Relation entre la force centripète et la vitesse
Pour comprendre la relation entre la force centripète, considérons une balle sur une ficelle qui se déplace en cercle, comme indiqué ci-dessous.
La vitesse tangentielle \(\vec{v}\) de la balle est toujours dans une direction tangente au cercle. Si la magnitude de la vitesse est constante, la balle est en mouvement circulaire uniforme. Bien que l'amplitude de la vitesse soit constante, la direction du vecteur vitesse change constamment. La balle subit donc une accélération même si la vitesse ne change pas. Si la balle est en mouvement circulaire uniforme, le vecteur d'accélération \(\vec{a}\) est perpendiculaire au vecteur de vitesse, et pointe donc toujours vers le centre du cercle, comme le montre l'image. Cette composante radiale de l'accélération de l'objet est connue sous le nom d'accélération centripète, \(\vec{a}_c.\).
Accélération centripète: La composante radiale de l'accélération d'un objet se déplaçant de façon circulaire.
Si la balle subit un mouvement circulaire non uniforme dans lequel la vitesse de la balle n'est pas constante, il y aura des composantes du vecteur d'accélération qui ne pointeront pas vers le centre du cercle. Ces composantes d'accélération ne contribuent pas à l'accélération centripète.
Pour qu'un objet reste dans un mouvement circulaire, il faut qu'une force agisse sur lui. La force radiale nette qui agit sur un objet et le maintient dans un mouvement circulaire peut être appelée la force centripète. Dans notre exemple, la force centripète qui agit sur la balle pour la maintenir dans un mouvement circulaire provient de la force de tension de la ficelle. La force centripète pointe toujours dans la même direction que le vecteur d'accélération et est perpendiculaire au vecteur de vitesse.
Force centripète: La force totale agissant radialement sur un objet pour le maintenir dans un mouvement circulaire.
Il est bon de noter que la force centripète n'est pas une force réelle, mais que nous utilisons plutôt le terme force centripète pour décrire la force totale qui maintient l'objet dans un mouvement circulaire. Lorsque l'on dessine un diagramme de corps libre, la force centripète n'est pas indiquée comme une force réelle, mais les forces réelles qui fournissent la force centripète le sont. Dans l'exemple ci-dessus, la force centripète provient de la force de tension de la ficelle. La gravité est un autre bon exemple de force qui maintient un objet tel qu'un satellite en orbite autour de la terre.
Certaines personnes supposent qu'un objet en mouvement circulaire subit une "force centrifuge" vers l'extérieur qui pointe dans la direction opposée au centre du cercle. Cela n'est pas correct pour un cadre de référence inertiel. Lorsque nous examinerons un cadre de référence rotatif et non inertiel, nous discuterons de la force centrifuge plus en détail. Pour les besoins de l'AP Physics C, nous ne considérerons qu'un cadre de référence inertiel, nous recommandons donc de se concentrer sur la compréhension de la force centripète et de l'accélération et de ne pas tenir compte du terme "force centrifuge".
Formule pour la force centripète et la vitesse
Examinons de plus près les équations qui décrivent la force centripète et la vitesse. Considérons la balle sur une ficelle en deux points différents d'un cercle de rayon \(r\). À ces points, la balle a des vitesses correspondantes que nous appellerons \(\vec{v}_1\) et \(\vec{v}_2\). Nous appellerons également la distance parcourue par la balle \(\Delta x\) et l'angle \(\Delta \theta\). Le temps que la balle a mis pour aller d'une position à l'autre est \(\Delta t\).
Fig. 2 - Une balle sur une ficelle se déplaçant dans un mouvement circulaire uniforme est représentée à deux positions.
L'angle entre les vecteurs de vitesse initiale et finale est le même que le changement d'angle, \(\Delta \theta\), entre la première et la deuxième position. Cela signifie que nous pouvons dessiner deux triangles similaires pour le changement de vitesse, \N(\NDelta \Nvec{v},\N) et le changement de distance, \N(\NDelta x\N). Puisque les triangles sont des triangles semblables, le rapport des côtés semblables des triangles est égal et nous donne : \[\begin{align*}\frac{| \Delta \vec{v}|}{\vec{v}_1}&=\frac{\Delta x}{r}\\\\N- \Delta \vec{v}|&=\frac{\Delta x}{r}\vec{v}_1.\N-End{align*}\N]Réfléchissons maintenant à l'accélération moyenne. L'accélération est définie comme le changement de vitesse divisé par le changement de temps. Ainsi, nous pouvons écrire : \[\begin{align*}\vec{a}&=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\&=\frac{\Delta x}{r} \frac{\vec{v}_1}{\Delta t}\&=\frac{\vec{v}_1}{r}\frac{\Delta x}{\Delta t}.\N-END{align*}\N- Si nous considérons de très petits changements de distance et de temps, nous pouvons prendre la limite lorsque le changement de temps se rapproche de zéro. Lorsque la variation du temps se rapproche de zéro, la variation de la distance sur la variation du temps se rapproche de \(\vec{v}_1.\N) \[\Nlim_{\Delta t \Nà 0}\Nfrac{\NDelta x}{\Delta t} \Nà \Nvec{v}_1.\N]Nous pouvons maintenant écrire l'accélération sous la forme suivante : \[\begin{align*}\vec{a}&=\frac{\vec{v}_1}{r}\lim_{\Delta t \à 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}\&=\frac{\vec{v}_1}{r}\cdot \vec{v}_1.\[\N- Puisque nous avons pris la limite lorsque le changement de temps se rapproche de zéro, nous pouvons laisser tomber les indices et considérer la magnitude de la vitesseen tout pointsur le cercle. Nous arrivons maintenant à l'équation de l'accélération centripète en fonction de la vitesse : \[a_c=\frac{v^2}{r}.\]
Équation de la force centripète et de la vitesse
L'équation de la force centripète en fonction de la vitesse est obtenue en utilisant la deuxième loi de Newton : \[\begin{align*}F_c&=ma_c&=\frac{mv^2}{r}.\end{align*}\]Nous remarquons que la force centripète est proportionnelle à l'accélération centripète et au carré de la vitesse.
Il est important de se rappeler que l'équation ci-dessus pour l'accélération centripète prend en compte l'accélération du centre de masse du système. Les variables utilisées ci-dessus pour la position, la vitesse et l'accélération sont toutes des quantités basées sur le centre de masse de l'objet.
Graphique de la force centripète en fonction de la vitesse angulaire
Jusqu'à présent, dans cet article, nous n'avons parlé que de la vitesse linéaire d'un objet dans un mouvement circulaire. Parlons maintenant un peu de la vitesse angulaire. Alors que la vitesse linéaire est le changement de position en fonction du temps, la vitesse angulaire est le déplacement angulaire en fonction du temps, \(\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}.\N- L'utilisation de la vitesse angulaire est parfois plus pratique que l'utilisation de la vitesse linéaire, par exemple lorsqu'un objet tourne autour d'un axe. La magnitude de la vitesse linéaire est proportionnelle à la vitesse angulaire comme \N(v=r\omega.\N) Nous pouvons relier la force centripète à la vitesse angulaire en substituant ceci à notre équation précédente pour obtenir : \[\begin{align*}F_c&=m\frac{v^2}{r}\\&=m\frac{(r\omega)^2}{r}\&=mr\omega^2.\end{align*}\]Le graphique ci-dessous nous aide à visualiser la relation entre la force centripète et la vitesse angulaire, en supposant que la masse et le rayon sont constants. La forme de ce graphique est la même pour la relation entre la force centripète et la vitesse linéaire.
Fig. 3 - Force centripète en fonction de la vitesse angulaire.
Exemples de force centripète et de vitesse
À l'aide des équations que nous avons trouvées ci-dessus, nous pouvons trouver la force centripète pour un objet en mouvement circulaire. Prenons quelques exemples pour nous entraîner !
Une bille sur un pendule est attachée à une corde de \(10\,\mathrm{cm}\) se déplaçant dans un cercle avec un rayon de \(5\,\mathrm{cm}\), comme indiqué ci-dessous. La masse de la balle est de \(200,\mathrm{g}\). Trouve l'ampleur de la force centripète qui agit sur la balle.
Fig. 4 - La force de gravité et la tension agissent sur un pendule.
Les seules forces qui agissent sur la bille sont la gravité et la force de tension de la ficelle. Comme nous l'avons vu plus haut, l'accélération centripète pointe vers le centre du cercle dessiné sur l'image, et la force centripète doit donc également pointer dans cette direction. Pour calculer la force centripète, nous devons trouver la composante x de la force de tension. Dessine quelques triangles pour nous aider !
Fig. 5 - Composantes de la force de tension pour un pendule.
Notre premier triangle montre que la bille fait un angle \(\theta\) par rapport à la normale. L'hypoténuse du triangle est donnée par la longueur de la corde ; nous l'appellerons \(L\) pour l'instant. Le rayon du cercle, \N(R\N), définit également un côté du triangle. Nous pouvons créer notre deuxième triangle à partir des forces qui agissent sur la balle. Nous avons le même angle \N(\Ntheta\N) par rapport à la normale, la force de tension \N(\Nvec{T}\N) est l'hypoténuse et la force de gravité \N(\Nvec{F}_g\N) est le côté adjacent. Notre dernier triangle divise la force de tension en ses composantes \(x\) et \(y\). En utilisant la trigonométrie, nous obtenons ces équations : \[\begin{align*}\mathrm{sin}\theta&=\frac{R}{L}\\\\\mathrm{cos}\theta&=\frac{F_g}{T}\\\\\mathrm{sin}\theta&=\frac{T_x}{T}.\end{align*}\]Nous avons maintenant abandonné la notation vectorielle car nous considérons la magnitude des vecteurs. Puisque nous cherchons la force centripète, nous devons résoudre la composante x de la force de tension, car c'est la composante qui pointe vers le centre du cercle. En résolvant \(T_x\) en fonction des variables connues, nous obtenons : \[\begin{align*}\theta&=\mathrm{sin}^{-1}\Big(\frac{R}{L}\Big)\\\\T&=\frac{F_g}{\mathrm{cos}\theta}\\&=\frac{mg}{\mathrm{cos}\theta}\\\\T_x&=T\mathrm{sin}\theta\\&=\Big(\frac{mg}{\mathrm{cos}\theta}\Big)\mathrm{sin}\theta\\&=mg\mathrm{tan}\theta.[\N-{align*}\N]En substituant les valeurs données dans le problème, nous obtenons : \[\begin{align*}T_x&=(0.2\,\mathrm{kg})\big(9.8\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\big)\mathrm{tan}\Big(\mathrm{sin}^{-1}\Big(\frac{0.05\,\mathrm{m}}{0.1,\mathrm{m}}\Big)\Big)\&=1.132,\mathrm{N}.\end{align*}]Ainsi, l'ampleur de la force centripète est \(1.132,\mathrm{N}\).
Une voiture de \(1000\,\mathrm{kg}\) tourne autour d'une courbe de rayon \(20\,\mathrm{m}\) avec une vitesse de \(15\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Quel est le coefficient de frottement nécessaire pour produire une force centripète suffisante ?
Nous avons appris plus haut que l'ampleur de la force centripète peut être déterminée par \(F_c=mfrac{v^2}{R}.\NLa force qui fournit la force centripète dans ce problème est donnée par le frottement \(F_c=\mu F_n\N), où \(\mu\N) est le coefficient de frottement et \(F_n\N) est la force normale. Comme indiqué ci-dessus, la force normale est égale à la force de gravité, de sorte que \(F_n=mg\). En substituant cela à notre équation pour la force centripète, nous obtenons :\[\begin{align*}F_c&=\mu F_n\\\frac{mv^2}{R}&=\mu mg\\ \mu&=\frac{v^2}{gR}\\&=\frac{\big(15\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\big)^2}{\big(9.8\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\big)(20\,\mathrm{m})}\\&=1.15.\end{align*}\]
Force centripète et vitesse - Points clés à retenir
- La force centripète est la force totale agissant radialement sur un objet pour le maintenir dans un mouvement circulaire.
- L'accélération centripète est la composante radiale de l'accélération d'un objet en mouvement circulaire.
- La force centripète et l'accélération centripète sont toutes deux proportionnelles à la vitesse au carré.
- Le vecteur de la force centripète et le vecteur de l'accélération centripète pointent toujours vers le centre du cercle.
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