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Fig. 1. Un balcon en surplomb qui semble défier la gravité. Il est en fait soutenu parce que toutes les structures de soutien à l'intérieur du bâtiment sont en équilibre, Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0
Définition de l'équilibre
Deux conditions sont nécessaires pour qu'un objet soit en équilibre :
- Aucune force nette n'agit sur l'objet.
- Aucun couple net n'agit sur l'objet.
Nous pouvons donc donner une définition physique de base de l'équilibre comme suit :
Les objets ou les systèmes qui sont en équilibre n'ont aucune force nette ni aucun couple net agissant sur eux.
Cela signifie que le mouvement des objets en équilibre ne changera pas avec le temps et qu'ils conserveront également la même quantité d'énergie. La force est un concept familier, mais le couple est peut-être nouveau pour toi. Le couple est un type de force qui tend à provoquer une rotation. Le couple \(\tau\) est donné par l'équation suivante
\[\tau=Fd\]
où \(F\) est la force perpendiculaire au pivot (\(\mathrm{N}\)) et \(d\) est la distance perpendiculaire au pivot (\(\mathrm{m}\)). Ainsi,le couple est mesuré en \(\mathrm{N\}\) plutôt qu'en \ (\mathrm{N}\ ) comme la force. Le diagramme ci-dessous montre comment tu peux appliquer une force à une clé à molette pour provoquer un couple.
Fig. 2. Une clé à molette peut être utilisée pour appliquer un couple à un autre objet. Source : via Wikimedia commons, CC0.
Étudions un exemple qui comprend ces deux quantités, la force et le couple, pour mieux comprendre l'équilibre. Considère une balançoire à bascule avec deux jumeaux assis à égale distance de chaque côté, comme illustré ci-dessous.
Fig. 3 : Si des jumeaux (représentés par des carrés dans ce diagramme), qui pèsent le même poids, sont assis de chaque côté d'une balançoire à bascule à égale distance du centre d'équilibre, le système sera en équilibre.
La force descendante due à la gravité (qui est le poids combiné des jumeaux et de leur balançoire) est équilibrée par la force ascendante au niveau du pivot de la balançoire, de sorte que la force nette est nulle. Si nous supposons qu'ils pèsent tous les deux le même poids, alors le couple dû à l'un ou l'autre des enfants sera égal et dans des directions opposées, de sorte que le couple net sera nul. La force nette et le couple net sur le système sont tous deux nuls, il est donc en équilibre.
Expression de l'équilibre
Un système est dit en équilibre s'il possède les deux propriétés suivantes :
- Le moment linéaire \(p\) de son centre de masse est constant.
- Le moment angulaire \(L\) autour de son centre de masse, ou de tout autre point, est constant.
Ces deux conditions peuvent également être représentées par les expressions suivantes :
\( \begin{align}) \vec{p}&=\mathrm{constant} \\N- \Nvec{L}&=\mathrm{constante} \Nend{align} \)
Dans les situations où les constantes de ces équations sont égales à zéro, on dit que le système est en équilibre statique. Par exemple, la balançoire de l'exemple ci-dessus n'a pas de mouvement de translation ni de mouvement de rotation (à partir du cadre de référence dans lequel nous l'observons), elle est donc en équilibre statique. Lorsqu'un système a une vitesse constante ou une vitesse angulaire constante (ou les deux), on dit qu'il est en équilibre dynamique. Un exemple de système en équilibre dynamique est une voiture qui se déplace sur une route à une vitesse constante. Dans cette situation, la force motrice est égale à la force de résistance de la voiture. De plus, le poids de la voiture est équilibré par la force de réaction de la route. La force nette est nulle et la voiture est en équilibre même si elle se déplace.
Formule d'équilibre
La deuxième loi de Newton, sous sa forme de quantité de mouvement linéaire, est donnée par l'équation suivante :
\[\vec{F}_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\]
où \(\vec{F}_{\mathrm{net}}\) est la force nette sur un système et \( \Delta \) représente un changement dans la variable qu'il est à côté. Si un objet est en équilibre, l'expression ci-dessus nous indique que son élan linéaire doit être constant. Nous savons que si \(\vec{p}\) est constant, alors \(\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\) est nul et donc la force nette doit être nulle,
\[\vec{F}_{\mathrm{net}}=0\]
et nous sommes revenus à ce que nous avions déclaré au début - la force nette sur un objet en équilibre est nulle. De même, pour les mouvements de rotation, nous pouvons relier le couple net d'un système à son moment angulaire à l'aide de l'équation suivante :
\[\tau_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta L}{\Delta t}\].
Le couple net d'un objet est égal au taux de variation du moment angulaire de l'objet. C'est la deuxième loi de Newton appliquée au moment angulaire. Encore une fois, nous savons que si \(L\) est constant, alors \(\frac{\Delta L}{\Delta t}\) est nul et donc le couple net doit être nul.
\[\tau_{\mathrm{net}}=0\]
Nous pouvons donc énoncer les deux conditions requises pour qu'un système soit en équilibre :
- La somme vectorielle de toutes les forces agissant sur le corps doit être nulle.
- La somme vectorielle de tous les couples externes agissant sur le corps, mesurée autour d'un point quelconque, doit être nulle.
Nous sommes de nouveau arrivés aux deux conditions d'équilibre énoncées au début de l'article !
Fig. 5 : Les forces agissant sur un objet en équilibre doivent être équilibrées.
Le schéma ci-dessus montre un bloc poussé le long d'une table à la surface rugueuse. Pour cet exemple, supposons qu'il se déplace à une vitesse constante. Quatre forces agissent sur le bloc :
- \N( F \N) est la force de poussée qui déplace le bloc le long de la table.
- \N( F_k \N) est la force de frottement due à la table rugueuse.
- \N( W \N) est le poids du bloc.
- \N( N \N) est la force de réaction de la table agissant sur le bloc.
Nous savons, d'après notre exigence pour un objet en équilibre, que la somme vectorielle des forces sur un objet doit être nulle. Cela signifie que la force dans chaque direction est nulle - les forces dans les directions opposées s'équilibrent. Cela nous amène aux équations suivantes :
\[ \N- Début{alignement} F&=F_{k} \N- W&=N \N- Fin{alignement} \N]
Les conditions d'équilibre peuvent être très utiles pour trouver des forces inconnues !
Nous pouvons également utiliser la condition d'équilibre selon laquelle le couple net doit être nul pour trouver les quantités inconnues pour les systèmes en équilibre. Considère à nouveau la balançoire à bascule vue du dessus. Imagine que l'un des jumeaux a été remplacé par son frère aîné, qui pèse deux fois plus. Il s'assoit à une certaine distance du centre de la balançoire de façon à ce qu'elle reste équilibrée. Comment pouvons-nous trouver cette distance ? Nous connaissons l'équation du couple
\[\tau=Fd\]
La force a doublé parce que le poids du frère aîné est le double, ce qui signifie qu'il doit s'asseoir à la moitié de la distance pour que le couple soit le même qu'avant !
Tu devrais avoir déjà rencontré une somme vectorielle, cela signifie que tu dois additionner les forces et les couples en tenant compte de leurs directions. Cela peut se faire en ajoutant des flèches, tête-bêche, pointant dans la direction de la force ou du couple, la longueur dépendant de la magnitude. C'est ce qui est illustré ci-dessous.
Fig. 6. Les forces (ou les couples) peuvent être ajoutées en les représentant sous forme de vecteurs.Source : via Wikimedia commons, domaine public.
Equilibre stable
Tu as peut-être déjà entendu parler de l'équilibre stable, mais ne le confonds pas avec l'équilibre statique ! Les systèmes en équilibre stable ont la propriété de revenir à cet état d'équilibre statique une fois que la force s'est dissipée, s'ils sont légèrement déplacés de leur position d'équilibre statique par une force.
Considère deux hautes collines l'une à côté de l'autre et place une balle dans le fossé qui les sépare, comme l'illustre la figure ci-dessous.
Fig. 7.Une balle placée dans une motte de terre entre deux collines est en équilibre stable.
Si tu pousses un peu la balle dans un sens ou dans l'autre, elle roulera sur la colline, atteindra un certain point et reviendra en arrière (tant que tu ne la pousses pas assez fort pour qu'elle atteigne le sommet de la colline). Elle se déplacerait alors de part et d'autre de sa position d'équilibre, la force de frottement due au sol la ralentissant jusqu'à ce qu'elle s'arrête à la position d'équilibre (s'il n'y avait pas de force de frottement, elle oscillerait de part et d'autre de la position d'équilibre à l'infini). La balle est en équilibre stable parce que la force - la gravité dans ce cas - agit pour ramener la balle à l'équilibre lorsqu'elle est déplacée. Lorsqu'elle atteint le fond, elle est en équilibre parce que
- la force nette sur la balle est nulle,
- et le couple net sur la balle est nul.
Tu peux probablement deviner ce qui arrivera à un système en équilibre instable. Si un système en équilibre instable est légèrement déplacé par une force, l'objet ne sera plus en équilibre lorsque la force sera supprimée.
Considère une balle placée de façon à ce qu'elle soit bien en équilibre au sommet d'une simple colline.
Cette fois, si tu pousses la balle dans un sens ou dans l'autre, elle dévalera la colline et ne reviendra pas au sommet. La balle est en équilibre instable parce qu'une fois que tu as donné à la balle un petit déplacement, la force - encore une fois la gravité - agit pour éloigner la balle de sa position d'équilibre. La balle est initialement en équilibre parce que
- la force nette sur la balle est nulle,
- et le couple net sur la balle est nul.
Exemples d'équilibre
Les conditions d'équilibre ci-dessus peuvent être utilisées pour simplifier de nombreuses situations et résoudre de nombreux problèmes en termes d'équations simples.
Un gymnaste de 50 kg se tient à l'extrémité d'une poutre d'équilibre uniforme, qui pèse 200 kg. La poutre mesure 5 cm de long et est maintenue en place par deux supports situés à 1,5 cm de chaque extrémité. C'est ce que montre l'image ci-dessous. Quelle est la force de réaction sur l'un ou l'autre des supports ?
Si un objet est uniforme, sa masse est uniformément répartie et son centre de masse se trouve donc au centre.
Fig. 8. Un gymnaste se tient juste à l'extrémité d'une poutre d'équilibre qui est maintenue par deux supports.
La poutre doit être en équilibre puisqu'elle ne bouge pas - ce qui signifie que son moment de translation et son moment angulaire sont tous deux constants. Cela signifie que la force nette et le couple net sur la poutre sont nuls. La force de réaction vers le haut doit être égale à la force vers le bas égale au poids de la poutre et du gymnaste. Le poids est donné par :
\[W=mg\]
où \(m\) est la masse \(\mathrm{kg}\) et \(g\) est l'intensité du champ gravitationnel (\(9,81\\rmathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\) pour la surface de la Terre). Ainsi, nous pouvons écrire l'équation :
\[ \begin{align} F_{1}+F_{2}&=50g+200g \\N- &=250g \N- &=2450\N,\Nmathrm{N} \Nend{align} \]
où \(F_{1}\) et \(F_{2}\) sont les forces de réaction aux supports 1 et 2 respectivement.
Nous savons également que le couple net en tout point de la poutre doit être nul. Nous pouvons utiliser l'équation donnée ci-dessus pour le couple et mettre en équation les couples dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et dans le sens des aiguilles d'une montre autour du point où le support 1 rencontre la poutre. La distance entre le support 1 et le centre de masse de la poutre est \N(1,0\N,\Nmathrm{m}\N), celle entre le support 2 est \N(2,0\N,\Nmathrm{m}\N) et celle entre la gymnaste est \N(3,5\N,\Nmathrm{m}\N). En utilisant ces valeurs, nous arrivons à l'équation suivante :
\[(200g\times1.0)+(50g\times3.5)=2.0\times F_{2}\]
que l'on peut réarranger pour trouver \N(F_{2}\) :
\[F_{2}=1,840 \N,\Nmathrm{N}\N].
Cette valeur peut être utilisée avec l'équation que nous avons trouvée en considérant les forces sur la poutre pour obtenir \(F_{1}\) :
\[F_{1}=2\,450-F_{2}=610\,\mathrm{N}\]
Les diagrammes ci-dessous montrent cinq situations différentes. Une tige uniforme est maintenue en place de façon à pouvoir tourner autour d'un pivot, qui est représenté par le point P dans la figure ci-dessous. Une force égale au poids de la tige est appliquée à différents endroits et dans différentes directions. Indique pour chaque cas, de 1 à 5, si le système sera en équilibre ou non. Note que le poids de cette tige agit par son centre puisqu'il est uniforme.
- Le système n'est pas en équilibre. La force agit à une distance du pivot supérieure au poids de la tige (force descendante) et provoque donc un moment plus important, ce qui signifie qu'il y a un couple net dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Le système est en équilibre. La force agit à travers le centre de masse et est égale au poids de la tige, il n'y a donc pas de force nette sur la tige.
- Le système n'est pas en équilibre. C'est la même chose que dans la situation 1, mais la force est légèrement inclinée. L'angle par rapport à l'horizontale devrait être égal à \(30^{\circ}\) pour que les couples soient égaux, mais il est manifestement beaucoup plus grand que cela.
- Le système n'est pas en équilibre. La force appliquée et le poids de la tige provoquent tous deux un moment dans le sens des aiguilles d'une montre, il y a donc un couple net dans cette direction.
- Le système n'est pas en équilibre. La force agit à travers le pivot et n'entraîne donc pas de couple. Il n'y a pas de force ascendante pour équilibrer le poids de la tige, il y a donc une force nette dans la direction descendante.
Équilibre - Points clés
- Les systèmes en équilibre n'ont pas de force nette ni de couple net agissant sur eux.
- Un système en équilibre a un moment linéaire et un moment angulaire constants.
- Lorsque les moments linéaires et angulaires d'un système sont égaux à zéro, le système est en équilibre statique.
- Lorsque les moments linéaires et angulaires d'un système sont égaux à une constante, le système est en équilibre dynamique.
- Si un système en équilibre stable est légèrement éloigné de l'équilibre, il reviendra à l'équilibre.
- Si un système en équilibre instable est légèrement éloigné de l'équilibre, il n'est plus en équilibre et ne le redeviendra pas.
Références
- Fig. 1 : Duerig-AG Theather-Fribourg copyright Duerig-AG (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Duerig-AG_Theater-Fribourg_copyright_Duerig-AG.jpg) by Theg2e (no author page), under CC BY-SA 3.0 License
- Fig. 2 : Équivalence couple force à un mètre de levier (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torque_force_equivalence_at_one_meter_leverage.svg) par Zoiros, CC0
- Fig. 6 : Addition af vektorer (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Addition_af_vektorer.png) par Bixi sur Wikibooks danois, domaine public.
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