Forces conservatrices et énergie potentielle

Signification de l'énergie potentielle

Avant de nous plonger dans les détails de l'énergie potentielle, commençons par parler de l'énergie en général.

Rappelle que le travail est égal à la force multipliée par le déplacement. Écrite sous forme d'intégrale, elle se présente comme suit :

$$W=\int_{x_\mathrm{i}}^{x_\mathrm{f}} F(x) dx\mathrm{.}$$.

Ici, nous voyons que le travail peut être calculé en multipliant la force \(F(x)\) par le déplacement par incréments de \(\mathrm{d} x\) sur la distance totale que nous devons parcourir (de \(x_\mathrm{i}\) à \(x_\mathrm{f}\)). Cela signifie qu'un objet, ou un système, a d'autant plus d'énergie qu'il peut exercer une force sur un certain déplacement.

Nous pouvons décrire ce théorème mathématiquement comme suit :

$$W=\Delta KE$$

où \(W\) est le travail effectué et \(\Delta KE\) est la variation de l'énergie cinétique. Rappelle-toi que l'énergie cinétique est égale à

$$KE = \frac{1}{2}\mv^2\mathrm{,}$$$

Par conséquent, nous pouvons réécrire notre équation de travail en substituant l'équation ci-dessus à notre énergie cinétique. Notre nouvelle équation serait la suivante

$$W=\frac{1}{2}\\mv_\mathrm{f}^2-\frac{1}{2}mv_\mathrm{i}^2\mathrm{.}$$

C'est important car cela va nous aider à comprendre la relation entre l'énergie potentielle, l'énergie cinétique et le travail.

Définition de l'énergie potentielle

Pour que nous puissions vraiment avancer dans l'article sur l'énergie potentielle et les forces conservatrices, nous devrions sans doute définir l'énergie potentielle.

Par exemple, un crayon posé sur le sol n'aurait pas d'énergie potentielle. Cependant, si je ramasse ce crayon et l'élève à un mètre du sol, il aura de l'énergie potentielle. Mais pourquoi ? Qu'est-ce qui a changé ?

Maintenant que le crayon est suspendu en l'air, la force de gravité veut agir sur lui, et à la seconde où je le lâcherai, ce crayon s'écrasera. Par conséquent, lorsque j'élève le crayon au-dessus du sol, je lui donne la possibilité d'effectuer un travail. Auparavant, il ne pouvait rien faire ; il était simplement assis là. Mais maintenant, il a la capacité, s'il est libéré, de déclencher un travail en transférant l'énergie potentielle en énergie cinétique. Tu te souviens du théorème du travail et de l'énergie dont nous avons parlé plus haut ? Lorsque le crayon tombera sur le sol, il aura une vitesse qui lui donnera de l'énergie cinétique, ce qui, en vertu du théorème travail-énergie, lui permettra d'effectuer un travail.

Fig. 2 - En haut de la rampe, toute l'énergie que possède la balle est potentielle. Lorsqu'elle arrive en bas de la rampe, toute l'énergie de la balle a été convertie d'énergie potentielle en énergie cinétique.

Formule de l'énergie potentielle

Ok, je sais ce qu'est l'énergie potentielle, mais comment la quantifier ? C'est à cela que sert la formule de l'énergie potentielle. Avec la formule

$$\Delta U_\mathrm{g} = mg\Delta h\mathrm{,}$$

nous pouvons déterminer la quantité d'énergie potentielle gravitationnelle d'un objet.

Remarque quelques points.

• L'énergie potentielle est représentée par une majuscule \(U\).
• Le petit indice \(\mathrm{g}\) signifie que cette formule ne concerne que l'énergie potentielle gravitationnelle.
• \N(m\N) est la masse, \N(g\N) est la constante gravitationnelle, et \N(\NDelta h\N) est le changement de hauteur (donc dans l'exemple du crayon, ce serait \N(1\N,\Nmathrm{meter}\N) parce que le crayon était à \N(1\N,\Nmathrm{meter}\Ndu sol).

Force conservatrice et énergie potentielle

Nous ne pouvions pas parler d'énergie potentielle sans parler de forces conservatrices. Ne t'inquiète pas, la physique n'a que faire de la politique. Nous n'allons pas nous lancer dans une diatribe sur le deuxième amendement ou quoi que ce soit d'autre. Nous allons cependant garder le thème un peu patriotique et parler de l'indépendance, enfin, de l'indépendance des chemins. (Oui, je sais que tes yeux ne vont probablement pas se remettre d'avoir roulé autant à cause de ces terribles jeux de mots).

Qu'est-ce qu'une force conservatrice ?

En quelques mots, les forces conservatrices sont des forces indépendantes de la voie. Cela signifie que nous ne nous préoccupons pas du milieu de l'histoire. Si j'étais un patron strict et que je voulais que tu travailles à 9 heures précises, je ne me soucierais pas de savoir comment tu y es arrivé, mais seulement que tu y sois arrivé. Peu m'importe que tu aies pris le bus, la voiture, le train ou l'avion : ce qui compte, c'est que tu sois là à 9 h. C'est ainsi que fonctionnent les forces conservatrices.

Fig. 3 - Remarque que le chemin emprunté n'a pas d'importance ; de toute façon, nous passons de \(E=0\) à \(E=mgh\).

Il est également essentiel de prendre note d'un autre type de force : les forces dissipatives.

Elles sont donc différentes des forces conservatrices à cet égard. Les exemples de forces conservatrices sont le frottement, les forces de résistance ou les forces extérieures au système.

Relation entre la force conservatrice et l'énergie potentielle

L'énergie potentielle permet d'effectuer un travail indépendamment de la trajectoire. Par conséquent, tu peux penser que l'énergie potentielle "met en place" le scénario parfait pour les forces conservatrices, en leur donnant une sorte de "alley-oop".

En comprenant la relation entre les forces conservatrices et l'énergie potentielle, nous pouvons dériver une formule pour un système objet-terre :

$$U_\mathrm{g} = \frac{-Gm_1 m_2}{r}\\mathrm{.}$$.

Remarque ici les similitudes entre cette équation et l'équation de l'énergie potentielle ci-dessus.

Application de la force conservatrice et de l'énergie potentielle

En comprenant la relation entre les forces conservatrices et l'énergie potentielle, les mathématiciens et les physiciens ont conçu cette relation mathématique fantaisiste :

$$\Delta U = -\int_a^b \vec F_{\mathrm{cf}} \cdot \mathrm{d} \vec r\mathrm{.}$$

Nous pourrions vraiment descendre dans le trou du lapin et entrer dans la dérivation de cette formule, mais je vais t'épargner le désordre mathématique. Cela signifie que l'énergie potentielle est égale à l'intégrale de la force conservatrice multipliée par le déplacement. Cela te semble-t-il familier ? Cela ressemble à notre formule pour le travail ! C'est presque comme si le travail et l'énergie potentielle étaient liés... attends, l'énergie n'est-elle passimplement la capacité de faire du travail ?

Si tu devais différencier cette intégrale pour calculer la force par rapport à l'énergie potentielle, tu obtiendrais la formule suivante

$$F_x = \frac{-\mathrm{d}U(x)}{\mathrm{d}x}\$$

en résulterait.

Exemples de force conservatrice et d'énergie potentielle

Un ressort idéal est un exemple de force conservatrice, dont la force est représentée par l'équation suivante

$$\vec F_\mathrm{s} = -k\Delta \vec x\mathrm{.}$$$

La force avec le trait de soulignement \(s\N) signifie la force du ressort, \N(k\N) est la constante du ressort, et \N(x\N) est le déplacement du ressort.

La formule

$$U_\mathrm{s} = \frac{1}{2} k \Delta x^2$$$

est utilisée pour calculer l'énergie potentielle d'un ressort.

Nous avons parcouru un long chemin depuis le premier de cet article. Tu viens d'être surchargé d'informations ; maintenant, c'est l'heure de l'embrayage. Nous sommes sur le green et il est temps de mettre la balle dans le trou. Voici les concepts les plus essentiels que tu devras retenir.