toi que les newtons sont donnés comme suit
$$\mathrm{N=\frac{m\,kg}{s^2}\\}\mathrm{,}$$
Par conséquent, nous pouvons relier notre compréhension initiale des unités, la force sur les mètres, à une nouvelle compréhension :
$$\mathrm{\frac{N}{m}\\=\frac{kg}{s^2}\\}\mathrm{.}$$
En allant encore plus loin, nous pouvons voir comment la constante du ressort est liée à la tension superficielle. La tension superficielle s'obtient en calculant la force sur une longueur, et son unité est le kilogramme sur la seconde au carré, tout comme la constante d'élasticité.
Graphique de la force en fonction de la position et de la vitesse
Les graphiques de la force par rapport à la position nous donnent suffisamment d'informations pour trouver la vitesse d'un objet. En calculant le travail à partir du graphique en trouvant l'aire sous la courbe, on peut trouver la vitesse à l'aide du théorème travail-énergie.
Rappelle-toi que le théorème travail-énergie stipule que le travail effectué par une force sur un objet est égal à la variation de l'énergie cinétique de cet objet.
Une force horizontale est exercée sur un objet dont la masse est \N(10,0\N,\Nmathrm{kg}\N). Cet objet commence au repos avec un déplacement de \N(x = 0,00\N,\Nmathrm{m}\N). Il continue ensuite horizontalement jusqu'à ce qu'il atteigne une position \(5,00\N,\Nmathrm{m}\N) par rapport à son point de départ et s'arrête. La force exercée sur l'objet en fonction de la position est donnée ci-dessous.
Fig. 5 - \(c\N) égale \N(1\N,\Nmathrm{\Nfrac{N}{m}}\N). Cette image représente la force exercée sur l'objet en fonction de son déplacement.
Quelle est la vitesse de l'objet ?
En calculant l'intégrale de l'équation ci-dessus, nous pouvons trouver le travail effectué par la force sur l'objet :
$$W = \int_{0,00\\Nmathrm{m}}^{5,00\Nmathrm{m}} F(x)\, \mathrm{d}x.$$
Dans ce cas, nous représentons notre déplacement par \(x\N), et non par \N(\Nvec{r}\N), parce que la force exercée est dans une seule dimension, \N(x\N).
Nous savons que \(F(x)=cx\) où \(c\) est égal à \(1\,\mathrm{\frac{N}{m}}\), par conséquent, nous pouvons remplacer \(F(x)\) dans notre équation pour \(x\) et ensuite calculer l'intégrale :
$$\begin{align*} W &= \int_{0,00\Nmathrm{m}}^{5,00\Nmathrm{m}} cx \Nmathrm{d}x \Nmathrm{d}x \Nmathrm{d}x &= \frac{cx^2}{2} \Big |_{0.00\,\mathrm{m}}^{5.00\,\mathrm{m}} \N- &= \Nà gauche(1\N,\Nmathrm{\N{N}{m}}\Nà droite) \Nfrac{(5.00\N,\Nmathrm{m})^2}{2} - 0.00\,\mathrm{N\,m} \N- W &= 12.5\N- \NMathrm{J}.\Nend{align*}$$$
Note que \(1\N) joule est équivalent à \N(1\N) newton mètre.
En utilisant le théorème travail-énergie, nous pouvons relier le travail à la vitesse de l'objet. Rappelle-toi que le théorème travail-énergie s'énonce comme suit
$$W = \Delta K$$
sous la forme d'une relation mathématique, c'est-à-dire
$$W = \frac{1}{2}\mv^2\mathrm{.}$$$
La variation de l'énergie cinétique est identique à la formule habituelle de l'énergie cinétique parce que l'objet a commencé au repos et que la vitesse initiale était donc de \(0\). Ainsi, la variation de la vitesse est simplement la vitesse totale.
Maintenant que nous avons notre équation
$$\frac{2W}{m}\\\N = v^2$$
est posée, résolvons-la symboliquement,
$$v=\sqrt{\frac{2W}{m}\\}\mathrm{,}$$
avant d'introduire des chiffres.
Ça a l'air bien. Maintenant, nous allons brancher et faire tourner la machine,
$$\sqrt{\frac{2\times 12.5\,\mathrm{N\,m}}{10.0\,\mathrm{kg}}\\} = 1.58\,\mathrm{\frac{m}{s}\\}\mathrm{,}$$
pour obtenir la réponse :
$$v = 1,58,\mathrm{\frac{m}{s}\\mathrm{,}$$$.
Notre réponse pour la vitesse de l'objet est \N(1,58\N) mètres par seconde.
Maintenant, quand ta mère te demande de sortir la poubelle, dis-lui que tu pourrais faire plus d'efforts en soulevant simplement un crayon (si tu ne parviens pas à déplacer la poubelle).
Graphiques de la force et de la position - Principaux points à retenir
- Pour que deux choses aient une relation directement proportionnelle, il faut qu'elles se profitent mutuellement. Cela signifie que si l'une augmente, l'autre augmente aussi ; si l'une diminue, l'autre fait de même.
- L'aire sous le graphique de la force en fonction de la position est égale au travail effectué par la force sur l'objet déplacé.
- L'intégration d'une fonction de force par rapport à \(x\) donne le travail total effectué sur l'objet par cette force : $$W = \int_{\vec a}^{\vec b} \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}.$$
- Le produit de points est une opération utilisée pour les vecteurs qui consiste essentiellement à les multiplier. Il donne une valeur qui montre à quel point les deux vecteurs sont parallèles. Exprimé mathématiquement, le produit en points est $$\vec{A} \cdot \vec{B} = A B \cos{\theta}\mathrm{.}$$.
- Pour un graphique de la force en fonction du déplacement se référant à un ressort, la pente est égale à la constante du ressort \(k\).
- La pente d'un graphique de force en fonction de la position est la dérivée de la fonction de force par rapport à \(x\). Par conséquent, pour une fonction impliquant des ressorts et la loi de Hooke, nous pouvons écrire \(k\) comme suit : $$k=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_\text{H} (x).$$
- Les unités de \(k\) sont les newtons sur les mètres, ce qui peut être simplifié à : $$\mathrm{\frac{N}{m}\\=\frac{kg}{s^2}\\}\mathrm{.}$$
- La vitesse d'un objet peut être déterminée à l'aide d'un graphique de la force en fonction de la position en calculant l'aire sous la courbe pour trouver le travail. Ensuite, le travail peut être relié à la vitesse par le théorème travail-énergie. Après simplification, la vitesse de l'objet est égale à $$v = \sqrt{\frac{2W}{m}\}\mathrm{.}$$.
Références
- Fig. 1 - Graphique de la force en fonction du déplacement : la surface est le travail, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Graphique de la force en fonction de la position avec une force variable, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Graphique de la force en fonction du déplacement : la pente est constante, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Force de rappel d'un ressort, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Exemple de force en fonction de la position, StudySmarter Originals.
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