Définition du flux magnétique
Commençons par la définition de base de ce qu'est exactement le flux magnétique.
Leflux magnétique est une mesure de la quantité totale de champ magnétique traversant une surface donnée.
D'après cette définition, nous pouvons voir que le flux magnétique dépend de deux quantités, le champ magnétique \(\vec{B}\) et la surface \(\vec{A}\) de la surface à laquelle nous nous intéressons. Cette surface est exprimée par un vecteur \(\vec{A}=A\vec{n}\) où \(A\) est la magnitude de la surface et \(\vec{n}\) est un vecteur unitaire perpendiculaire à la surface, appelé vecteur normal . Par exemple, en coordonnées cartésiennes, le vecteur normal d'une surface horizontale située dans leplan \(x-y\) est le vecteur unitaire \(\vec{k}\) parallèle à l'axe \(z\). Pour une sphère, le vecteur normal est un vecteur unitaire \ (\vec{r}\) parallèle au rayon de la sphère.
Les vecteurs unitaires sont des vecteurs de longueur 1. En coordonnées cartésiennes, nous utilisons la notation \(\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}\) pour désigner les vecteurs unitaires dans les directions \(x,\r},y,\r},z\r}) respectivement.
Remarque que ces surfaces n'ont pas besoin d'être des surfaces physiques réelles, nous voulons souvent considérer le flux à travers une surface mathématique imaginaire lorsque nous faisons des calculs. La plupart du temps, cela nous permet d'utiliser des surfaces qui simplifient certains calculs intégraux.
Lorsque nous essayons de visualiser les champs magnétiques, nous utilisons souvent le concept delignes de champ , qui sont des lignes imaginaires, tangentes aux vecteurs de force du champ, représentant la direction et l'ampleur de la force subie par une charge d'essai dans le champ magnétique. Nous pouvons définir le flux magnétique comme le nombre net de lignes de champ passant par une surface particulière.
Fig. 1 - Le flux magnétique peut être représenté par des lignes de flux ou de champ qui indiquent la direction de la force. Plus il y a de lignes de champ qui traversent une surface, plus le flux est important.
Il est important de tenir compte de la direction des lignes de champ ; si la surface est traversée par un nombre égal de lignes de champ, le flux net sera nul.
Équation du flux magnétique
Nous pouvons transformer cette définition intuitive du flux magnétique en une définition mathématique précise à l'aide des équations suivantes. Il y a deux situations principales à prendre en compte : celle où le champ a une valeur constante en tout point de la surface et celle où le champ varie d'un point à l'autre de la surface.
Champ constant
Si le champ, \(\vec{B}\), est le même sur toute la surface, \(\vec{A}\), alors l'équation suivante peut être utilisée pour le flux magnétique \(\Phi_B\) :
\[\Phi_B=\vec{B}\cdot\vec{A}.\]
En utilisant la définition du produit de points, nous voyons que le flux magnétique est égal à la composante du champ magnétique perpendiculaire à la surface multipliée par la surface, comme nous l'avons vu dans la section précédente. If the angle between the normal vector and the magnetic field is known, the magnitude of the magnetic flux can be expressed as:\[\begin{align}\Phi_B&=\vec{B}\cdot A\vec{n},\\&=|B|A\cos(\theta),\end{align}\]
où \(\theta\) est l'angle entre le vecteur de champ et le vecteur normal à la surface, \(|B|\) est la magnitude du champ magnétique. L'intensité du champ magnétique est mesurée en Teslas (\mathrm{T}\), ce qui signifie que le flux magnétique est mesuré en Tesla-mètres au carré (\mathrm{T}\mathrm{m}^2\) également connu sous le nom de Weber (\mathrm{Wb}\).
Considérons un champ magnétique uniforme \(\vec{B}=6\vec{i}+3\vec{j}\,\mathrm{T}\) traversant une région carrée dans le plan \(x-z\), avec des côtés de longueur \(2\,\mathrm{m}\), dont le vecteur normal est \(\vec{n}=\vec{j}\). Quel est le flux magnétique qui traverse cette surface ?
Remarquons d'abord que la surface du carré est \N(4\N,\Nmathrm{m}^2\N) et que le vecteur surface est donné par \N(\vec{A}=4\N,\Nmathrm{j}\N,\Nmathrm{m}^2\N).
La formule du flux magnétique nous montre qu'il faut faire le produit de point du champ magnétique et du vecteur de surface\[\Bigin{align}\NPhi_B&].=\vec{B}\cdot\vec{A}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\left(6\vec{i}+3\vec{j}\,\mathrm{T}\right)\cdot\left(4\,\vec{j}\,\mathrm{m}^2\right)\\ xml-ph-0001@deepl.internal &=12\,\mathrm{Wb}.\N-END{align}\N-]
Champ variable
Si, au contraire, le champ varie sur la surface que nous considérons, les choses deviennent un peu plus délicates. Ici, nous devons faire appel au calcul. L'idée est de considérer la quantité de champ \(\vec{B}\left(\vec{r}\right)\) circulant à travers un morceau infinitésimal de la surface \(\mathrm{d}\vec{A}\) en prenant le produit de point \(\vec{B}\left(\vec{r}\right)\cdot \mathrm{d}\vec{A}\),
puis nous intégrons sur chaque morceau infinitésimal de la surface pour trouver le flux total à travers toute la surface
\[\Phi_B=\int_S\vec{B}\left(\vec{r}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{A}.\]
Le symbole d'intégrale \(\int_S\) désigne une intégrale de surface.
Le calcul exact de l'intégrale de surface dépend massivement du type de surface que nous étudions, en général ce ne sont que les surfaces simples comme les carrés ou les sphères que nous pouvons facilement calculer exactement. Prenons un exemple pour voir comment cela fonctionne.
Considérons un champ magnétique qui varie sur la surface d'un carré dont les côtés ont une longueur de \(2\N,\Nmathrm{m}\N) et qui se trouve dans le plan \N(x-y\N). Le champ magnétique est décrit par la fonction[\vec{B}\left(\vec{r}\right)=|B|\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\vec{k}.\N].
Pour trouver le flux magnétique, il faut d'abord noter que le vecteur surface infinitésimale du carré est donné par
\[\mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\vec{k}.\]
Si nous choisissons le système de coordonnées de façon à ce que les coins du carré soient à \((x,y)=(\pm 1, \pm 1),(\pm 1, \mp 1)\). L'intégrale du flux ressemble alors à ceci.
\N-[\N-{align}\NPhi_B&=\Nint_{S} |B|\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\vec{k}\cdot\left(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)\,\vec{k}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\int_S |B|\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\int_S |B|\left(\frac{\mathrm{d}x}{x^2}+\frac{\mathrm{d}y}{y^2}\right)\\ xml-ph-0001@deepl.internal &=|B|\left(\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2}+\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}y}{y^2}\right)\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=|B|\left(\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^1+\left[-\frac{1}{y}\right]_{-1}^1\right)\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=|B|\left(2+2\right)=-4|B|\,\mathrm{Wb}.\N- [end{align}\N-]
Champ magnétique et flux magnétique
Bien que les deux concepts soient intimement liés, il est important de ne pas confondre le concept de flux magnétique avec celui de champ magnétique. La chose la plus essentielle à retenir est que le flux magnétique est également déterminé par la surface d'une surface donnée, alors que le champ magnétique indique simplement la force ressentie par une charge en un point donné. Cela signifie que pour un même champ magnétique, toute une gamme de flux possibles peut apparaître en fonction de la surface que l'on considère et de sa position par rapport au champ.
De plus, le flux magnétique est déterminé par le montant net du champ, qui est déterminé par la direction de chaque ligne de champ passant par la surface. Cela signifie qu'il est possible qu'un champ non nul partout produise un flux nul, si la quantité de champ entrant dans une surface est égale à la quantité de champ sortant. En fait, la loi de Gauss pour les champs magnétiques stipule que pour toute surface fermée, le flux total à travers la surface est toujours nul. Ceci est dû au fait que les monopoles magnétiques ne peuvent pas exister dans la nature.
Laloi de Gauss sur les champs magnétiques stipule que le flux total à travers une surface fermée, ne contenant aucun trou, est toujours égal à zéro.
Mathematically this is given as\[\oint_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}=0.\]
Nous voyons donc que le champ magnétique et le flux magnétique sont en fait des propriétés distinctes qui peuvent nous indiquer des choses très différentes sur l'intensité d'un champ magnétique.
Variation du flux magnétique
Nous avons donc compris ce qu'est le flux magnétique et comment nous pouvons le calculer, mais pourquoi le flux magnétique est-il une quantité si importante en physique ? La réponse se trouve dans le phénomène de l'induction électromagnétique.
L'induction électromagnétique désigne le processus de création de forces électromotrices (CEM), qui peuvent produire des courants, en déplaçant un champ magnétique autour d'un conducteur électrique ou en déplaçant un conducteur électrique à travers un champ magnétique fixe.
L'induction électromagnétique a été découverte et analysée pour la première fois par Michael Faraday lors de ses expériences sur l'électromagnétisme dans les années 1830. La grande découverte de Faraday était que lorsque deux bobines de fil étaient enroulées de part et d'autre d'une barre de fer, le passage d'un courant dans l'une des bobines induisait momentanément un courant dans l'autre bobine.
À partir de ces expériences, Faraday a formulé sa loi de l'induction électromagnétique.
Nous voyons donc que c'est un flux magnétique changeant qui détermine directement l'ampleur de la FEM induite. Ainsi, dans le cas des bobines et de la barre de fer, lorsque le courant est mis en marche pour la première fois, la variation de la FEM induit un champ magnétique dans la barre de fer. Ce changement soudain du flux dans la barre magnétique induit une FEM et un courant dans l'autre bobine.
Mathématiquement, cette affirmation est l'une des équations de Maxwell, les lois fondamentales de l'électromagnétisme classique. Toutd'abord, notons que la force électromotrice \(\mathcal{E}\) autour d'une boucle fermée peut être donnée comme une intégrale de ligne fermée du champ électrique :\[\mathcal{E}=\oint_{\partial S}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\]
\(\partial S\) désigne le bord d'une surface \(S\) donc par exemple si \(S\) est un cercle \(\delta S\) est une boucle fermée.
Une intégrale de ligne est similaire à une intégrale de surface, en ce sens que nous intégrons le champ électrique à chaque segment infinitésimal de la ligne. La différence est que nous nous intéressons ici aux composantes du champ parallèles à la ligne plutôt que perpendiculaires comme dans l'intégrale de surface. De plus, nous ne devons intégrer qu'une seule dimension. La formule de la loi de Faraday est donc la suivante :\[\begin{align}\mathcal{E}&=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}\\implies \oint_{\partial S}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}&=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\vec{B}\left(\vec{r}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{A} xml-ph-0000@deepl.internal \end{align}\]
Il est important de se rappeler qu'étant donné que la loi de Faraday concerne un flux magnétique changeant , il y a deux façons possibles d'induire une force électromotrice dans une bobine. La première consiste évidemment à utiliser une source de champ magnétique variable et à modifier l'intensité ou la direction du champ. La seconde consiste à modifier la surface exposée à un champ magnétique fixe. Cette deuxième méthode est souvent beaucoup plus simple pour induire des CEM. Par exemple, dans les éoliennes, un aimant, maintenu entre des bobines de fil, est mis en rotation par les pales qui tournent. Comme la quantité de bobine exposée au champ varie constamment au fur et à mesure que l'aimant tourne, cela produit également un flux changeant et donc une CEM.
Problèmes de flux magnétique
Examinons quelques exemples de problèmes concernant le flux magnétique.
Q : Considérons le champ magnétique produit par un long fil conducteur de courant donné par \(\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\vec{\theta}\) où \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N}\,\mathrm{A}^{-2}\) est la perméabilité de l'espace libre et \(r\) est la distance radiale par rapport au fil. Le vecteur unitaire \(\vec{\theta}\) décrit le fait que le champ magnétique s'enroule autour du fil.
A : Donne une expression pour le flux à travers une surface circulaire de rayon \(R\) qui se trouve dans le plan du fil, de telle sorte que les lignes du champ magnétique soient perpendiculaires à la surface.
Commençons par la formule intégrale du flux magnétique [\Phi_B=\int_S\vec{B}\gauche(\vec{r}\droite)\cdot\mathrm{d}\vec{A}.\N-].
La surface différentielle est donnée par\[\mathrm{d}\vec{A}=r\mathrm{d}r\N,\mathrm{d}\theta\c{\Ntheta}\N].
Si l'on ajoute ce résultat à l'équation du champ magnétique donnée dans la question, on obtient.. :\[\begin{align} xml-ph-0000@deepl.internal \Phi_B&=\int_S\vec{B}\left(\vec{r}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{A}\\ xml-ph-0001@deepl.internal &=\int_0^R\mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\left(\frac{\mu_0I}{2\pi r}\right)\vec{\theta}\cdot r\vec{\theta} xml-ph-0000@deepl.internal \end{align}\]
Les vecteurs sont clairement parallèles et leur produit de point est donc \(1\). Comme le champ magnétique ne dépend pas de \N(\Ntheta\N), nous pouvons intégrer \N(\Ntheta\N) immédiatement pour obtenir \N(2\Npi\N).\N- [\N- Début{alignement}\NPhi_B&=2\Npi\Nint_0^Rr\Nmathrm{d}r\Nà gauche{\Nfrac{\Nmu_0I}{2\Npi r}\Nà droite)\N&=2\pi\int_0^R\mathrm{d}r\left(\frac{\mu_0I}{2\pi}\rright)\\N-&=2\pi R\left(\frac{\mu_0I}{2\pi}\rright)\N-&=R\mu_0I\end{align}\N-]
Nous voyons donc que la quantité de flux traversant la surface circulaire ne dépend que du courant et du rayon de la surface.
Q : Considérons un champ magnétique dépendant du temps et défini par la fonction \(\vec{B}(t)=B\sin\gauche(2\pi t\Ndroite)\vec{z}\N). Si une boucle circulaire de rayon \(r=0,1\,\mathrm{m}\) est placée dans le champ de telle sorte que son vecteur radial \(\vec{r}\) fasse un angle de \(\theta=45^{\circ}\,\mathrm{deg}\) avec la direction du champ magnétique \(\vec{z}\). Quelle sera la valeur de la force électromagnétique induite \(\mathcal{E}\) ?
R : La loi de Faraday nous dit que la force électromotrice induite par un champ magnétique oscillant est proportionnelle au taux de variation du flux magnétique.
\[\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{S}\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}\]
Trouvons d'abord une expression pour le flux magnétique.
\N- [\N- Début{alignement}\NPhi_B&=\Nint_{S}\Nvec{B}\cdot\Nmathrm{d}\Nvec{A}\N-&=\int_SB\sin\left(2\pi t\right)\vec{z}\cdot\vec{A}\end{align}\]A partir de la définition du produit point et de l'angle donné dans la question nous savons\[\vec{z}\cdot\mathrm{d}\vec{A}=\cos\left(45\right)\mathrm{d}A=\frac{\sqrt{2}}{2}\]Notez que le champ magnétique est spatialement indépendant et que nous pouvons donc le prendre à l'extérieur de l'intégrande. \[\Phi_B=\frac{\sqrt{2}}{2}B\sin\left(2\pi t\right)\int_{S}\mathrm{d}\vec{A}\]L'intégrande donne maintenant simplement la surface entourée par la boucle circulaire, qui est \(\pi r^2=\frac{\pi}{100}\).\[\Phi_B=\frac{\sqrt{2}\pi}{200}B\sin\gauche(2\pi t\Ndroite)\N]Pour trouver la force électromotrice, nous devons prendre la dérivée de la force électromotrice, il faut prendre la dérivée par rapport au temps \[\mathcal{E}=\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}=\frac{\sqrt{2}\pi^2}{100}B\cos\left(2\pi t\rright)\N].
Nous pouvons considérer un autre exemple pour renforcer notre compréhension.
Q : Considérons un solénoïde produisant un champ magnétique fixe \(B=10\,\mathrm{T}\). Si une boucle de fil de rayon \(R=0,5\,\mathrm{mm}\) est tournée de telle sorte que l'angle entre le vecteur normal et le champ magnétique est donné par \(\theta=2\pi t\). Détermine une expression pour la FEM induite dans la boucle, et trouve la valeur de la FEM après \(0,5\,\mathrm{s}\).
R : Comme le champ magnétique est fixe, nous pouvons utiliser l'équation du champ fixe pour le flux magnétique.
\[\Phi_B=|B|A\cos(\theta)\]
La surface \(A\) est donnée par \(\pi R^2=\frac{\pi}{4}\N,\mathrm{mm}^2\N).
Nous voyons donc que le flux magnétique dépendant du temps est donné par[\NPhi_B(t)=|B|A\cos(2\Npi t)\N].
La loi de Faraday nous dit alors que la force électromotrice induite dans la boucle est donnée par\[\begin{align}\mathcal{E}&=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B(t)}{\mathrm{d}t}\&=|B|A2\pi\sin(2\pi t)\\N-&=10\,\mathrm{T}\cdot\frac{\pi}{4}\N-&=5\pi^2\sin(2\pi t )\N- \mathrm{Wb}\Nend{align}\N-]
Donc à \N(t=0,5\N,\Nmathrm{s}\N) \N(\Nmathcal{E}=0\N,\Nmathrm{V}.\N)\N(\Nmathrm{V}.\N)
Flux magnétique - Principaux enseignements
- Leflux magnétique est défini comme la quantité de champ magnétique qui traverse une surface donnée. Il peut être considéré comme égal au nombre de lignes de champ magnétique traversant une surface.
- Pour un champ magnétique fixe, le flux est défini comme \(\Phi_B=\vec{B}\cdot\vec{A},\) où le vecteur de surface \(\vec{A}=A\vec{n}\) est dirigé perpendiculairement à la surface.
- Pour un champ magnétique variable, nous utilisons le calcul pour définir le flux\[\Phi_B=\int_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}.\N].
- La loi de Faraday stipule que l'ampleur d'une force électromotrice induite dans une boucle fermée de fil est proportionnelle au taux de variation du flux magnétique à travers la surface entourée par le fil.\[\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}.\N-\mathcal{E}=\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}.\N]
Références
- Fig. 1 - Diagramme de la ligne de flux, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Schéma de l'anneau de fer et des bobines, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Schéma de la turbine, StudySmarter Originals.
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