Forces des ressorts : Définition, formule et exemples
Un ressort a une masse négligeable et exerce une force, lorsqu'il est étiré ou comprimé, qui est proportionnelle au déplacement par rapport à sa longueur détendue. Lorsque tu saisis un objet attaché à un ressort, que tu le tires à une certaine distance de sa position d'équilibre et que tu le relâches, la force de rappel ramène l'objet à l'équilibre. Pour un système ressort-masse sur une table horizontale, la seule force agissant sur la masse dans la direction du déplacement est la force de rappel exercée par le ressort. En utilisant la deuxième loi de Newton, nous pouvons établir une équation pour le mouvement de l'objet. La direction de la force de rappel sera toujours opposée et antiparallèle au déplacement de l'objet. La force de rappel agissant sur le système ressort-masse dépend de la constante du ressort et du déplacement de l'objet par rapport à la position d'équilibre.
Fig. 1 - Représentation d'un système ressort-masse, où la masse oscille autour d'une position d'équilibre.
$$\vec{F_{\text{net}}}=m\vec a$$
Le long de la direction du déplacement \(\widehat x\) :
$$-kx=m\frac{\operatorname d^2x}{\operatorname dt^2}$$.
$$\frac{\operatorname d^2x}{\operatorname dt^2}=-\frac km x$$$
Où \(m\) est la masse de l'objet à l'extrémité du ressort en kilogrammes \((\mathrm{kg})\), \(a_x\) est l'accélération de l'objet sur l'axe \(\text{x-axis}\) en mètres par seconde au carré \((\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2})\), \(k\) est la constante du ressort qui mesure la rigidité du ressort en newtons par mètre \((\frac{\mathrm N}{\mathrm m})\), et \(x\) est le déplacement en mètres \((\mathrm m)\).
Cette relation est également connue sous le nom de loi de Hooke et peut être prouvée en mettant en place un système de ressorts avec des masses suspendues. Chaque fois que tu ajoutes une masse, tu mesures l'extension du ressort. Si la procédure est répétée, on observera que l'extension du ressort est proportionnelle à la force de rappel, dans ce cas, le poids des masses suspendues.
L'expression ci-dessus ressemble beaucoup à l'équation différentielle d'un mouvement harmonique simple. Le système ressort-masse est donc un oscillateur harmonique, dont la fréquence angulaire peut être exprimée par l'équation ci-dessous.
$$\oméga^2=\frac km$$
$$\omega=\sqrt{\frac km}$$$
Un ressort de \(12\;\mathrm{cm}\) a une constante de ressort de \(400\;{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}\). Quelle force est nécessaire pour étirer le ressort jusqu'à une longueur de \(14\;\mathrm{cm}\)?
Le déplacement a une magnitude de
$$x=14\;\mathrm{cm}\;-\;12\;\mathrm{cm}=2\;\mathrm{cm}=0.02\;\mathrm m$$
La force du ressort a une magnitude de
$$F_s=kx=(400\;{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}})(0.02\;\mathrm m)=8\;\mathrm N$$$
On dit qu'un système ressort-masse est en équilibre si aucune force nette n'agit sur l'objet. Cela peut se produire lorsque l'ampleur et la direction des forces agissant sur l'objet sont parfaitement équilibrées, ou simplement parce qu'aucune force n'agit sur l'objet. Toutes les forces n'essaient pas de rétablir l'équilibre de l'objet, mais les forces qui le font sont appelées forces de rappel, et la force du ressort est l'une d'entre elles.
Uneforce de rappel est une force qui agit contre le déplacement pour essayer de ramener le système à l'équilibre. Ce type de force est responsable de la génération des oscillations et est nécessaire pour qu'un objet soit en mouvement harmonique simple. En outre, la force de rappel est ce qui provoque le changement d'accélération d'un objet en mouvement harmonique simple. Lorsque le déplacement augmente, l'énergie élastique stockée augmente et la force de rappel augmente.
Dans le diagramme ci-dessous, nous voyons un cycle complet qui commence lorsque la masse est libérée du point \ (\text{A}\). Les forces du ressort font passer la masse par la position d'équilibre jusqu'à \ (\text{-A}\), avant de repasser par la position d'équilibre et d'atteindre le point \ (\text{A}\) pour terminer un cycle complet.
Fig. 2 - Cycle d'oscillation complet d'un système ressort-masse.
Combinaison de ressorts
Un ensemble de ressorts peut agir comme un seul ressort, avec une constante de ressort équivalente que nous appellerons \ (k_{{text{eq}}\). Les ressorts peuvent être disposés en série ou en parallèle. Les expressions de \ (k_{\text{eq}}\) varient en fonction du type de disposition. En série, l'inverse de la constante de ressort équivalente sera égal à la somme de l'inverse des constantes de ressort individuelles. Il est important de noter que dans un arrangement en série, la constante de ressort équivalente sera plus petite que la plus petite constante de ressort individuelle de l'ensemble.
$$\frac1{k_{eq\;series}}=\sum_n\frac1{k_n}$$
Fig. 3 - Deux ressorts en série.
Un ensemble de 2 ressorts en série ont des constantes de ressort de \ (1{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}\N) et \ (2{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}\N). Quelle est la valeur de la constante élastique équivalente ?
$$\frac1{k_{eq\;series}}=\frac1{1\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}+\frac1{2\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}$$$
$$\frac1{k_{eq\;series}}=\frac32{\textstyle\frac{\mathrm m}{\mathrm N}}$$
$$k_{eq\;series}=\frac23{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}$$.
En parallèle, la constante de ressort équivalente sera égale à la somme des constantes de ressort individuelles.
$$k_{eq\;parallel}=\sum_nk_n$$$
Fig. 4 - Deux ressorts en parallèle.
Un ensemble de 2 ressorts en parallèle a des constantes de \ (1{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}\) et \ (2{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}\). Quelle est la valeur de la constante élastique équivalente ?
$$k_{eq;parallel}=1\;{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}+\;2{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}=3\;{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}$$$
Graphique de la force en fonction du déplacement
Nous pouvons représenter la force du ressort en fonction de la position et déterminer l'aire sous la courbe. En effectuant ce calcul, nous obtiendrons le travail effectué sur le système par la force du ressort et la différence d'énergie potentielle stockée dans le ressort en raison de son déplacement. Comme, dans ce cas, le travail effectué par la force du ressort ne dépend que des positions initiales et finales, et non de la trajectoire qui les sépare, nous pouvons déduire la variation de l'énergie potentielle de cette force. Ces types de forces sont appelés forces conservatrices.
En utilisant le calcul, nous pouvons déterminer la variation de l'énergie potentielle.
$$\begin{array}{rcl}\triangle U&=&-\int_i^f{\overset\rightharpoonup F}_{cons}\cdot\overset\rightharpoonup{dx},\\\triangle U&=&-\int_i^f\left|{\overset\rightharpoonup F}_{\mathrm{cons}}\right|\left|\overset\rightharpoonup{dx}\right|\cos\left(180^\circ\right),\\\Ntriangle U&=&-\int_i^f\left(kx\right)\left(\mathrm dx\right)\cos\left(180^\circ\right),\\\triangle U&=&\frac12kx_{\mathrm f}^2-\frac12kx_{\mathrm i}^2.\Nend{array}$$
Fig. 5 - Graphique de la force en fonction du déplacement, la constante du ressort est la pente et l'énergie potentielle est la surface sous la courbe.
Force du ressort - Points clés
- Un ressort a une masse négligeable et exerce une force, lorsqu'il est étiré ou comprimé, qui est proportionnelle au déplacement par rapport à sa longueur détendue. Lorsque tu saisis un objet attaché à un ressort, que tu le tires à une certaine distance de sa position d'équilibre et que tu le relâches, la force de rappel ramène l'objet à l'équilibre.
- L'ampleur de la force du ressort est décrite par la loi de Hooke, \(kx=m\frac{\operatorname d^2x}{\operatorname dt^2}\).
- Ladirection de la force de rappel sera toujours opposée et antiparallèle au déplacement de l'objet.
- Un ensemble de ressorts peut agir comme un seul ressort, avec une constante de ressort équivalente, que nous appellerons \ (k_eq\).
- En série, l'inverse de la constante de ressort équivalente sera égal à la somme de l'inverse des constantes de ressort individuelles, \(\frac1{k_{eq\;série}}=\sum_n\frac1{k_n}\).
- En parallèle, la constante élastique équivalente sera égale à la somme des constantes élastiques individuelles \(k_{eq\;parallel}=\sum_nk_n\).
Références
- Fig. 1 - Représentation d'un système ressort-masse, où la masse oscille autour d'une position d'équilibre, StudySmarter Originals
- Fig. 2 - Cycle d'oscillation complet d'un système masse-ressort, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Deux ressorts en série, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Deux ressorts en parallèle, StudySmarter Originals
- Fig. 5 - Graphique de la force en fonction du déplacement, la constante du ressort est la pente et l'énergie potentielle est la surface sous la courbe, StudySmarter Originals
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