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Par exemple, cent mètres peuvent être exprimés par 100 m, mais ils peuvent aussi être exprimés par \(1 \cdot 10^3\) mètres en utilisant la forme standard. Le principe de cette équivalence est simple et consiste à multiplier la quantité par dix et à l'élever à une puissance qui te donne le nombre correct. Vois les deux exemples suivants :
\(1000 \space grammes = 1 \space kilogramme = 1 \cdot 10^3 \space g\)
\(0,0000023 \space mètres = 2,3 \space micromètres = 2,3 \cdot 10^{-6} m\)
Les derniers chiffres représentent le facteur. Ainsi, par exemple, si tu multiplies \(1 \cdot 10^3\) g, tu obtiens 1000 grammes. La forme standard nous aide également à réduire les grands nombres à une notation plus petite, comme dans les exemples ci-dessous.
\N(1 530 000 \Nwatts spatiaux = 1,53 \Ncdot 10^6 \Nwatts spatiaux\N)
\(45,500,000 \space calories = 45.5 \cdot 10^6 \space calories\)
\N(120,000 \Nspace kg = 12 \Ncdot 10^4 \Nspace kg\N)
Utilisation de la forme standard
La forme standard est utilisée différemment selon la taille du nombre. Si le nombre est plus petit que l'unité, l'exposant est négatif. Si le nombre est plus grand que l'unité, l'exposant est positif.
Petits nombres
Voici une explication sur la façon d'utiliser la forme standard pour les petits nombres.
Tout d'abord, vérifie combien de décimales ton nombre est inférieur à l'unité.Prenonsl'exemple de 0,0003.
Pour que le chiffre 3 apparaisse avant la virgule, tu dois déplacer la virgule de 4 places vers la droite.
Ensuite, tu multiplies trois par dix. Ton exposant est -4, ce qui te donne \(3 \cdot 10^{-4}\).
Les grands nombres
Et voici une explication sur la façon d'utiliser la forme standard pour les grands nombres.
Tout d'abord, vérifie combien de décimales ton nombre se trouve au-dessus de l'unité.Prenonsl'exemple de \(32476.0\).
Pour que le nombre 3 apparaisse immédiatement avant la virgule, tu dois déplacer la virgule de 4 places vers la gauche.
Ensuite, tu multiplies trois par dix. L'exposant est cette fois 4, ce qui donne \N(3.2476 \cdot 10^4\).
Quels sont les symboles standard ?
Le système SI te permet d'échanger les préfixes et la forme standard contre des symboles lorsque c'est nécessaire. Les symboles standard sont des symboles utilisés pour remplacer les formes factorielles et les préfixes.
Par exemple, 2,3 micromètres (préfixe micro) est égal à la fois à 2,3μm (symbole) et à \(2,3 \cdot 10^{-6}\) m (forme standard).
Tu trouveras ci-dessous un tableau avec les préfixes, les facteurs et les symboles utilisés pour toutes les unités.
Symboles,forme standard, représentation et noms des grandes quantités
| Tableau 3. Symboles, forme standard et représentation des grandes quantités. | |||
|---|---|---|---|
| Symbole | Forme standard | Représentation | Nom |
| Y | \(10 ^ {24}\) | 1,000,000,000,000,000,000,000,000 | Septillion |
| Z | \(10 ^ {21}\) | 1,000,000,000,000,000,000,000 | Sextillion |
| E | \(10 ^ {18}\) | 1,000,000,000,000,000,000 | Quintilion |
| P | \(10 ^ {15}\) | 1,000,000,000,000,000 | Quadrillion |
| T | \(10 ^ {12}\) | 1,000,000,000,000 | Trllion |
| G | \(10 ^ 9\) | 1,000,000,000 | Milliard |
| M | \(10 ^ 6\) | 1,000,000 | millions |
| k | \(10 ^ 3\) | 1,000 | Mille |
| H | \(10 ^ 2\) | 100 | Cent |
| 'là' | \(10 ^ 1\) | 10 | Dix |
Symboles,forme standard, représentation et noms pour les petites quantités.
| Tableau 4. Symboles, forme standard, représentation de petites quantités. | |||
|---|---|---|---|
| Symbole | Forme standard | Représentation | Nom |
| y | \(10 ^ {-24}\) | 0,000,000,000,000,000,000,000,001 | septillionième |
| z | \(10 ^ {-21}\) | 0,000,000,000,000,000,000,001 | sextillionième |
| a | \(10 ^ {-18}\) | 0,000,000,000,000,000,001 | quintième |
| f | \(10 ^ {-15}\) | 0,000,000,000,000,001 | quadrillionième |
| p | \(10 ^ {-12}\) | 0,000,000,000,001 | trllionième |
| n | \(10 ^ {-9}\) | 0,000,000,001 | milliardième |
| μ | \(10 ^ {-6}\) | 0.000.001 | millionième |
| m | \(10 ^ {-3}\) | 0.0001 | millième |
| c | \(10 ^ {-2}\) | 0.01 | centième |
| d | \(10 ^ {-1}\) | 0.1 | dixième |
Exemples de formes standard utilisant des unités
La forme standard est très utile lorsqu'il s'agit d'unités et de calculs en physique, en mathématiques ou en ingénierie. De nombreuses quantités sont très petites, comme la charge d'un électron, sa masse ou même la pression en pascals. Les exemples suivants illustrent l'utilisation de la forme standard.
Calcule la charge totale en coulombs d'une particule alpha et exprime le résultat à l'aide de la forme standard.
Une particule alpha est composée de deux protons et de deux neutrons. Les seules particules chargées sont les protons, qui ont une charge de \(1.602176634 \cdot 10^{-19}\) C.
La charge totale est la charge du proton multipliée par deux.
\(\text{Charge totale} = (1.602 \cdot 10^{-19} C) \cdot 2 = 3.204 \cdot 10 ^{-19} C\)
Exprime la pression atmosphérique au niveau de la mer de pascals en grammes par mètre carré en utilisant la forme standard.
La valeur acceptée pour la pression atmosphérique au niveau de la mer est 101325 Pa, et un pascal est égal à un newton appliqué sur un mètre carré.
\(101325 \space Pa = 101325 \space N/m^2\)
Nous savons également qu'un newton est égal à un kilogramme par mètre sur une seconde carrée.
\(101325 \space N/m^2 = 101325 (kg \cdot m)/s^2m^2 = 101325 kg/s^2m\)
Et nous savons qu'un kilogramme correspond à 1000 grammes.
\(101325 kg/s^2 m = 101325000 g/s^2 m\)
Cette quantité est très importante, nous pouvons donc l'exprimer sous forme standard.
\(101325000 g/s^2m = 1,01 \cdot 10^8 g/s^2m\)
C'est une façon beaucoup plus courte et meilleure d'exprimer la pression si tu utilises des grammes.
Forme standard - Points clés
- Le système SI te permet d'utiliser des formes compactes pour représenter les petites et grandes quantités en chiffres. La forme compacte est appelée forme standard.
- La forme standard utilise des exposants où le nombre est multiplié par des facteurs de dix pour rendre les expressions plus compactes. Des exemples d'expression de nombres sous forme standard sont \N(100 = 1 \cdot 10^2\) et \N(1000 = 1 \cdot 10^3\).
- Dans la forme standard, les quantités supérieures à l'unité utilisent un exposant positif, tandis que les quantités inférieures à l'unité utilisent un exposant négatif, comme \(0,1 = 1 \cdot 10^{-1}\).
- Le système SI utilise également des symboles pour remplacer les préfixes et les formes factorielles.
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