Force de rappel

Exemples : Ressorts et pendules

Lorsque tu saisis un objet attaché à un ressort, que tu le tires à une certaine distance de sa position d'équilibre et que tu le relâches, la force de rappel ramène l'objet à l'équilibre. Pour un système ressort-masse dans une table horizontale, la seule force agissant sur la masse dans la direction du déplacement est la force de rappel exercée par le ressort.

En utilisant la deuxième loi de Newton , nous pouvons établir une équation pour le mouvement de l'objet. Il est important de noter que dans cet article, nous n'utiliserons pas la forme vectorielle de la deuxième loi car dans ce cas, nous n'étudions que l'ampleur de la force de rappel dans une seule dimension. La direction de la force de rappel sera toujours antiparallèle au déplacement de l'objet. Cela peut être prouvé expérimentalement et c'est une caractéristique de la loi de Hooke. La force de rappel agissant sur le système ressort-masse dépend de la constante du ressort et du déplacement de l'objet par rapport à la position d'équilibre.

L'expression de la force est

$$F_x=ma_x.$$

En remplaçant la force du ressort par \(F_x\) et \(a_x\) pour la dérivée seconde par rapport au temps, nous obtenons

$$-kx=m\frac{\operatorname d^2x}{\operatorname dt^2}.$$

En réarrangeant la dérivée seconde, on obtient l'équation suivante

$$\frac{\operatorname d^2x}{\operatorname dt^2}=-\frac kmx,$$

où \(m\N) est la masse de l'objet à l'extrémité du ressort en kilogrammes \N((\Nmathrm{kg})\N), \N(a_x\N) est l'accélération de l'objet sur l'axe \N(\Ntext{x-axis}\N) en mètres par seconde au carré \N((\Nfrac{\Nmathrm m}{\Nmathrm s^2})\N)et \N(k\N) est la constante du ressort qui mesure la rigidité du ressort en newtons par mètre \N((\Nfrac{\Nmathrm N}{\Nmathrm m})), \(k\) est la constante du ressort qui mesure la rigidité du ressort en newtons par mètre \((\frac{\mathrm N}{\mathrm m})\), et \(x\) est le déplacement en mètres \((\mathrm m)\).

L'expression ci-dessus ressemble beaucoup à l'équation différentielle d'un mouvement harmonique simple, de sorte que le système ressort-masse est un oscillateur harmonique, où sa fréquence angulaire peut être exprimée par l'équation suivante :

$$\omega^2=\frac km,$$ ou explicitement comme suit .

$$\oméga=\sqrt{\frac km}.$$

Le deuxième exemple que nous allons aborder est celui d'un pendule simple. Un pendule simple est constitué d'une masse qui oscille autour d'une position d'équilibre tout en étantsuspendue à une tige ( ). La force de rappel est exercée par la gravité.

Comme nous pouvons le voir dans l'image ci-dessus, laforce de rappel est la composante de la force de gravité qui est antiparallèle au déplacement du pendule. Cette équation est obtenue en utilisant les relations trigonométriques et la géométrie du système.

$$sin\a gauche(\a droite)=\frac{\mathrm{opposé}}{\mathrm{hypoténuse}}=\frac{F_{antiparallèle}}{-mg}$$.

$$F_{antiparallèle}=F_{restauration}=-mg\sin\gauche(\theta\droite)$$$.

Où \(m\) est la masse du pendule en kilogrammes, \((\mathrm{kg})\), \(\mathrm g\) est l'accélération due à la gravité en mètres par seconde au carré, \((\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2})\), et \(\theta\) est l'angle entre la position d'équilibre et la position de déplacement en degrés ou en radians, \((^\circ\ ;\mathrm{or}\;\mathrm{rad})\).

Pour qu'un objet soit considéré comme un oscillateur harmonique, la force de rappel doit être proportionnelle au déplacement. Dans ce cas, elle est proportionnelle à la force de gravité et au sinus de l'angle de déplacement \N(\Ntheta\N). Cependant, dans certains cas, le mouvement d'un pendule simple est considéré comme un mouvement harmonique simple. Lorsque l'angle de déplacement est très petit, le sinus de l'angle de déplacement peut être approximativement égal à l'angle lui-même, tel que \(\sin\left(\theta\right)\approx\theta\). Dans ce cas, la force de rappel est proportionnelle au déplacement.

Nous pouvons maintenant examiner l'équation différentielle utilisée pour décrire le mouvement d'un pendule simple pour un petit angle de déplacement. Tout d'abord,nous devons introduire le concept de longueur d'arc afin de résoudre l'équation différentielle .

Encore une fois, nous commençons l'approche avec la deuxième loi de Newton, qui est donnée par.

En substituant la force de rappel et la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps, on obtient

$$-mg\sin\left(\theta\right)=m\frac{\nom de l'opérateur d^2s}{dt^2},$$ où \[\sin\left(\theta\right)\approx\theta,\]

\N- [\Nfrac{\Nnom de l'opérateur d^2s}{dt^2}=-g\Ntheta,\N] et où \N(s=L\Ntheta.\N)

La longueur du pendule étant constante, seul l'angle de déplacement changera avec le temps. L'équation devient alors

$$L\frac{\Nnom de l'opérateur d^2\theta}{dt^2}=-g\theta.$$

En réarrangeant pour l'accélération, on obtient

$$\frac{\operatorname d^2\theta}{dt^2}=-\frac gL\theta.$$

L'expression ci-dessus ressemble beaucoup à l'équation différentielle du mouvement harmonique simple, de sorte que le pendule simple avec un petit angle de déplacement est un oscillateur harmonique, où sa fréquence angulaire s'exprime comme suit.

$$\omega^2=\frac gL,$$

ou explicitement comme

$$\oméga=\sqrt{\frac gL}.$$