La forme standard (également connue sous le nom de forme d'indice standard) te permet de représenter des nombres très grands et très petits en utilisant un système de notation numérique. Elle est similaire à l'utilisation des préfixes SI.
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Équipe enseignants Forme standard
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Par exemple, cent mètres peuvent être exprimés par 100 m, mais ils peuvent aussi être exprimés par \(1 \cdot 10^3\) mètres en utilisant la forme standard. Le principe de cette équivalence est simple et consiste à multiplier la quantité par dix et à l'élever à une puissance qui te donne le nombre correct. Vois les deux exemples suivants :
\(1000 \space grammes = 1 \space kilogramme = 1 \cdot 10^3 \space g\)
\(0,0000023 \space mètres = 2,3 \space micromètres = 2,3 \cdot 10^{-6} m\)
Les derniers chiffres représentent le facteur. Ainsi, par exemple, si tu multiplies \(1 \cdot 10^3\) g, tu obtiens 1000 grammes. La forme standard nous aide également à réduire les grands nombres à une notation plus petite, comme dans les exemples ci-dessous.
\N(1 530 000 \Nwatts spatiaux = 1,53 \Ncdot 10^6 \Nwatts spatiaux\N)
\(45,500,000 \space calories = 45.5 \cdot 10^6 \space calories\)
\N(120,000 \Nspace kg = 12 \Ncdot 10^4 \Nspace kg\N)
La forme standard est utilisée différemment selon la taille du nombre. Si le nombre est plus petit que l'unité, l'exposant est négatif. Si le nombre est plus grand que l'unité, l'exposant est positif.
Voici une explication sur la façon d'utiliser la forme standard pour les petits nombres.
Tout d'abord, vérifie combien de décimales ton nombre est inférieur à l'unité.Prenonsl'exemple de 0,0003.
Pour que le chiffre 3 apparaisse avant la virgule, tu dois déplacer la virgule de 4 places vers la droite.
Ensuite, tu multiplies trois par dix. Ton exposant est -4, ce qui te donne \(3 \cdot 10^{-4}\).
Et voici une explication sur la façon d'utiliser la forme standard pour les grands nombres.
Tout d'abord, vérifie combien de décimales ton nombre se trouve au-dessus de l'unité.Prenonsl'exemple de \(32476.0\).
Pour que le nombre 3 apparaisse immédiatement avant la virgule, tu dois déplacer la virgule de 4 places vers la gauche.
Ensuite, tu multiplies trois par dix. L'exposant est cette fois 4, ce qui donne \N(3.2476 \cdot 10^4\).
Le système SI te permet d'échanger les préfixes et la forme standard contre des symboles lorsque c'est nécessaire. Les symboles standard sont des symboles utilisés pour remplacer les formes factorielles et les préfixes.
Par exemple, 2,3 micromètres (préfixe micro) est égal à la fois à 2,3μm (symbole) et à \(2,3 \cdot 10^{-6}\) m (forme standard).
Tu trouveras ci-dessous un tableau avec les préfixes, les facteurs et les symboles utilisés pour toutes les unités.
| Tableau 3. Symboles, forme standard et représentation des grandes quantités. | |||
|---|---|---|---|
| Symbole | Forme standard | Représentation | Nom |
| Y | \(10 ^ {24}\) | 1,000,000,000,000,000,000,000,000 | Septillion |
| Z | \(10 ^ {21}\) | 1,000,000,000,000,000,000,000 | Sextillion |
| E | \(10 ^ {18}\) | 1,000,000,000,000,000,000 | Quintilion |
| P | \(10 ^ {15}\) | 1,000,000,000,000,000 | Quadrillion |
| T | \(10 ^ {12}\) | 1,000,000,000,000 | Trllion |
| G | \(10 ^ 9\) | 1,000,000,000 | Milliard |
| M | \(10 ^ 6\) | 1,000,000 | millions |
| k | \(10 ^ 3\) | 1,000 | Mille |
| H | \(10 ^ 2\) | 100 | Cent |
| 'là' | \(10 ^ 1\) | 10 | Dix |
| Tableau 4. Symboles, forme standard, représentation de petites quantités. | |||
|---|---|---|---|
| Symbole | Forme standard | Représentation | Nom |
| y | \(10 ^ {-24}\) | 0,000,000,000,000,000,000,000,001 | septillionième |
| z | \(10 ^ {-21}\) | 0,000,000,000,000,000,000,001 | sextillionième |
| a | \(10 ^ {-18}\) | 0,000,000,000,000,000,001 | quintième |
| f | \(10 ^ {-15}\) | 0,000,000,000,000,001 | quadrillionième |
| p | \(10 ^ {-12}\) | 0,000,000,000,001 | trllionième |
| n | \(10 ^ {-9}\) | 0,000,000,001 | milliardième |
| μ | \(10 ^ {-6}\) | 0.000.001 | millionième |
| m | \(10 ^ {-3}\) | 0.0001 | millième |
| c | \(10 ^ {-2}\) | 0.01 | centième |
| d | \(10 ^ {-1}\) | 0.1 | dixième |
La forme standard est très utile lorsqu'il s'agit d'unités et de calculs en physique, en mathématiques ou en ingénierie. De nombreuses quantités sont très petites, comme la charge d'un électron, sa masse ou même la pression en pascals. Les exemples suivants illustrent l'utilisation de la forme standard.
Calcule la charge totale en coulombs d'une particule alpha et exprime le résultat à l'aide de la forme standard.
Une particule alpha est composée de deux protons et de deux neutrons. Les seules particules chargées sont les protons, qui ont une charge de \(1.602176634 \cdot 10^{-19}\) C.
La charge totale est la charge du proton multipliée par deux.
\(\text{Charge totale} = (1.602 \cdot 10^{-19} C) \cdot 2 = 3.204 \cdot 10 ^{-19} C\)
Exprime la pression atmosphérique au niveau de la mer de pascals en grammes par mètre carré en utilisant la forme standard.
La valeur acceptée pour la pression atmosphérique au niveau de la mer est 101325 Pa, et un pascal est égal à un newton appliqué sur un mètre carré.
\(101325 \space Pa = 101325 \space N/m^2\)
Nous savons également qu'un newton est égal à un kilogramme par mètre sur une seconde carrée.
\(101325 \space N/m^2 = 101325 (kg \cdot m)/s^2m^2 = 101325 kg/s^2m\)
Et nous savons qu'un kilogramme correspond à 1000 grammes.
\(101325 kg/s^2 m = 101325000 g/s^2 m\)
Cette quantité est très importante, nous pouvons donc l'exprimer sous forme standard.
\(101325000 g/s^2m = 1,01 \cdot 10^8 g/s^2m\)
C'est une façon beaucoup plus courte et meilleure d'exprimer la pression si tu utilises des grammes.
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