Champ magnétique et flux magnétique
Comme nous le savons déjà, les phénomènes magnétiques peuvent être décrits à l'aide d'un champ dépendant du temps et étendu dans l'espace. Nous désignerons ce champ par la lettre B.
Comme le champ est étendu dans l'espace, nous pouvons en fait nous limiter à une certaine surface et ne considérer que l'effet du champ magnétique. Comme nous le verrons dans la section suivante, la loi de Faraday concerne les flux magnétiques, nous présentons donc maintenant sa définition pour le cas d'un champ magnétique uniforme.
Le flux magnétique est la quantité de champ magnétique qui traverse perpendiculairement une certaine surface.
Le flux magnétique peut être calculé comme suit :
\[\NPhi = \Nvec{B} \cdot \vec{A} = |\vec{B}| \cdot |\vec{A}| \cdot \cos(\theta)\]
Ici, le point indique un produit scalaire et le vecteur A porte la valeur d'une certaine surface et est dirigé dans le sens du vecteur normal de la surface. Le symbole | | indique le module du vecteur et θ représente l'angle entre le vecteur normal et le vecteur du champ magnétique. Vois l'image ci-dessous pour plus de clarté :
Dans les contextes complexes, le champ magnétique n'est pas uniforme et la surface n'est pas plane (ce qui entraîne l'utilisation d'intégrales et de caractérisations qui sortent du cadre de cet article). Nous ne considérerons que des surfaces planes et des champs magnétiques uniformes. Il en résultera une dépendance du flux magnétique à l'angle entre le champ magnétique et la surface.
Loi de Faraday
La loi de Faraday est une loi expérimentale qui a ensuite été formalisée mathématiquement et incorporée dans ce que nous connaissons aujourd'hui sous le nom de lois de Maxwell. Elle établit un lien entre un concept du champ électrique, la différence de potentiel, et le flux magnétique.
En particulier, elle établit un lien entre la force électromotrice (FEM) et le taux de variation du flux magnétique. La force électromotrice est l'énergie nécessaire par unité de charge pour établir une certaine différence de potentiel électrique entre deux points et est généralement désignée par la lettre ε.
La description mathématique de la loi de Faraday est la suivante :
\[\varepsilon = - \frac{d \phi}{dt}\]
où il y a une dérivation par rapport au temps du flux. Bien que cette description soit très générale, si nous nous limitons au cas susmentionné d'un champ magnétique uniforme et d'une surface fixe, nous arrivons, grâce à l'expression du produit scalaire, à l'équation suivante :
\[\varepsilon = \oméga \cdot |\vec{B}| \cdot |\vec{A}| \cdot \sin(\theta)\].
où ω est la vitesse angulaire de l'angle changeant. L'image ci-dessous est un montage expérimental permettant de produire une force électromotrice à l'aide d'une certaine surface mobile et d'un champ magnétique uniforme.
Qu'est-ce que la liaison de flux magnétique ?
Les équations qui régissent le comportement du champ électromagnétique (lois de Maxwell) sont linéaires, ce qui signifie que nous pouvons considérer la superposition de différents champs qui remplissent les mêmes équations. Si nous considérons un dispositif expérimental qui génère une force électromotrice, une simple quantité peut aider à augmenter la sortie de la force électromotrice ; c'est ce que nous appelons la liaison. La liaison du flux magnétique est mesurée en unités de Webers (\mathrm{Wb}\) tout comme le flux magnétique.
Cadre expérimental de la liaison de flux magnétique
Imagine le cadre que nous avions précédemment : une bobine qui tourne en présence d'un champ magnétique. La variation du flux magnétique induit une force électromotrice. Si nous reprenons maintenant le même réglage avec N bobines, nous pouvons créer N surfaces différentes afin que la force électromotrice soit multipliée par un facteur N. C'est ce que nous appelons la liaison de flux.
Description mathématique de la liaison par flux magnétique
La description mathématique de la liaison par flux est basée sur la loi de Faraday. Encore une fois, comme nous considérons des paramètres simples, nous nous limiterons au cas où nous avons N bobines identiques et que ce nombre reste constant. De plus, elles sont toutes synchronisées et ont la même orientation tridimensionnelle. Cela conduit à l'augmentation suivante du flux :
\[\phi_L = N \cdot \phi \Rightarrow \varepsilon_L = N \cdot \varepsilon\].
où ϕL est la liaison de flux magnétique totale résultant de N bobines et εL est la force électromotrice totale associée. En combinant cela avec la loi de Faraday, nous obtenons l'équation de la liaison du flux magnétique\[\phi_L=N\cdot|B|\cdot|A|\cdot\sin\left(\theta\right)\].
En faisant cela, nous pouvons réussir à augmenter la différence de potentiel avec un simple ajout de bobines similaires que nous pouvons connecter à la même configuration de circuit.
Nous allons maintenant considérer plusieurs exemples de montages expérimentaux. Le champ magnétique présent a une valeur de 10 teslas, tandis que la surface des bobines que nous utilisons est de 1m2. Nous faisons tourner la bobine avec une vitesse angulaire de 2 rad/s.
Imagine que le champ magnétique soit dirigé dans l'axe des x, c'est-à-dire :
\(\vec{B} = (10,0,0)T\)
D'autre part, le vecteur normal évolue de la manière suivante :
\(\vec{A} = (\cos(2 \cdot t), \sin(2 \cdot t), 0) m^2\).
où t est le temps. Cela donne l'expression suivante pour le flux magnétique :
\(\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = 10 \cdot \cos(2 \cdot t) Wb\)
Cela nous permet de calculer facilement :
\(\varepsilon = - \frac{d \phi}{dt} = - \frac{d}{dt} (10 \cdot \cos(2 \cdot t)) = 20 \cdot \sin(2 \cdot t) V\).
Tu trouveras ci-dessous un graphique montrant l'évolution temporelle du flux magnétique et de la force électromotrice générée.
Si nous avions réussi à augmenter le champ magnétique ou à agrandir la surface de la bobine, nous aurions également pu générer une force électromotrice, puisque nous faisons varier le flux magnétique dans le temps.
Si nous considérons maintenant 20 bobines identiques tournant de manière synchrone, le graphique de la dépendance temporelle de la densité du flux magnétique et de la force électromotrice ressemblerait à ceci :
Nous voyons ici que les valeurs du flux total (et donc de la force électromotrice) ont augmenté de façon significative en utilisant seulement 19 bobines supplémentaires.
Passons maintenant brièvement au cas d'une surface statique et d'un champ magnétique variable. Si maintenant le champ commence avec une valeur initiale de 0 Teslas, mais continue à croître avec le temps de la manière suivante :
\(\vec{B} = (10 \cdot t, 0,0) T\)
Considère une surface dont le vecteur normal est :
\(\vec{A} = (1,0,0)m^2\)
Nous devrions arriver à l'expression suivante pour le flux magnétique :
\(\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = 10 \cdot t \space Wb\)
La dérivée temporelle de cette expression donne l'expression de la force électromotrice, c'est-à-dire :
\(\varepsilon = -\frac{d \phi}{dt} = - \frac{d}{dt}(10 \cdot t) = -10 \space V\).
Cela générerait une force électromotrice constante entre les points extrêmes de la bobine. Bien sûr, nous pourrions utiliser plusieurs bobines pour construire une liaison de flux magnétique et augmenter la puissance.
En fait, lorsque nous utilisons plusieurs bobines, il est habituel de faire varier le champ magnétique et non l'orientation pour générer une force électromotrice. C'est la raison pour laquelle nous associons généralement le concept de flux magnétique et la loi de Faraday à une seule bobine en rotation, alors que le concept de liaison de flux désigne habituellement plusieurs bobines statiques en présence d'un champ magnétique.
Flux magnétique et lien avec le flux magnétique - Principaux enseignements
- Le flux magnétique est une grandeur qui mesure la quantité de champ magnétique traversant perpendiculairement une certaine surface.
- La loi de Faraday établit une relation entre une force créant une différence de potentiel électromagnétique et la variation du flux magnétique dans le temps.
- La loi de Faraday s'applique chaque fois qu'au moins l'un de ces trois éléments varie dans le temps : l'intensité du champ magnétique, la surface qu'il traverse ou l'orientation de la surface par rapport au champ.
- La situation où il y a plusieurs bobines traversées par un champ magnétique est appelée liaison de flux. Le flux augmente proportionnellement.
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