Définition de l'équilibre de rotation
En physique, l'équilibre fait référence à un équilibre des forces. Les forces sont des actions qui modifient ou maintiennent l'état de mouvement d'un objet.
On parle d'équilibre rotatif lorsqu'un système a une vitesse de rotation constante et un couple net nul.
Cependant, pour bien comprendre l'équilibre rotationnel, nous devons comprendre le couple. Le couple est l'équivalent rotatif d'une force.
Le couple, \( \tau \), est une quantité vectorielle qui quantifie l'effet de rotation d'une force appliquée à un objet et est l'équivalent rotationnel d'une force linéaire. Un couple résultant génère une accélération angulaire résultante (non nulle).
L'unité SI du couple est \( \mathrm{N\,m} \). Selon la convention, une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre indique un couple positif, et une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre indique un couple négatif. L'importance du couple appliqué à un objet dépend de la force appliquée et de la distance perpendiculaire de l'endroit où la force est appliquée, par rapport à l'axe de rotation.
Équation de l'équilibre de rotation
Pour qu'un système soit en équilibre de rotation, la somme de tous les couples agissant sur un système doit être égale à zéro.
$$\sum \vec{\tau}=0.$$
En raison de cette formule, il est important de discuter des trois formules correspondant au couple.
- Formule du produit croisé, \( \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}, \) où \(\vec{r}\) est le bras de levier mesuré en mètres \ (\mathrm{m}\) et \(\vec{F}\) est laforce appliquée mesurée en newtons, \(\mathrm{N}\).
- Formule de l'amplitude, \( |\tau| = |\vec{r}| |\vec{F}| \sin\theta \) où \ (|\vec{r}|) est l'amplitude du bras de levier, \(|\vec{F}|\) est l'amplitude de la force appliquée, et \ (\theta\) est l'angle entre le bras de levier et la force appliquée.
- Formule de la deuxième loi de Newton, \(\tau=I\alpha, \) où \(\tau\) est l'ampleur du couple appliqué à un corps, \(I\) est le moment d'inertie, et \ (\alpha\) est l'accélération angulaire du corps qui en résulte. Note que le moment d'inertie joue le rôle de la masse lorsque la deuxième loi de Newton est écrite sous forme de rotation.
Le bras de levier est la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la ligne d'action de la force.
Équilibre de rotation et équilibre de translation
Pour qu'il y ait équilibre, trois conditions doivent être remplies. Ces conditions diffèrent légèrement en fonction du mouvement, car les objets subissent un mouvement de translation ou de rotation. Le mouvement de translation est un mouvement unidimensionnel le long d'une trajectoire droite et correspond à l'équilibre de translation.
L'équilibre de translation est un état dans lequel la somme de toutes les forces externes agissant sur le centre de masse d'un objet est égale à zéro.
Un objet est en équilibre de translation si sa vitesse est constante, s'il est stationnaire ou se déplace à vitesse constante et si la somme de toutes les forces agissant sur l'objet est égale à zéro. Cela signifie que les forces de gauche et de droite sont égales ou que les forces de haut et de bas sont égales. Lorsque la force nette est égale à zéro, nous savons que l'objet n'accélère pas conformément à la deuxième loi de Newton, \( F=ma \).
Fig. 2 - Diagramme de corps libre représentant des forces égales et opposées qui s'annulent.
À l'inverse, l'équilibre rotatoire correspond à un mouvement de rotation, c'est-à-dire un mouvement circulaire autour d'un axe. Un objet est en équilibre rotatif si sa vitesse angulaire est constante, si l'objet est au repos ou se déplace à une vitesse angulaire constante, et si la somme de tous les couples agissant sur l'objet est nulle. Cela signifie que toutes les forces dansle sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse sont égales. Lorsque le couple net est égal à zéro, nous savons que l'objet n'a pas d'accélération angulaire selon la deuxième loi de Newton sous forme de rotation, \( \tau=I\alpha \).
Fig. 3 - Cette balançoire est en équilibre rotatif car le couple total autour du point d'équilibre est nul.
Équilibre de rotation et équilibre statique
Statique signifie stationnaire ou au repos, tandis qu'équilibre signifie équilibre.
L'équilibre statique est l'état de repos équilibré que les objets peuvent occuper lorsqu'aucune force nette ou aucun couple n'agit sur l'objet.
Lorsqu'un objet est en équilibre statique, il est au repos. L'objet ne se déplace pas le long d'un axe ou ne tourne pas autour d'un axe. L'objet est complètement immobile. Deux conditions sont nécessaires pour qu'un objet soit en équilibre statique. \( \text{Condition 1} \) se réfère à l'équilibre de translation et stipule que toutes les forces agissant sur l'objet le long de n'importe quel axe doivent être égales à zéro. Cela signifie que
\N- Début{alignement} \sum{F_x}=0, \sum{F_y}=0, \sum{F_z}=0. \sum{F_z}=0. \sum{Fend{align}
\N( \N-text{Condition 2} \N) se réfère à l'équilibre rotationnel et stipule que tous les couples agissant sur l'objet le long de n'importe quel axe doivent être égaux à zéro. Cela signifie que
\begin{align}\sum{\tau_x}=0, \sum{\tau_y}=0, \sum{\tau_z}=0.\Nend{align}
Si ces conditions sont remplies, on dit que les objets sont en équilibre statique.
Applications concrètes de l'équilibre statique
L'équilibre statique est un concept extrêmement important lors de la construction de ponts suspendus. Prends l'exemple du Golden Gate Bridge. Pendant la construction, les ingénieurs ont beaucoup travaillé pour déterminer les forces en chaque point du pont. Cela leur permet de déterminer la force des câbles de suspension le long du pont. Les câbles doivent être suffisamment solides pour suspendre le pont sans être trop lourds. L'équilibre statique leur permet de déterminer les forces qui agissent sur le pont en tout point et de choisir le câble approprié et/ou les autres matériaux nécessaires pour construire le pont avec succès. C'est une bonne chose pour nous, car je ne voudrais pas conduire sur un pont en mouvement, n'est-ce pas ?
Exemples d'équilibre de rotation
À l'aide de nos nouvelles connaissances sur l'équilibre rotatif, complétons deux exemples pour aider à solidifier ce concept.
Deux enfants sont assis sur une balançoire stationnaire, chacun étant situé à 1,5 mètre du centre. Si une force de \( 588\,\mathrm{N} \) est exercée sur la balançoire par un enfant, calcule la force exercée par l'autre enfant pour que la balançoire soit maintenue en équilibre.
Solution
Pour qu'un objet soit en équilibre, nous savons que tous les couples agissant sur l'objet doivent être égaux à zéro. Par conséquent, si la distance par rapport au pivot est la même de chaque côté et qu'une force de \N/588\N est appliquée d'un côté, nous savons qu'une force égale de \N/588\N/588\N doit être appliquée du côté opposé pour satisfaire aux conditions de l'équilibre de rotation.
\[\begin{align}\tau_1+\tau_2&=0,\\r_1F_1\sin\theta+r_2F_2\sin\theta&=0.\\\end{align} \]
Pour \( \theta \), nous savons que les deux angles sont de 90 degrés en raison de la force de gravité formant des angles droits avec chaque côté de la poutre. Puisque \ ( \sin(90^\circ)=1 \), nous pouvons réécrire l'équation comme \ (r_1 F_1+r_2 F_2=0\).
\[ \begin{align}r_1F_1+r_2F_2&=0,\\-r_1F_2&=r_2F_2,\\-\frac{r_1{F_1}}{r_2}&=F_2,\\-\frac{(1.5\,\mathrm{m})(588\,\mathrm{N})}{1.5 \,\mathrm{m}}&=F_2,\\F_2&=588\,\mathrm{N}.\\\end{align} \]
Ainsi, le deuxième enfant est assis de l'autre côté du point d'équilibre, indiqué par le signe négatif.
Essayons un exemple un peu plus complexe.
Une poutre, en équilibre sur un axe, a une masse placée à gauche du centre de la poutre. Où doit-on placer une masse de 0,067 \Nà droite du centre de la poutre pour que celle-ci reste en équilibre ? Note que la gravité pousse la poutre vers le bas au point central.
Fig. 4 - Schéma représentant des masses en équilibre sur une poutre.
Solution
Étape 1 : Tout d'abord, nous devons déterminer toutes les forces qui agissent sur la poutre et la distance de chaque force par rapport au point de rotation. Rappelle-toi que la force que chaque masse exerce sur la poutre est égale au poids de la masse. Le poids est calculé à l'aide de l'équation suivante : \NF=mg\Noù \N(m\N) est la masse mesurée en \N( \Nmathrm{kg}) et \N(g\N) est l'accélération due à la gravité qui est une constante, \N( 9,8\N,\Nmathrm{\Nfrac{m}{s^2}}}). Nos calculs sont donc les suivants.
\[ \begin{align} F_1&=m_1{g},\\F_1&=(0.050 \,\mathrm{kg})\left(9.8\,\mathrm{\frac{m}{s}^2}\right),\\F_1&=0.49 \,\mathrm{N}. \\\N-END{align} \]
Pour la deuxième masse, nous avons
\[ \begin{align} F_2&=m_2{g},\\F_2&=(0.067 \,\mathrm{kg})\left(9.8\,\mathrm{\frac{m}{s}^2}\right),\\F_2&=0.66 \,\mathrm{N}. \\\N-END{align}\N]
Maintenant, nous savons que le rayon correspondant de \NF_1 \Nest de \N0,32 \Nmathrm{m} \Npuisque cette information nous est donnée. Cependant, nous devons déterminer le rayon correspondant à \N( F_2\N).
Étape 2 : Pour déterminer le rayon correspondant à \N( F_2 \N), nous devons calculer la somme de tous les couples agissant sur la poutre. Rappelle-toi que pour qu'un objet soit en équilibre, la somme de tous les couples doit être nulle. Cependant, avant de continuer, nous devons identifier la formule de couple qui s'applique. La formule
\( \tau=rF\sin\theta \) s'applique et nous permet d'écrire ce qui suit.
\[ \begin{align}\tau_1+\tau_2&=0,\\r_1F_1\sin\theta+r_2F_2\sin\theta&=0.\\\end{align}\]
Pour \( \theta \), nous savons que les deux angles sont de 90 degrés en raison de la force de gravité formant des angles droits avec chaque côté de la poutre. De plus, nous savons que le premier couple est positif en raison de la règle de la main droite. En pointant nos doigts vers la gauche et en les recourbant vers le bas dans la direction de la gravité, notre pouce pointe vers l'extérieur. Pour le deuxième couple, en pointant nos doigts vers la droite et en les recourbant vers le bas, notre pouce pointe vers l'intérieur, ce qui indique un couple négatif. Puisque \( \sin \left(90^{\circ}\right)=1\) nous pouvons simplifier cette équation \(r_1 F_1+r_2 F_2=0\).
Étape 3 : Réarrange notre équation, \N(r_1 F_1+r_2 F_2=0\N), en termes de \N(r_2\N) et insère nos variables données. Note que nous prenons la direction positive à droite de la poutre, ce qui donne
\[ \begin{align}r_1F_1+r_2F_2&=0,\\r_1F_2&=-r_2F_2,\\-\frac{r_1{F_1}}{F_2}&=r_2,\\-\frac{(-0.32\,\mathrm{m})(0.49\,\mathrm{N})}{0.66 \,\mathrm{N}}&=r_2,\\r_2&=0.24\,\mathrm{m}.\\\end{align} \]
La deuxième masse doit être placée \( 0,24\\N,\Nmathrm{m}\Nà droite du centre de la poutre.
Équilibre de rotation - Principaux points à retenir
- L'équilibre rotationnel est un état dans lequel ni l'état de mouvement d'un système ni son état d'énergie interne ne changent en fonction du temps.
- Lecouple, \( \tau \), est une quantité vectorielle qui quantifie l'effet de rotation d'une force appliquée à un objet.
- Pour qu'un système soit en équilibre de rotation, la somme de tous les couples agissant sur un système doit être égale à zéro, \( \sum\tau=0 \).
- L'équilibre de translation est un état dans lequel la somme de toutes les forces externes agissant sur un objet est égale à zéro.
- L'équilibre statique est l'état de repos complet.
Références
- Fig. 1 - Diagramme de couple, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Diagramme du corps libre, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Balançoire en équilibre, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Poutre d'équilibre, StudySmarter Originals.
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