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Définition d'une équation en physique
Il existe une définition d'une équation (en physique ou non), mais elle est très technique et pas du tout éclairante. Ce que l'on peut dire des équations en physique, c'est ce qu'elles font. Les équations en physique décrivent des relations entre des quantités physiques. Une équation contient toujours un signe "égal", \(=\).
Il existe une équation en physique qui décrit la relation entre ta vitesse, la durée de ton déplacement et la distance parcourue. Plus ta vitesse est grande, plus tu couvres de distance dans le même laps de temps. L'équation dit : \(\text{distance parcourue}=\text{vitesse}\times \text{durée du voyage}}\). Nous voyons qu'un doublement de la durée du voyage signifie un doublement de la distance parcourue si la vitesse reste la même et qu'un doublement de la vitesse signifie un doublement de la distance parcourue si la durée du voyage reste la même.
L'équation de physique que nous avons présentée ci-dessus semble un peu floue : il y a tellement de lettres que les relations (les signes de multiplication et d'égalité) passent à l'arrière-plan. Cependant, les relations sont très importantes en physique. C'est pourquoi les gens attribuent des symboles aux quantités. Il est important d'expliquer aux autres la signification de tes symboles, et il est pratique d'utiliser les symboles standard pour les choses qui ont des symboles standard.
Pour que l'équation soit plus claire, nous pouvons donner des noms aux quantités impliquées dans le problème. Disons que la distance parcourue est \(d\) (pour la distance), notre vitesse est \(v\) (pour la vitesse), et la durée de notre voyage est \(t\) (pour le temps). L'équation est maintenant \(d=vt\).
Nous avons omis la croix de multiplication car il est clair queetsont deux choses différentes. Ne rien mettre entre deux quantités signifie que nous les multiplions. Cette équation est beaucoup plus claire et il n'est pas difficile de se rappeler instantanément que \(d\) représente la distance, par exemple. C'est bien, nous venons d'écrire une équation de physique !
Fig. 1 : Une équation qui est toujours vraie (également appelée tautologie).
Types d'équations de physique
Tu as peut-être l'impression qu'il existe de nombreux types d'équations de physique parce qu'elles ont toutes l'air très différentes. S'il est vrai qu'il existe de nombreux domaines de la physique qui ont tous leurs propres équations, chaque équation en physique a le même objectif, à savoir décrire une relation entre des quantités. Cependant, nous pouvons faire une distinction entre les équations en fonction de la façon dont les quantités dans l'équation se présentent, comme le montrent les exemples suivants.
- Une équation linéaire ne contient que des quantités à leur première puissance, par exemple l'équation de la distance, \(d=vt\).
- Une équation quadratique contient également des quantités élevées au carré, par exemple l'équation de l'énergie cinétique, \(E=mv^2/2\).
Nous avons également des équations différentielles (qui contiennent des dérivées de quantités), des équations tensorielles (qui contiennent des quantités avec des entrées multiples, tout comme les vecteurs), et bien d'autres façons dont les quantités peuvent apparaître dans les équations.
Exemples d'équations de physique
Fig. 2 : Les équations d'Einstein sur la gravité.
La relation entre la force \(F\) que tu exerces sur un objet, la masse \(m\) de l'objet et la vitesse d'accélération de l'objet (décrite par l'accélération \(a\)) résultant de la force que tu exerces est donnée par l'équation suivante
\[F=ma\]
C'est la deuxième loi de Newton. Par exemple, nous constatons qu'il faut exercer une force plus importante pour obtenir une accélération plus importante, ou pour déplacer un objet ayant une masse plus importante avec la même accélération.
La relation entre l'énergie cinétique \(E\) d'un objet, sa masse \(m\) et sa vitesse \(v\) est donnée par l'équation suivante
\[E=\dfrac{1}{2}mv^2.\]
Cela nous indique qu'un doublement de la masse d'un objet entraînera un doublement de son énergie cinétique, mais qu'un doublement de sa vitesse entraînera un quadruplement de son énergie cinétique. Pour s'en convaincre, il suffit de supposer que la vitesse finale \(v_e\) est le double de la vitesse initiale \(v_i\), donc \(v_e=2v_i\). L'énergie finale divisée par l'énergie initiale est alors
\[\dfrac{E_e}{E_i}=\dfrac{\frac{1}{2}mv_e^2}{\frac{1}{2}mv_i^2}=\bigg( \dfrac{v_e}{v_i}\bigg)^2=2^2=4.\]
Nous voyons qu'en effet, l'énergie quadruple si la vitesse double. C'est la principale raison pour laquelle une voiture accélère moins vite à grande vitesse qu'à petite vitesse : elle doit ajouter plus d'énergie pour gagner la même quantité de vitesse à cause du carré dans l'équation ci-dessus !
Nous avons vu une bonne quantité d'équations de physique, mais il est maintenant temps de travailler avec elles et de les résoudre.
Résoudre des équations en physique
Fig. 3 : Edward Witten écrit des équations sur la théorie des cordes sur un tableau noir.
La résolution d'équations en physique est très similaire à la résolution d'équations en mathématiques, à l'exception de deux différences majeures.
- En physique, il y a toujours un contexte, donc une équation de physique découle d'une petite histoire. Nous devons décortiquer l'histoire et la convertir en une équation soluble.
- Nous devons faire attention aux unités. En général, nous incluons les unités dans tous les calculs.
Voyons comment cela fonctionne avec un exemple de problème.
Q : John marche toujours à une vitesse de \N(3\N,\N,\Nmathrm{mi/h}\N)( miles par heure). Dimanche dernier, il a fait le tour de la ville à pied, et il a fini par parcourir un total de \(9 \N- \N- \N- \N- \Nmathrm{ mi}\N). Combien de temps lui a-t-il fallu ?
R : La première étape consiste à convertir cette histoire en une équation résoluble. Nous commençons par attribuer des noms aux quantités dont nous avons besoin. Nous appelons la vitesse de marche de John \(v\), la distance parcourue \(d\) et le temps qu'il lui a fallu \(t\). Le fait que ce soit un dimanche et qu'il ait marché autour de la ville n'a pas d'importance pour la question. D'après l'histoire, nous savons que \(v=3\N,\N,\Nmathrm{mi/h}\N), et que \N(d=9\N,\N,\Nmathrm{mi}\N). Nous devons maintenant trouver une équation qui relie \N(t\N) à \N(v\N) et \N(d\N). Heureusement, nous savons que \(d=vt\). Comme pour les équations mathématiques, nous isolons \N(t\N) en divisant les deux côtés par \N(v\N) et nous obtenons l'équation \N(t=d/v\N). Nous connaissons \N(d\N) et \N(v\N), il s'agit donc d'une équation résoluble, l'étape 1 est donc terminée ! Résolvons-la en faisant attention aux unités. Nous remplissons :
\[t=\dfrac{9\,\,\mathrm{mi}}{3\,\,\mathrm{mi/h}}=\dfrac{9}{3}\dfrac{\mathrm{mi}}{\frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}}}=3\,\,\mathrm{h}.\]
Maintenant, assure-toi de répondre complètement à la question. Jean a mis 3 heures (pour se promener en ville dimanche dernier).
Dans l'exemple ci-dessus, nous n'avons pas eu de problème avec les unités car les informations qui nous ont été données étaient dans des unités qui "vont bien ensemble". Si ce n'est pas le cas, nous devrons utiliser nos connaissances en matière de conversions d'unités, comme le montre l'exemple ci-dessous.
Q : Anna veut pousser une voiture dont on peut supposer qu'elle n'a pas de frottement et qu'elle n'est pas sur une pente. Elle pousse avec une force de \(500\N,\N,\Nmathrm{N}\N), la masse de la voiture est de \N(4000\N,\N,\Nmathrm{lbs}\N), et la masse d'Anna est de \N(170\N,\N,\Nmathrm{lbs}\N). Quelle est l'accélération de la voiture ?
R : Nous appelons la force exercée \(F=500\,\,\mathrm{N}\), la masse de la voiture \(m=4000\,\,\mathrm{lbs}\), l'accélération de la voiture \(a\), et la masse d'Anna \(m_A=170\,\,\mathrm{lbs}\). Nous savons que \(F=ma\), donc nous isolons l'accélération et obtenons l'équation \(a=F/m\). Nous connaissons \N(F\N) et \N(m\N), donc l'étape 1 est terminée.
Résolvons l'équation en complétant les données (y compris les unités !) :
\[\begin{aligned}a=&\dfrac{500\,\,\mathrm{N}}{4000\,\,\mathrm{lbs}}=\dfrac{500}{4000}\dfrac{\frac{\mathrm{kg\cdot m}}{\mathrm{s^2}}}{\mathrm{lbs}} \\ =& 0,125\,\,\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{lbs}}\cdot \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}=0,125\cdot 2,20\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\\ =&0,276\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{aligned}.\]
Nous voyons que nous avions besoin de la conversion entre \(\mathrm{kg}\) et \(\mathrm{lbs}\), à savoir que \(1\N,\N,\mathrm{kg}=2,20\N,\N,\mathrm{lbs}\), pour répondre à la question. La réponse est que l'accélération de la voiture est de \N(0,276\N,\Nmathrm{m/s^2}\N).
J'espère que ces exemples ont permis de comprendre comment le langage des équations mathématiques est utile dans le monde réel (physique).
Résumé : étape par étape
- En lisant la question, donne un nom aux quantités mentionnées et écris leurs valeurs (avec les unités).
- Détermine la quantité que tu dois connaître pour répondre à la question et écris l'équation de physique qui relie cette quantité aux quantités que tu as notées.
- Résous l'équation (en faisant attention aux unités) et réponds à la question dans une phrase complète et avec les bonnes unités.
Equations de mouvement en physique
Fig. 4 : L'équation de Schrödinger décrivant la mécanique quantique.
En fin de compte, tout ce que la physique vise à faire, c'est prédire le mouvement des objets. Par conséquent, nous pourrions affirmer que toutes les équations de la physique sont d'une certaine manière des équations de mouvement. Cependant, certaines équations ne décrivent que le mouvement des objets et non les causes de ce mouvement. Examinons ces équations.
Examinons d'abord l'équation qui régit le mouvement à vitesse constante. Pour un point de départ \(x_0\), une vitesse \(v\) et une durée de déplacement \(t\), l'emplacement \(x\) d'un objet est donné par
\N[x=x_0+vt.\N]
Nous savons que la distance parcourue est égale à \(d=vt\), ce qui est donc logique : l'emplacement d'un objet est son emplacement de départ plus la distance qu'il a parcourue.
Un objet peut aussi accélérer. Pour une accélération constante \(a), une vitesse de départ \(v_0), un point de départ \(x_0), et une durée de déplacement \(t), l'emplacement \(x) d'un objet est donné par
\[x=x_0+v_0t + \dfrac{1}{2}at^2.\]
Nous avons déjà une certaine intuition sur la raison de la présence de \(x_0\), mais examinons le reste. La vitesse acquise après un temps \(t\) est \(at\), donc après un temps \(t\), la vitesse de notre objet est \(v_0+at\). Cela signifie que la vitesse moyenne de notre objet est la moyenne de \(v_0\) et \(v_0+at\), soit \(v_0+at/2\). La distance parcourue est alors
\[d=\bigg(v_0+\dfrac{at}{2}\bigg)t=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2,\]
et nous arrivons à l'équation ci-dessus ! Note que pour une accélération nulle, nous arrivons à nouveau à l'équation pour une vitesse constante, ce qui est ce que nous nous attendons à trouver.
Équations en physique - Principaux enseignements
- En physique, une équation décrit une relation entre des quantités physiques.
- Une équation contient toujours un signe "égal", \(=\).
- Nous attribuons des symboles aux quantités pour rendre les équations plus lisibles.
- La résolution d'équations en physique est en grande partie la même que la résolution d'équations en mathématiques, à deux différences près :
- Souvent, nous devons établir les équations nous-mêmes à partir d'une histoire. En lisant l'histoire, nous donnons des noms aux quantités pertinentes et énumérons leurs valeurs.
- Nous incluons toujours les unités dans nos calculs. Lorsque l'équation est résolue, nous fournissons la réponse dans les bonnes unités.
- L'équation du mouvement des objets qui ont une vitesse constante est \(x=x_0+vt\).
- L'équation du mouvement des objets ayant une accélération constante est \(x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\).
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