Le mouvementde projectile est le mouvement des objets qui se déplacent près de la surface de la terre selon une trajectoire courbe sous l'effet de la gravité.
L'exemple de la balle rebondissante en physique
Au moment de l'impact, la balle subit également une déformation et le coefficient de restitution, qui dépend du caractère rebondissant de la balle.
La poussée que la balle reçoit du sol au moment de l'impact la fait rebondir vers le haut. La balle en mouvement gagne de l'énergie cinétique lorsqu'elle rebondit et perd de l'énergie potentielle lorsqu'elle tombe.
La troisième loi de Newton stipule que toute force ou action a une réaction égale et opposée. Par conséquent, lorsqu'une force est appliquée à une surface, elle applique également une force égale en magnitude, mais dans la direction opposée.
Le coefficient de restitution est le rapport entre la vitesse finale et la vitesse initiale de deux corps après la collision. Alors qu'une valeur de 1 indique une collision parfaitement élastique, une valeur de 0 indique une collision parfaitement inélastique.
Dans l'exemple de la balle qui rebondit, les forces externes telles que la résistance de l'air sont supposées être nulles. Par conséquent, la seule force agissant sur la balle est la gravité. Le mouvement de la balle peut être divisé en différentes étapes en fonction de la direction du vecteur de vitesse ; ces étapes sont énumérées ci-dessous. En règle générale, lorsque la balle se déplace dans le sens positif (vers le haut), la vitesse peut être considérée comme positive. Lorsque la balle se déplace dans le sens négatif (vers le bas), on peut supposer que la vitesse est négative. Les directions positive et négative doivent être indiquées dans chaque exemple.
La première étape est celle où la balle rebondit sur la surface du sol. Elle se déplace vers le haut en direction de son point le plus élevé.
La deuxième étape est le moment où la balle décélère, change de direction une fois qu'elle a atteint le point culminant, et commence à tomber sur le sol.
La troisième étape est le moment où la balle est momentanément déformée et rebondit sur le sol dans une direction ascendante jusqu'à ce qu'elle atteigne sa hauteur maximale.
La dernière étape est le moment où la balle a atteint son déplacement maximal, décélère et change la direction du mouvement de haut en bas.
Ces étapes se répètent continuellement et sont illustrées dans la séquence ci-dessous. il semble que la balle subisse un mouvement oscillatoire. En réalité, la balle subit un amortissement, c'est-à-dire qu'elle perd de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique en tombant. Cela fait que l'amplitude de la hauteur se réduit au fil du temps et finit par s'arrêter en raison des forces de frottement comme la résistance de l'air, qui sont supposées être nulles dans un scénario idéal. La balle n'effectue pas un mouvement harmonique simple, car l'accélération n'est pas proportionnelle au déplacement par rapport à une position d'équilibre.
(Dans cet exemple, on a supposé que la direction ascendante était positive. On peut soit le supposer et le choisir, soit l'énoncer dans une question).
Au point de hauteur maximale, la balle a momentanément une vitesse nulle, et la direction de la vitesse passe du positif au négatif. L'accélération sur la balle est l'accélération de la gravité, qui agit vers le bas sur la balle. Au point le plus bas, la balle a son énergie potentielle minimale, et la vitesse passe de négative à positive. Ces étapes peuvent également être représentées graphiquement à l'aide de trois graphiques, notamment un graphique du déplacement, de la vitesse et de l'accélération en fonction du temps. Ces graphiques sont illustrés ci-dessous.
Le premier graphique est un graphique de déplacement en fonction du temps. La balle se déplace vers le haut, atteignant le stade 1, c'est-à-dire la hauteur maximale, et sa vitesse est momentanément nulle. L'accélération due à la gravité fait que la balle change de direction et commence à se déplacer vers le bas à l'étape 2.
Lorsque la balle touche le sol, son déplacement est momentanément nul. Elle rebondit, change la direction de son mouvement et atteint à nouveau sa hauteur maximale. Cela se reflète également dans le graphique de la vitesse ; la vitesse est à son maximum au déplacement minimum et passe par zéro à ses hauteurs maximales. Le changement de direction lorsque la balle atteint le sol provoque une accélération momentanée, comme le montre le graphique d'accélération (en tant qu'accélération).
- L'énergie potentielle provoque l'impact d'une balle sur le sol, qui est ensuite convertie en énergie cinétique et provoque le déplacement de la balle vers le haut.
- La force que reçoit la balle du sol suite à la collision la fait rebondir, ce qui convertit l'énergie potentielle en énergie cinétique. Ce phénomène est décrit par la troisième loi de Newton.
A) À l'aide du graphique ci-dessus, trouve le déplacement de la balle à 50 secondes.
B) En utilisant la conservation de l'énergie, trouve la vitesse de la balle avant qu'elle ne touche le sol d'une hauteur de trois mètres.
Solution A:
À l'aide du graphique ci-dessus, nous pouvons trouver le déplacement en utilisant l'aire sous le graphique, qui est égale au déplacement. L'aire du triangle peut être trouvée à l'aide de la formule ci-dessous.
\(Surface = \frac{1}{2} \cdot base \cdot longueur\)
\(Surface = 0,5 m \cdot 50 m \cdot 50 m = 1250 m^3\)
Solution B:
Nous utilisons la conservation de l'énergie. Nous mettons donc en équation l'énergie potentielle et l'énergie cinétique.
\(E_{pot} = E_{kin} \cdot m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\)
La masse est annulée dans l'équation ci-dessus, et nous la réarrangeons en fonction de la vitesse.
\(v^2 = 2 \cdot g \cdot hv = \sqrt{2 \cdot 9.81 \frac{m}{s^2}) \cdot 3 m} = 7,67 \frac{m}{s}\)
Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite géométrique est une progression où chaque terme est lié au terme précédent, et il est lié au terme précédent par un nombre r, qui est connu comme le rapport commun de la suite. Le dernier terme est également appelé le nième terme d'une progression géométrique ; n est le nombre de termes et a est le premier terme tandis queSn est la somme des termes de la séquence comme le montre l'équation ci-dessous.
\[S_n = \frac{\alpha(1 -r^n)}{1-r}\]
Pour un nombre infini de tours, une autre formule de suite géométrique peut être utilisée. Si le rapport commun de la suite est compris entre 0 et 1, alors le terme r∞ s'approcherait de zéro. Par conséquent, la formule de la somme du nombre infini de termes peut être réécrite comme on le voit ici.
\[S_{\infty} = \frac{\alpha(1-r^{\infty})}{1-r} = \frac{\alpha(1-0)}{1-r} \qquad S_{\infty} = \frac{\alpha}{1-r}\]
Où 0 < r < 1
Relation entre une suite géométrique et une balle rebondissante
Un exemple réel de balle rebondissante connaîtrait un mouvement oscillatoire qui perdrait progressivement de l'énergie, entraînant une réduction de la hauteur du rebond au fil du temps, jusqu'à ce que la balle s'arrête.
Ce mouvement peut être décrit à l'aide d'une suite géométrique, car la hauteur de la balle après chaque rebond dépend de la hauteur initiale d'où la balle est tombée. Le dernier terme peut être la hauteur la plus basse de la balle avant qu'elle ne s'arrête, comme on peut le voir ci-dessous. Ici, le mouvement d'une vraie balle rebondissante est illustré. Sa hauteur diminue progressivement jusqu'à ce qu'elle s'arrête de bouger.
Une balle tombe d'une hauteur de 6 mètres. La balle rebondit à 38 pour cent de sa hauteur précédente et continue de tomber.
A) Trouve la distance totale parcourue jusqu'à ce que la balle touche le sol pour la 5e fois.
B) S'il s'agit d'un scénario idéal où l'énergie n'est pas perdue et où la balle continue de rebondir à l'infini, quelle est la distance parcourue ?
Solution A :
En utilisant la formule de la suite géométrique, la somme des termes qui sont les hauteurs de la balle après chaque rebond :
\(S_n = \frac{\alpha(1-r^n)}{1-r} = \frac{6m(1-0,38^5)}{1-0,38} = 9,6 m\).
Enfin, nous devons multiplier la distance trouvée par 2, car un rebond de la balle comprend à la fois une montée et une descente. La réponse finale est donc :
\(\text{Distance totale} = 2 \cdot S_n = 2 \cdot 9.6 m= 19.2m\)
Solution B :
En utilisant la suite géométrique pour une suite infinie et en substituant les valeurs données, on obtient :
\(S_{\infty} = 2 \cdot \frac{\alpha}{1-r} = 2 \cdot \frac{6m}{1-0.38} = 19.35 m\)
- Une balle qui rebondit est un exemple de mouvement oscillatoire car la balle oscille autour de la position d'équilibre. Elle revient à sa position verticale initiale après un certain temps.
- L'exemple d'une balle rebondissante n' est pas un exemple de mouvement harmonique simple. Son ordre élevé et les fonctions obtenues avec les opérations différentielles et intégrales ne peuvent correspondre à aucun cercle du mouvement harmonique simple ; pour qu'il soit qualifié de mouvement harmonique simple, sa vitesse devrait être constante.
Exemple de la balle rebondissante - Principaux enseignements
- L'exemple de la balle rebondissante est un exemple utilisé pour étudier le mouvement des projectiles en mécanique. Elle rebondit dans une trajectoire semi-circulaire et obéit à la deuxième loi de Newton.
- La balle perd de l'énergie potentielle en tombant et gagne de l'énergie cinétique en se déplaçant et en prenant de la vitesse.
- Dans un scénario idéal, une balle qui rebondit poursuivra ce mouvement oscillatoire. Dans un scénario réel, la balle finira par s'arrêter de bouger en raison de forces extérieures telles que le frottement de l'air.
- Le mouvement de la balle peut être décrit à l'aide de graphiques de vitesse, de déplacement et d'accélération, ou de séquences géométriques.
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