Pour estimer l'erreur d'une mesure, nous devons connaître la valeur attendue ou standard et comparer dans quelle mesure nos valeurs mesurées s'écartent de la valeur attendue. L'erreur absolue, l'erreur relative et l'erreur en pourcentage sont différentes façons d'estimer les erreurs dans nos mesures.
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Que signifie estimer les erreurs par leur valeur absolue ?
Comment calculer le pourcentage d'erreur à partir de l'erreur relative ?
Comment calculer l'erreur relative ?
Que se passe-t-il si tu n'as pas de référence ou de valeur attendue ?
Calcule les erreurs absolues relatives et en pourcentage dans le scénario suivant : en pesant un objet, tu obtiens un poids de 13,45 kg sachant que le poids réel de l'objet est de 13,34 kg.
Qu'est-ce qu'une valeur aberrante ?
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Équipe enseignants Estimation des erreurs
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L'estimation des erreurs peut également utiliser la valeur moyenne de toutes les mesures s'il n'y a pas de valeur attendue ou de valeur standard.
Pour calculer la moyenne, nous devons additionner toutes les valeurs mesurées de x et les diviser par le nombre de valeurs que nous avons prises. La formule pour calculer la moyenne est la suivante :
\[\text{moyenne} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + ...+x_n}{n}\].
Disonsque nous avons cinq mesures, avec les valeurs 3,4, 3,3, 3,342, 3,56 et 3,28. Si nous additionnons toutes ces valeurs et les divisons par le nombre de mesures (cinq), nous obtenons 3,3764.
Comme nos mesures ne comportent que deux décimales, nous pouvons arrondir ce résultat à 3,38.
Nous allons ici faire la distinction entre l'estimation de l'erreur absolue, de l'erreur relative et du pourcentage d'erreur.
Pour estimer l'erreur absolue, nous devons calculer la différence entre la valeur mesurée x0 et la valeur attendue ou norme xref:
\[\text{Absolute error} = |x_0 - x_{ref}|\]
Imagine que tu calcules la longueur d'un morceau de bois. Tu sais qu'il mesure 2,0 m avec une très grande précision de ± 0,00001 m. La précision de sa longueur est si élevée qu'elle est considérée comme étant de 2,0 m. Si ton instrument indique 2,003 m, ton erreur absolue est | 2,003 m-2,0 m | ou 0,003 m.
Pour estimer l'erreur relative, nous devons calculer la différence entre la valeur mesurée x0 et la valeur standard xref et la diviser par la magnitude totale de la valeur standard xref:
\[\text{Erreur relative} = \frac{|x_0 - x_{ref}|}{|x_{ref}|}\]
En utilisant les chiffres de l'exemple précédent, l'erreur relative dans les mesures est de | 2,003m-2,0m | / | 2,0m | ou 0,0015. Comme tu peux le voir, l'erreur relative est très petite et n'a pas d'unité.
Pour estimer le pourcentage d'erreur, il faut calculer l'erreur relative et la multiplier par cent. Le pourcentage d'erreur est exprimé par la "valeur de l'erreur"%. Cette erreur nous indique le pourcentage d'écart causé par l'erreur.
\[\text{Pourcentage d'erreur} = \frac{|x_0 - x_{ref}|}{|x_{ref}|} \cdot 100 \%\]
En utilisant les chiffres de l'exemple précédent, le pourcentage d'erreur est de 0,15 %.
La ligne de meilleur ajustement est utilisée pour tracer des données où une variable dépend d'une autre. Par nature, une variable change de valeur, et nous pouvons mesurer les changements en les reportant sur un graphique en fonction d'une autre variable telle que le temps. La relation entre deux variables est souvent linéaire. La ligne de meilleur ajustement est la ligne qui est la plus proche de toutes les valeurs tracées.
Certaines valeurs peuvent être très éloignées de la ligne de meilleur ajustement. C'est ce qu'on appelle des valeurs aberrantes. Cependant, la droite de meilleur ajustement n'est pas une méthode utile pour toutes les données, c'est pourquoi nous devons savoir comment et quand l'utiliser.
Pour obtenir la droite de meilleur ajustement, nous devons tracer les points comme dans l'exemple ci-dessous :
Ici, beaucoup de nos points sont dispersés. Cependant, malgré cette dispersion des données, ils semblent suivre une progression linéaire. La ligne qui est la plus proche de tous ces points est la ligne de meilleur ajustement.
Pour pouvoir utiliser la droite de meilleur ajustement, les données doivent suivre certains modèles :
Parfois, dans un graphique, il y a des valeurs qui sortent de la fourchette normale. C'est ce qu'on appelle des valeurs aberrantes. Si les valeurs aberrantes sont moins nombreuses que les points de données qui suivent la ligne, elles peuvent être ignorées. Cependant, les valeurs aberrantes sont souvent liées à des erreurs de mesure. Dans l'image ci-dessous, le point rouge est une valeur aberrante.
Pour tracer la ligne de meilleur ajustement, nous devons tracer une ligne passant par les points de nos mesures. Si la ligne croise l'axe des y avant l'axe des x, la valeur de y sera notre valeur minimale lors de la mesure.
L'inclinaison ou la pente de la ligne est la relation directe entre x et y, et plus la pente est grande, plus elle sera verticale. Une pente importante signifie que les données changent très rapidement à mesure que x augmente. Une pente douce indique un changement très lent des données.
Dans un tracé ou un graphique avec des barres d'erreur, il peut y avoir de nombreuses lignes passant entre les barres. Nous pouvons calculer l'incertitude des données à l'aide des barres d'erreur et des lignes qui passent entre elles. Vois l'exemple suivant de trois lignes passant entre des valeurs avec des barres d'erreur :
Pour calculer l'incertitude d'un tracé, nous devons connaître les valeurs d'incertitude du tracé.
\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}\]
\[\text{Incertitude} = \frac{m_{rouge}-m_{vert}}{2}\]
Voyonsun exemple de ceci, en utilisant les données de température en fonction du temps.
Calcule l'incertitude des données dans le graphique ci-dessous.
Le tracé est utilisé pour faire une approximation de l'incertitude et la calculer à partir du tracé.
| Temps (s) | 20 | 40 | 60 | 80 |
| Température en Celsius | 84.5 ± 1 | 87 ± 0.9 | 90.1 ± 0.7 | 94.9 ± 1 |
Pour calculer l'incertitude, tu dois tracer la ligne dont la pente est la plus élevée (en rouge) et la ligne dont la pente est la plus faible (en vert).
Pour cela, tu dois considérer la pente la plus forte et la pente la moins forte d'une ligne qui passe entre les points, en tenant compte des barres d'erreur. Cette méthode ne te donnera qu'un résultat approximatif en fonction des droites choisies.
Tu calcules la pente de la ligne rouge comme ci-dessous, en prenant les points de t=80 et t=60.
\(\frac{(94.9+1)^\circ C - (90.1 + 0.7)^\circ C}{(80-60)} = 0.255 ^\circ C\)
Tu vas maintenant calculer la pente de la ligne verte en prenant les points de t=80 et t=20.
\(\frac{(94.9- 1)^\circ C - (84.5 + 1)^\circ C}{(80-20)} = 0.14 ^\circ C\)
Maintenant, tu soustrais la pente du vert (m2) de la pente du rouge (m1) et tu divises par 2.
\(\texte{Incertitude} = \frac{0,255^\circ C - 0,14 ^\circ C}{2} = 0,0575 ^\circ C\)
Comme nos mesures de température ne prennent que deux chiffres significatifs après la virgule, nous arrondissons le résultat à 0,06 Celsius.
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